相似三角形典型模型及例題

1、1:相似三角形模型1#:相似三角形判定的基本模型（一） A字型、反A字型（斜A字型）#（二） 8字型、反8字型#A（平行）（蝴蝶型）#（四）一線三等角型:#三等角型相似三角形是以 等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景，一個與等腰三角形的底角相等的頂點在底邊所在的直線上，角的兩邊分別與等腰三角形的兩邊相交如圖所示:2（五）一線三直角型:三直角相似可以看著是"一線三等角”中當(dāng)角為直角時的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方 形形為背景，或者在一條直線上有一個頂點在該直線上移動或者旋轉(zhuǎn)的直角，幾種常見的基本圖形如下：3當(dāng)題目的條件中只有一個或者兩個直角時，就要考慮通過添加輔助線構(gòu)造

2、完整的三直角型相似, 這往往是很多壓軸題的突破口，進(jìn)而將三角型的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化。（六）雙垂型:#:相似三角形判定的變化模型一線三等角的變形#¥AK/I/x/*B丘C-. . . i一線三直角的變形2:相似三角形典型例題(1) 母子型相似三角形例1 :如圖，梯形 ABCD中，AD / BC,對角線 AC、BD交于點O, BE/ CD交CA延長線于 E.2求證：OC = OA OE .例2:已知：如圖， AABC中，點E在中線AD上，.DEB二.ABC .求證：(1) DB2 = DE DA; (2) . DCE 二/DAC .例3 :已知：如圖，等腰 AABC中，AB= AC, AD丄B

3、C于D, CG/ AB, BG分別交AD、AC于E、F . 求證：BE2 = EF EG .21、如圖，已知 AD為ABC的角平分線，EF為AD的垂直平分線求證：FD FB FC .D- C2、已知：AD是RtABC中/ A的平分線，/ C=90° , EF是AD的垂直平分線交 AD于M , EF、BC的延長線交于一點 N。求證： AAMENMD; (2)ND2=NCNBA3、已知：如圖，在 ABC中，/ ACB=90° , CD丄AB于D, E是AC上一點，CF丄BE于F。 求證：EB-DF=AE DB4. 在 ABC中，AB=AC，高AD與BE交于H , EF_BC，垂

4、足為F,延長AD到G,使DG=EF , M是AH的中點。求證：- GBM = 90G5已知：如圖，在 RtABC中，/ C=90 °, BC=2 , AC=4, P是斜邊 AB上的一個動點， PD丄AB，交邊 AC 于點D (點D與點A、C都不重合)，E是射線DC上一點，且/ EPD = / A.設(shè)A、P兩點的距離為 x, BEP 的面積為y. (1)求證：AE=2PE;(2) 求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；(3) 當(dāng)ABEP與ABC相似時，求 ABEP的面積.B(2)雙垂型1 如圖，在 ABC中，/ A=60° BD、CE分別是 AC、AB上的高 求證：(1)

5、 AABDACE ; (2) AADEABC ; (3)BC=2ED2、如圖，已知銳角ABC，AD、CE分別是BC、AB邊上的高,ABC 和 ABDE的面積分別是 27和3,7#DE=6 2，求：點B到直線AC的距離。(3)共享型相似三角形#1、AABC是等邊三角形，DBCE在一條直線上，/DAE=120 ° ,已知BD=1 , CE=3，求等邊三角形的邊長#2、已知：如圖，在 Rt AABC 中，AB=AC ,Z DAE=45 °求證：(1) ABE sMCD ;(2) BC2 =2BE CD .#(4) 一線三等角型相似三角形例 2: (1)在:ABC 中，AB = A

6、C點B重合)，且保持.APQ =/ABC.例1 :如圖，等邊KBC中，邊長為(1) 求證： ABDECFD(2) 當(dāng) BD=1, FC=3 時，求 BE若點P在線段CB上(如圖)，且BP =6，求線段CQ的長;若BP = x , CQ = y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域;C8#(2)正方形ABCD的邊長為5 (如下圖)，點P、Q分別在直線CB、DC上(點P不與點C、點B重合)，且保持NAPQ =90。當(dāng)CQ =1時，求出線段 BP的長例 3 :已知在梯形 ABCD 中，AD / BC, AD V BC ,且 AD = 5, AB = DC = 2 .(1) 如圖8, P為AD

7、上的一點，滿足/ BPC = Z A. 求證；MBPsA DPC 求AP的長.(2) 如果點 P在AD邊上移動(點 P與點A、D不重合)，且滿足/ BPE =Z A, PE交直線BC于點E, 同時交直線DC于點Q,那么 當(dāng)點Q在DC的延長線上時，設(shè) AP = x, CQ = y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域； 當(dāng)CE = 1時，寫出AP的長.例4:如圖，在梯形 ABCD中，AD / BC , AB二CD二BC=6 , AD =3 點M為邊BC的中點，以M為頂點作.EMF二/B，射線ME交腰AB于點E，射線MF交腰CD于點F，聯(lián)結(jié)EF (1) 求證： MEFBEM ；(2) 若AB

8、EM是以BM為腰的等腰三角形，求 EF的長；(3) 若EF _CD，求BE的長.9#1、如圖，在 ABC中，AB=AC=8 , BC =10 , D是BC邊上的一個動點，點 E在AC邊上，且.ADE C (1)求證：ABDDCE ; 如果BD = x , AE = y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量 x的定義域;當(dāng)點D是BC的中點時，試說明 ADE是什么三角形，并說明理由.2、如圖，已知在 AABC中， AB=AC=6, BC=5, D是AB上一點，BD=2, E是BC上一動點，聯(lián)結(jié) DE,并作 DEF二/B，射線EF交線段AC于F.(1) 求證：ADBEECF;(2) 當(dāng)F是線段AC中點

9、時，求線段 BE的長；(3) 聯(lián)結(jié)DF，如果ADEF 與 DBE相似，求FC的長.BEC3、已知在梯形 ABCD 中，AD / BC, AD V BC,且 BC =6, AB=DC=4，點 E 是 AB 的中點.(1)如圖，P為BC上的一點，且 BP=2 .求證：ABEPsCPD ;2)如果點P在BC邊上移動(點 P與點B、C不重合)，且滿足/ EPF = / C, PF交直線CD于點F , 同時交直線 AD于點M,那么 當(dāng)點F在線段CD的延長線上時，設(shè) BP=X , DF= y，求y關(guān)于X的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的 定義域；9 當(dāng)S dmf S bep時，求BP的長.an11#4、如圖，已知

10、邊長為3的等邊ABC，點F在邊BC 上, CF二1，點E是射線BA上一動點，以線段EF為邊向右側(cè)作等邊EFG，直線EG, FG交直線AC于點M , N ,(1) 寫出圖中與 BEF相似的三角形；(2) 證明其中一對三角形相似；(3) 設(shè)BE =x,MN = y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍;(4)若AE =1，試求GMN的面積.(5) 線三直角型相似三角形 例1、已知矩形ABCD 中, CD=2 ,AD=3，點P是AD上的一個動點，且和點A,D不重合，過點P作PE _ CP ,12交邊AB于點E,設(shè)PD =x, AE = y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 x的取值范圍。

11、例 2、在:ABC 中，.C =90°,AC =4,BC =3,0 是 AB 上的一點，且AC 2，點P是AC上的一個動點，PQ _ CP交線段BC于點Q, (不AB 5與點B,C重合)，設(shè)AP二x,CQ二y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系，并寫出 定義域。31在直角 ABC中，.C =90°,AB =5,ta nB，點D是BC的中點，點E是AB邊上的動點，DF _ DE4交射線AC于點F(1) 、求AC和BC的長(2) 、當(dāng)EF / BC時，求BE的長。(3) 、連結(jié)EF,當(dāng)心DEF和 MBC相似時，求BE的長。B13#By,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域B2在直角三角形

12、ABC中，/C =90°, AB =BC,D是AB邊上的一點，E是在AC邊上的一個動點，(與A,C不重合)，DF _ DE ,DF與射線BC相交于點F.(1)、當(dāng)點D是邊AB的中點時，求證： DE二DFADDE如古、當(dāng)m，求 的值DBDFAD 1(3)、當(dāng) AC = BC = 6,=一，設(shè) AE = x,BFDB 233.如圖，在；ABC中，.C =90 , AC =6 , tanB, D是BC邊的中點，E為AB邊上的一個動點,4作.DEF =90 , EF交射線BC于點F 設(shè)BE二x , BED的面積為y （1 ）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 x的取值范圍；（2）如果以B、E、