東北大學(xué)2011-2012(1)概率論與數(shù)理統(tǒng)計試題及答案

1、東北大學(xué)2011-2012(1般率統(tǒng)計試題及參考答案3 .已知X:N(巧,。；),丫：N(坊,。；)，且PX-|PY-k21,正確的是(A)01=仃2；(B)01。2.4 .設(shè)XI,X2，Xn是來自總體N(R,。2)的簡單隨機樣本，X,S2分別為樣本均值和樣本方差,不正確的是.5 .對原假設(shè) HO和備擇假設(shè) HI,為犯第一類錯誤.(A)HI真，拒絕 HI；(B)HI不真，拒絕 HI；(C)HI真，接受 HI;(D)HI不真，接受 HI.二、填空題(每小題 4 分，共 20 分)1 .設(shè)事件 AI,A2,A3相互獨立，且 P(Ai)=1/3(i=1,2,3),則 AI,A2,A3至少發(fā)生一個的概

2、率為2 .設(shè)隨機變量 X,Y,Z 相互獨立，概率密度函數(shù)分別為貝 UR3X丫才尸3 .二維正態(tài)變量(X,Y)：N(-2,1,8,15,0),則Y:,X 與丫(獨立，不獨立，相關(guān))-、選擇題(每小題 3 分，共 15 分)1.隨機事件ABUABUAB發(fā)生，意味著(A)A,B都發(fā)生；(C)A,B恰好有一個發(fā)生；f23、2.設(shè)隨機變量 X:,40.6,0,x2,(A)F(x)=0.4,-2x3,0.6,x之3.0,x2,(C)F(x)=0.4,-2x3.(B)A,B至多有一個發(fā)生；(D)A,B至少有一個發(fā)生.則 X 的分布函數(shù)為.0.4,x-2,I(B)F(x)=0.6,-2x3.0,x-2,I(D

3、)F(x)=0.4,-2x3.X-1一一(A)=N(0,1);(B)(J；,.n_2(n-1)S.2(J2,，、X2,、(n-1);(C)r:t(n);(D)X X 與S相互獨立.Sn11fX(x)=20，1:x：3,其他，131e2yfy(y)=20，y-0,y0,1Jz)2fZ(z)=-e2,-z,2二4 .設(shè)X,S2是二項總體 B(10,0.4)的簡單隨機樣本的樣本均值和樣本方差，則 E(X-S2)=.2.25.設(shè)某次考試的成績服從正態(tài)分布N（R,。），其中巴仃均未知.隨機調(diào)出其中 36 位考生的成績,算得平均分是 66.5,標準差為 15.為檢驗這次考試的平均成績是否為 70 分，應(yīng)提

4、出原假設(shè)、備擇假設(shè)以及檢驗用的檢驗統(tǒng)計量分別為.XY102三、（12 分）設(shè)隨機變量（X.Y）的分布律為00.20.30,（1）求 Z=2X-Y 的分布律；（2）求100.40.1Cov（X,Y）;（3）判斷 X,Y 的獨立性與相關(guān)性.四、（共 11 分）ax,0：x：二2,.1 .（6 分）設(shè)隨機變量X:f（x）=小（1）求常數(shù) a；（2）求分布函數(shù) F（x）.0,其他.2-,x0,2 .(5 分)設(shè)隨機變量X:f(x)=4n(1+x)求Y=lnX的概率密度函數(shù).0,x0,五、（12 分）設(shè)二維隨機變量（X,Y）在由直線 x=2,y=x/2 及 x 軸所圍成的區(qū)域內(nèi)服從均勻分布，求：（1）f

5、X(x),fYX(yx);(2)Z=X+Y 的概率分布六、（10 分）某系統(tǒng)裝有三個電子元件.假設(shè)：系統(tǒng)啟動時它們同時開始工作；三個元件工作狀態(tài)相互獨立，且無故障工作的時間 Ti（i=1,2,3）均服從參數(shù)為九（九0）的指數(shù)分布；只要有一個元件在工作，系統(tǒng)就能正常工作（正常工作的時間記為 T）.（1）求參數(shù)為九的指數(shù)分布的分布函數(shù)；（2）給出 T 與 T1、T2、T3的函數(shù)關(guān)系；（3）求 T 的概率密度函數(shù).七、（共 12 分）axa0:二x：11.（6 分）設(shè)隨機變量X:f（x）=,其中a（a0）未知，為&,Xn是來自總體 X 的0,其他，簡單隨機樣本，求a的矩估計.X023_12.

6、（6 分）已知總體 X 的分布律為/口 2口.口、，其中日（0日1）未知；總體 X 的一組PU1UU（1U）樣本值中有 3 個為 0、4 個為 2、2 個為 3,求 9 的最大似然估計.八、（8 分）基于人一年內(nèi)的死亡率為 0.1%,并經(jīng)過市場調(diào)研，某保險公司設(shè)計了一種年險：參加保險的人，只須在一年的第一天交付保險費 10 元，一旦死亡，家屬可從保險公司領(lǐng)取 2000 元.試問：（1）至少有多少人參加該保險才能保證保險公司虧本的概率為 0?（提示：首先設(shè)參保人數(shù)，再設(shè)隨機變量，表示出保險公司“不虧本”事件，然后利用中心極限定理計算概率）（2）若一年內(nèi)有 n 人投保，則保險公司一年內(nèi)所獲利潤、平

7、均利潤各是多少？（3）結(jié)合（1）、（2）的結(jié)果，簡單談?wù)勀銓ΡｋU及保險公司的看法.（本題約定：0M（x）1,x4;（x）=1,x 之 4）3_L(1-e)3,t0,FT(t)=PTMt=Pmax工,T2,T3Mt=PT1Et,T2Mt,T3Mt=F；(t)0,t0.fT(t)=3e-t(1-e-t)2,t0,0,t0.答案:、1.19/27;2.2;1_(y)23. N(1,15)或_=eF-；獨立;.30二4. 1.6;5. HO邛=70,HO：W70;X-70S.n、（1）Z-2-1012P-00.20.400.4(2)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=1*2*0.105*0

8、.4=0(3)PX=1,丫=1=0W0.1=PX=1PY=1,所以 X,丫不獨立.因為 Cov(XY)=0,Q(X)0,JD(Y)#0,所以 p(X,Y)=0,故 X 丫不相關(guān).四、1.(1)ff(x)dx=121axdx=1,a=-0,x0,11-e，x,x0f(x)=0,x、0.F(x)=PXix=0,x,0.(2)T=maxT1,T2,T3(3)1,0；x；2,0:y；x/2,f(x,y)=o,其他.五、當0 x父2時，f(yx)=f(x，y)YXf(x)I。3dz,0z2，3z,z39=0,0 得日的最大似然估計=.7八、設(shè)有 n 人參加保險，其中有 X 人在一年內(nèi)死亡，則X:B(n,0.001).根據(jù)中心極限定理可知,X:N(0.001n,0.0010.999n(1)不虧本：10n=2000X,不虧本的概率為 0,即0.005n-