數(shù)學(xué)直覺思維及培養(yǎng)

1、淺論數(shù)學(xué)直覺思維及培養(yǎng)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試驗(yàn)修訂本）將培養(yǎng)學(xué)生的三大能力之一“思維能力”，雖然只是去掉邏輯兩個(gè)字，概念的內(nèi)涵卻更加豐富，人們?cè)诮逃膶?shí)踐中實(shí)現(xiàn)了認(rèn)識(shí)上的轉(zhuǎn)變。在注重邏輯思維能力的培養(yǎng)容易的同時(shí)，還應(yīng)該注重觀察力、直覺力、想象力的培養(yǎng)。特別是直覺思維能力的培養(yǎng)由于長(zhǎng)期得不到重視，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)容易造成誤解，認(rèn)為數(shù)學(xué)是枯燥乏味的；同時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)和學(xué)習(xí)也缺乏取得成功的必要的信心，從而喪失數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。過多的注重邏輯思維能力和培養(yǎng)，不利于思維能力的整體發(fā)展。培養(yǎng)直覺思維能力是社會(huì)發(fā)展的需要，是適應(yīng)新時(shí)期社會(huì)對(duì)人才的需求。一、 數(shù)學(xué)直覺概念的界定簡(jiǎn)單的說，數(shù)學(xué)直覺是具有意識(shí)

2、的人腦對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象（結(jié)構(gòu)及其關(guān)系）的某種直接的領(lǐng)悟和洞察。對(duì)于直覺作以下說明：（1） 直覺與直觀直感的區(qū)別直觀與直感都是以真實(shí)的事物為對(duì)象，通過各種感覺器官直接獲得的感覺或感知。例如等腰三角形的兩個(gè)底角相等，兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形其概念、性質(zhì)的界定并沒有一個(gè)嚴(yán)格的證明，只是一種直觀形象和感知。而直覺的研究對(duì)象則是抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)及其關(guān)系。龐加萊說：“直覺不必建立在感覺明白之上，感覺不久便會(huì)變的無能為力。例如，我們?nèi)詿o法想象千角角形，但我們能夠通過直覺一般地思考多角形，多角形把千角形作為一特例包括進(jìn)來?！庇纱丝梢娭庇X是一種深刻的心理活動(dòng)，沒有具體的直觀形象和可操作的邏輯寫后作思考的背景。下如

3、迪瓦多內(nèi)所說：這些富有創(chuàng)造性的科學(xué)家與眾不同的地方，在于他們對(duì)研究的對(duì)象有一個(gè)全面科學(xué)研究的構(gòu)想和深刻的了解，這些構(gòu)想和了解結(jié)合起來，就是所講的“直覺”，因?yàn)樗m用的對(duì)象，一般說來，在我們的感官世界中是看不見的。（2）直覺與邏輯的關(guān)系從思維方式上來看，思維可以分為邏輯思維、直覺思維。長(zhǎng)期以來人們刻意的把兩者分離開來，其實(shí)這是一種誤解，邏輯思維與直覺思維從來就不是割離的。有一種觀點(diǎn)認(rèn)為邏輯重于演繹，而直觀重于分析，從側(cè)重角度來看，此話不無道理，但側(cè)重并不等于全面，邏輯思維中是否會(huì)有直覺成分？數(shù)學(xué)直覺是否具有邏輯性？比如在日常生活中有許多說不清道不明的東西，人們對(duì)各種事件作出判斷與猜想離不開直覺的

4、體現(xiàn)，甚至可民說直覺無時(shí)無刻不在起作用。數(shù)學(xué)的形式將思考的理性過程格式化。數(shù)學(xué)最初的概念都是基于直覺，數(shù)學(xué)在一定程度上就是在問題解決中得到了發(fā)展的，問題解決也離不開直覺，下面我們就以數(shù)學(xué)問題的證明為例，來考察直覺在證明過程中所起的作用。一個(gè)數(shù)學(xué)證明可以分解為許多基本運(yùn)算或許多“演繹推理元素”，一個(gè)成功的數(shù)學(xué)證明是這基本運(yùn)算或“演繹推理元素”的一個(gè)成功的組合，仿佛是一條從出發(fā)點(diǎn)到終點(diǎn)的通道，一個(gè)個(gè)基本運(yùn)算和“演繹推理元素”就是這條通道的一個(gè)個(gè)路段，當(dāng)一個(gè)成功的證明擺在我們面前，開始邏輯可以幫助我們確信沿這條路必定能順利地到達(dá)目的地，但是邏輯卻不能告訴我們，為什么這些路徑的選取與這樣的組合可以構(gòu)成

5、一條通道。事實(shí)上，出發(fā)不久就會(huì)遇上叉路，也就是遇上了不確定選擇結(jié)構(gòu)通道的路段的問題。龐加萊認(rèn)為，即使能復(fù)寫出一個(gè)成功的數(shù)學(xué)證明，但不知道是什么東西造成了證明的一致性，這些元素安置的順序比元素本身更加重要。笛卡兒認(rèn)為在數(shù)學(xué)推理中的每一步，直覺都是不可缺少的。就好似我們平時(shí)打籃球，要靠球感一樣，在快速運(yùn)動(dòng)中來不及去作邏輯判斷，動(dòng)作只是下意識(shí)的，而下意識(shí)的動(dòng)作正是在平時(shí)訓(xùn)練產(chǎn)生的一種直覺。在教育過程中，老師由于批改證明過程過分的嚴(yán)格化、程序化。學(xué)生只是見到一具僵硬的邏輯外殼，直覺的光環(huán)被掩蓋住了，而把成功往往歸功于邏輯的功勞，對(duì)自己的直覺反而不覺得。學(xué)生的內(nèi)在潛能沒有被激發(fā)出來，學(xué)習(xí)的興趣沒有被調(diào)動(dòng)

6、起來，得不到思維的真正樂趣。中國(guó)青年報(bào)曾報(bào)道，“約30%的初中學(xué)生學(xué)習(xí)了平面幾何推理之后，喪失了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣”，這種現(xiàn)象就該引起教學(xué)教育者的重視與反思。二、直覺思維的主要特點(diǎn)直覺思維具有自由性、靈活性、自發(fā)性、不可靠性等特點(diǎn)，從培養(yǎng)直覺思維的必要性來看，筆者以為直覺思維有以下三個(gè)主要特點(diǎn)：（1）簡(jiǎn)單約性直覺思維對(duì)象從整體上考察，調(diào)動(dòng)自己的全部知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設(shè)，猜想或判斷，它省去了一步一步分析推理的中間環(huán)節(jié)，而采取了“跳躍式”的形式。它是一瞬間的思維火花，是長(zhǎng)期積累上的一種升華，是思維過程的高度簡(jiǎn)化，但是它卻清晰的觸及到事物的“本質(zhì)”。（2）創(chuàng)造性現(xiàn)代社會(huì)需要?jiǎng)?chuàng)

7、造性的人才，我國(guó)的教材由于長(zhǎng)期以來借鑒國(guó)外的經(jīng)驗(yàn)，過多的注重培養(yǎng)邏輯思維，培養(yǎng)的人才大多數(shù)習(xí)慣于按部就班、墨守成規(guī)，缺乏創(chuàng)造能力和開拓精神。直覺思維的無意識(shí)性，它的想象才是豐富了的。發(fā)散的，使人的認(rèn)知結(jié)構(gòu)向外無限擴(kuò)展，因而具有反常規(guī)律的獨(dú)創(chuàng)性。伊恩·期圖加特說：“直覺是真正的數(shù)學(xué)家賴以生存的東西”，許多重大的發(fā)現(xiàn)都是基于直覺。歐幾里得幾何學(xué)的五個(gè)公設(shè)都是基于直覺，從而建立起歐必里得幾何學(xué)這棟輝煌的大廈；哈密頓在散步的路中觸發(fā)了構(gòu)造四素的火花；阿基米德在浴室找到了辨別王冠真假的方法；凱庫(kù)勒發(fā)現(xiàn)苯分子環(huán)狀結(jié)構(gòu)更是直覺思維的成功典范。（3）自信力學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣的原因有兩種，一種是教師的

8、人格魅力，其二是來自數(shù)學(xué)本身的魅力。不否認(rèn)情感的重要作用，但筆者的觀點(diǎn)是，興趣更多來自本身。成功可以培養(yǎng)一個(gè)的自信直覺發(fā)現(xiàn)伴隨著很強(qiáng)的“自信心”。相比其它的物資獎(jiǎng)勵(lì)和情感激勵(lì)，這種自信更穩(wěn)定、更持久。當(dāng)一個(gè)問題不用通過邏輯證明的形式而是通過自己的直接獲得，那么成功帶給他的震撼是巨大的，內(nèi)心將會(huì)產(chǎn)生一種強(qiáng)大的學(xué)習(xí)鉆研動(dòng)力，從而更加相信自己的能力。高斯在小學(xué)時(shí)就能解決問題“1+2+99+100=？”，這是基于他對(duì)數(shù)學(xué)的敏感性的超常把握，這對(duì)他一生的成功產(chǎn)生了不可磨滅的影響。而現(xiàn)在的中學(xué)生極少具有直覺意識(shí)，對(duì)有限的直覺也半信半疑，不能從整體上駕馭問題，也就無法形成自信。三、直覺思維的培養(yǎng)一個(gè)人的數(shù)學(xué)

9、思維，判斷能力的高低主要以決于直覺思維能力的高低。徐利治教授反映出：“數(shù)學(xué)直覺是后天培養(yǎng)的，實(shí)際上每個(gè)人的數(shù)學(xué)直覺是可以后天培養(yǎng)的，實(shí)際上每個(gè)人的數(shù)學(xué)直覺也是不斷提高的。”數(shù)學(xué)直觀是可以通過訓(xùn)練提高的。（1）扎實(shí)的基礎(chǔ)是產(chǎn)生直覺的源泉直覺不是靠“機(jī)遇”，直覺的獲得雖然具有偶然性，但決不是無緣無故的憑空臆想，而是不會(huì)迸發(fā)出思維的火花的。阿提雅說：“一旦你真正感到弄懂一樣?xùn)|西，而且你通過大量例子以能通過與其它東西的聯(lián)系取得了處理那個(gè)問題的足夠多的經(jīng)驗(yàn)。對(duì)此你就會(huì)產(chǎn)生一種關(guān)于正在發(fā)展的過程是怎么回事以及什么結(jié)論應(yīng)該是正確的直覺”。阿達(dá)瑪曾風(fēng)趣的說：“難道一只猴子也能應(yīng)機(jī)遇而找印成整部美國(guó)憲法嗎？”（

10、2）滲透數(shù)學(xué)和哲學(xué)觀念直覺的產(chǎn)生是基于對(duì)研究地對(duì)象整體的把握，而哲學(xué)觀點(diǎn)有利于高屋建筑的把握事物的本質(zhì)。這些哲學(xué)觀點(diǎn)包括數(shù)學(xué)中普通存在的對(duì)立統(tǒng)一、運(yùn)動(dòng)變化、相對(duì)轉(zhuǎn)化、對(duì)稱性等。例如（a+b）2=a2=2ab+b2,即使沒有學(xué)過完全平方式，也可以用對(duì)稱的觀點(diǎn)判斷結(jié)論的真?zhèn)?。美感和美的意識(shí)是數(shù)學(xué)直覺的本質(zhì)，提高審美能力有利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)事物間所有存在著的和諧關(guān)系及秩序的直覺意識(shí)，狄拉克于1931年從數(shù)學(xué)對(duì)稱的角度考慮大膽的提出了反物質(zhì)的假說，他認(rèn)為真空中的反電子就是正電子。他還對(duì)麥克勘探韋方程組提出質(zhì)疑，他曾經(jīng)說，如果一個(gè)物理方程在數(shù)學(xué)上看上去不那么正確，這個(gè)方程的正確性是可疑的。（3）重視解題教學(xué)教

11、學(xué)中選題適當(dāng)?shù)念}目類型，有利于培養(yǎng)，考察學(xué)生的直覺思維。例如選擇題，由于只要求從四個(gè)選擇中挑選出來，省略解題過程，容許合理的猜想有利于直覺思維的發(fā)展。實(shí)施開放性問題教學(xué)，也是培養(yǎng)直覺思維的有效方法。開放性問題和條件或結(jié)論不夠明確，可以從多角度由果尋因，由因索果，提出猜想，由于答案的發(fā)散性，有利于直覺思維能力的培養(yǎng)。（4）設(shè)置直覺思維的意境和動(dòng)機(jī)誘導(dǎo)這就要求教師轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，把主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生。對(duì)于學(xué)生的大膽設(shè)想給予充分肯定，對(duì)其合理萬分及時(shí)給予鼓勵(lì)，愛護(hù)、扶植學(xué)生的自必性直覺思維，以免挫傷學(xué)生直覺思維的悟性。教師應(yīng)該把直覺思維冠冕堂皇的在課堂教學(xué)中明確的提出，制定直覺思維的活動(dòng)策略，從整體上把握部分的特征；重視直覺思維方法的教學(xué)，諸如：換元、數(shù)形