微積分II全書整理

1、第一部分 多變量微分學(xué)一、多元函數(shù)極限論1. 多元函數(shù)極限的定義：（1）鄰域型定義：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，是的聚點(diǎn)，如果存在常數(shù)，對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)點(diǎn)時(shí)，都有，那么就稱常數(shù)為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作（2）距離型定義：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，是的聚點(diǎn)，如果存在常數(shù)，對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)點(diǎn)，且時(shí)，都有，那么就稱常數(shù)為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作注：這里給出的是數(shù)學(xué)分析中國際通用的定義，已自然排除了鄰域內(nèi)的無定義點(diǎn)；極限存在的充要條件：點(diǎn)在定義域內(nèi)以任何方式或途徑趨近于時(shí)，都有極限；除洛必達(dá)法則、單調(diào)有界原理、窮舉法之外，可照搬一元函數(shù)求極限的性質(zhì)和方法，常用的有：等價(jià)無窮小替換、無

2、窮小×有界量=無窮小、夾擠準(zhǔn)則等；若已知存在，則可以取一條特殊路徑確定出極限值；相反，如果發(fā)現(xiàn)點(diǎn)以不同的方式或途徑于時(shí)，區(qū)域不同的值，則可斷定不存在.二元函數(shù)的極限記為或.2. 多元函數(shù)的連續(xù)性：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，是的聚點(diǎn)，如果，且有，則稱在處連續(xù)；如果在區(qū)域的每一點(diǎn)處都連續(xù)，則稱在區(qū)域上連續(xù).注：如果，只稱“不連續(xù)”，而不討論間斷點(diǎn)類型；在有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)擁有和一元函數(shù)類似的性質(zhì)，如有界性定理、一致連續(xù)性定理、最大值最小值定理、介值定理等.3.二重極限與累次極限累次極限與二重極限的存在性之間沒有任何必然的聯(lián)系，但若某個(gè)累次極限和二重極限都存在，則它們一定相等；反之，若兩個(gè)累次

3、極限存在而不相等，則二重極限一定不存在，又若兩個(gè)累次極限存在且相等，稱累次極限可以交換求極限的順序.二、偏導(dǎo)數(shù)、全微分1.偏導(dǎo)數(shù)、全微分的相關(guān)理論問題 （以二元函數(shù)為例討論）（1）偏導(dǎo)數(shù)的存在性：討論對(duì)某個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù)，則將其他變量當(dāng)作常數(shù).；.（2）可微性：記，則僅當(dāng)時(shí)，在處可微，否則不可微.其中，.注：等價(jià)于即又即記為全微分在處的全微分.中值定理推廣為：（3）偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性：討論偏導(dǎo)連續(xù)性，先用定義求和，用公式求和，判斷和是否都成立，如果都成立則偏導(dǎo)數(shù)連續(xù).邏輯關(guān)系：2.多元函數(shù)微分法：（1）鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則：從題目中的復(fù)合關(guān)系畫出從起始變量經(jīng)過中間變量到終變量的復(fù)合結(jié)構(gòu)圖；求偏導(dǎo)就是“走路”

4、的過程，有幾條路，等號(hào)后就有幾項(xiàng)；每條路上有幾段，每項(xiàng)中就會(huì)有幾部分相乘（注意：偏導(dǎo)寫偏微分符號(hào)“”， 不偏則寫微分符號(hào)“d”）；嚴(yán)格遵守用位置表示偏導(dǎo)數(shù)的規(guī)則，注意避免符號(hào)混亂和歧義；對(duì)于求高階偏導(dǎo)數(shù)的問題，不論對(duì)誰求導(dǎo)，也不論求了幾階導(dǎo)，求導(dǎo)后的新函數(shù)仍具有與原來函數(shù)相同的復(fù)合結(jié)構(gòu)（注意若偏導(dǎo)連續(xù)則相等，要合并同類項(xiàng)）.（2）全微分形式不變性：僅一階全微分可以使用，高階全微分不再成立.（3）隱函數(shù)存在性及求導(dǎo)法則：一個(gè)方程的情形（以三個(gè)變量為例）：設(shè)在點(diǎn)某鄰域內(nèi)偏導(dǎo)連續(xù)，且，則方程在點(diǎn)內(nèi)某鄰域內(nèi)可唯一確定單值函數(shù)，這個(gè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，.結(jié)論不難推廣到一般情形.方程組的

5、情形：一般地，設(shè)方程組可確定個(gè)元函數(shù).當(dāng)雅可比行列式時(shí)，可以確定，其中由將分母中的第個(gè)元素替換成得到.（雅可比行列式在橫向上改變各自變量，縱向上改變各函數(shù)名稱）注：求導(dǎo)前應(yīng)事先判斷，個(gè)變?cè)瑐€(gè)方程可確定個(gè)元函數(shù)；有些比較簡單的問題不必使用此通法，可以考慮利用全微分形式不變性.經(jīng)驗(yàn)結(jié)論：由確定的隱函數(shù)，求時(shí)，有；求時(shí)，有；求時(shí)，有， 其中.（的曲率：）三、多元微分學(xué)的幾何學(xué)應(yīng)用（以下的討論主要為了計(jì)算，條件未必嚴(yán)格）1.曲線的切線和法平面：設(shè)曲線 在處都存在且不為0，則曲線在處的：（1）切線方程為：（2）法平面方程為.注：若曲線以形式給出，切向量為.2.曲面的切平面與法線：設(shè)曲面由方程確定，在點(diǎn)

6、處可微，且不為0，則曲面在處的：（1）切平面方程為（導(dǎo)數(shù)已經(jīng)代入坐標(biāo)）；（2）法線方程為.注：二元函數(shù)在某點(diǎn)處的全微分等于其在這點(diǎn)處切平面豎坐標(biāo)的增量.3.方向?qū)?shù)：（1）定義式：（2）若函數(shù)在點(diǎn)處可微，那么在點(diǎn)處沿所有方向的方向?qū)?shù)存在，且，其中為的方向余弦.注：沿所有方向的方向?qū)?shù)存在不能推出可微，偏導(dǎo)數(shù)存在不能推出各方向?qū)?shù)存在.4.梯度：（1）計(jì)算：grad u=i+j+k；（2）grad u是在點(diǎn)的變化量最大的方向，其模等于這個(gè)最大變化率；（3）梯度的運(yùn)算法則和一元函數(shù)的求導(dǎo)法則相似；（4）方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影.四、極值與最值問題1.二元函數(shù)的非條件極值問題（1）極值的必

7、要條件：對(duì)偏導(dǎo)數(shù)存在的函數(shù)，在處有極值的必要條件是.（可推廣到三元及以上）（2）極值的充分條件：設(shè)為函數(shù)的駐點(diǎn)，且在處連續(xù)，記，則：時(shí)，是極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，為極小值；當(dāng)時(shí)，為極大值；時(shí)，不是極值點(diǎn)；時(shí)，此法失效，另謀它法.注：本方法不可推廣到三元及以上，三元及以上的充分條件中，要求黑塞矩陣正定或負(fù)定.（本知識(shí)不做要求，在出題人手下不會(huì)出現(xiàn)三元以上的極值判斷問題）2.條件極值與拉格朗日乘數(shù)法（1）一般情況下的拉格朗日乘數(shù)法：求函數(shù)在條件下的條件極值，可以從函數(shù)的駐點(diǎn)中得到可能的條件極值的極值點(diǎn).步驟：構(gòu)造輔助函數(shù)；（注意：變量均為獨(dú)立變量）求各變量的一階導(dǎo)并令其為零，聯(lián)立得到方程組；解方程組得到所有

8、駐點(diǎn).（解無定法，盡量利用觀察法）（2）對(duì)“條件極值”的解讀：事實(shí)上，只利用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值無異于掩耳盜鈴.由于對(duì)于多元函數(shù)，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)后會(huì)出現(xiàn)至少三個(gè)變量，在數(shù)學(xué)上欲判斷求得的駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)需要利用三階以上的黑塞矩陣.而出題人為了回避這一知識(shí)點(diǎn)，通常以實(shí)際問題的形式來考察拉格朗日乘數(shù)法.由于在實(shí)際問題的背景下必存在最值，可以認(rèn)為“所得即所求”，但是實(shí)際上求出的并不是真正的條件極值，而是在條件下的最值.所以，出題人通常在題目中會(huì)以“最值”來代替極值進(jìn)行考察.五、習(xí)題1.已知方程有形式的解，求出此解.2.已知二元函數(shù)可微，兩個(gè)偏增量：且求3.設(shè)確定，其中有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求4.已

9、知函數(shù)可微，且有滿足方程現(xiàn)在將作為的函數(shù)，求5.設(shè)是由方程確定的,的函數(shù)，其中和均有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求6.設(shè)是,的二元函數(shù)，求及7.求函數(shù)在點(diǎn)處沿曲面的法線向量的方向?qū)?shù).8.求gradc·r+ln(c·r),其中c為常向量，r為向徑，且c·r >0.9.設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)某鄰域內(nèi)偏導(dǎo)數(shù)和都有界，證明:在此鄰域內(nèi)連續(xù).10.設(shè)存在，在處連續(xù)，證明：在處可微.11.證明：函數(shù)在原點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微.12.設(shè)是由方程確定的二元函數(shù)，其中有連續(xù)的二階導(dǎo)函數(shù)，證明： 13.證明：曲面是柱面，其中可微.第二部分 多變量積分學(xué)一、各類積分的計(jì)算公式及意義（一）二重積分

10、1.計(jì)算公式直角坐標(biāo)系下的二重積分：極坐標(biāo)系下的二重積分：二重積分的變量替換：2.幾何意義：時(shí)，表示以為底，以為頂?shù)那斨w的體積.3.物理意義：各點(diǎn)處面密度為的平面片D的質(zhì)量.（二）三重積分1.計(jì)算公式直角坐標(biāo)系下的三重積分：（1）柱型域：投影穿線法（先一后二法）：（2）片型域：定限截面法（先二后一法）：柱面坐標(biāo)系下的三重積分：球面坐標(biāo)系下的三重積分：三重積分的變量替換：2.物理意義：各點(diǎn)處體密度為的幾何形體的質(zhì)量.（三）第一型曲線積分：1.計(jì)算公式平面曲線的情形：（1）則（2）則（3）則空間曲線的情形：:2.幾何意義：以為準(zhǔn)線，母線平行于軸的柱面介于與間的面積.3.物理意義：各點(diǎn)處線密度為

11、（或）的曲線的質(zhì)量.（四）第一型曲面積分：1.計(jì)算公式：2.物理意義：各點(diǎn)處面密度為的曲面的質(zhì)量.（五）第二型曲線積分：1.計(jì)算公式：平面曲線的情形：空間曲線的情形：2.物理意義：力場F=P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k沿有向曲線C所做的功.（六）第二型曲面積分：1.計(jì)算公式：2. 物理意義：流速場v=P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k單位時(shí)間通過有向曲面S流向指定一側(cè)的凈通量.二、各種積分間的聯(lián)系1. 第一型曲線積分與第二型曲線積分：2. 第一型曲面積分與第二型曲面積分：3. 第二型曲線積分與二重積分（Green公式）：4. 第二型曲面積

12、分與三重積分（Gauss公式）：5. 第二型曲線積分與第二型曲面積分（Stokes公式）：三、各種積分的通用性質(zhì)1.黎曼積分的性質(zhì)1°2° ，其中，且與無公共內(nèi)點(diǎn).3°若，則若，且連續(xù)，則4° 5° 若在積分區(qū)域上的最大值為M，最小值為m，則6° 若在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則至少有一點(diǎn)，使7° 若關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，當(dāng)關(guān)于垂直該軸的坐標(biāo)是奇函數(shù)則為0；若關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱，當(dāng)關(guān)于垂直該平面坐標(biāo)軸的坐標(biāo)是奇函數(shù)時(shí)為0.8° 將坐標(biāo)軸重新命名，如果積分區(qū)域不變，則被積函數(shù)中的x,y,z也同樣作變化后，積分值保持不變.2.第二型積

13、分的性質(zhì)1° 設(shè)是與方向相反的幾何體，則2° 3°若，則4°若ep,則5°設(shè)ep=，=，則6° 將坐標(biāo)軸重新命名，如果曲線或曲面的方程不變，則被積函數(shù)中的x,y,z也同樣作變化后，積分值保持不變.四、各種積分的應(yīng)用1.形心坐標(biāo)公式：質(zhì)心坐標(biāo)公式：2.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：3.旋度：rotF(M)= i+j+k.4.散度：divF(M)= 五、習(xí)題1.計(jì)算其中D由橫軸和擺線的一拱圍成.2.計(jì)算其中D: 3.計(jì)算其中D: 4.計(jì)算 其中D: 5.計(jì)算其中V是由不等式組所限定的區(qū)域，為任一連續(xù)函數(shù).6.計(jì)算其中V是由不等式組所確定的空間區(qū)域. 7.計(jì)算

14、其中V是由錐面和平面圍成的立體.8.計(jì)算其中V是頂點(diǎn)在處，底為平面上以 為圓心，1為半徑的圓的圓錐體.8.計(jì)算其中l(wèi)為雙曲線上點(diǎn)到的弧段.9.計(jì)算其中L是空間圓周10.計(jì)算其中S是橢球面的上半部分，點(diǎn)為S在點(diǎn)P處的切平面，為原點(diǎn)到平面的距離.11.計(jì)算其中l(wèi)是由由原點(diǎn)沿到點(diǎn)的曲線.12.計(jì)算其中從z軸正向看取逆時(shí)針方向.13.計(jì)算其中l(wèi)為擺線從到的弧段.14.計(jì)算其中S是由拋物面，坐標(biāo)面xoz,yoz及平面所圍成的立體表面的外側(cè).15.計(jì)算其中S是由錐面與半球面構(gòu)成的閉曲面的外側(cè).16.計(jì)算其中是由 和所圍立體表面的外側(cè)， 是有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù).17.計(jì)算其中S是由繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的曲面，它

15、的法向量與y軸正向夾角恒大于 18.計(jì)算其中S是曲面及，所圍立體表面外側(cè).19.求閉曲面所圍成的立體體積.20.求錐面含在圓柱面內(nèi)部分的面積. 21.求由曲線L：繞直線旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積.22.求平面曲線段l：繞直線L：旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積.23.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，并設(shè)求 24.求線密度為的物質(zhì)曲線對(duì)三個(gè)坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和.25.設(shè)r=xi+yj+zk, r=|r|.（1）求，使divr=0；（2）求，使divgrad=0.26.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)、正值且單調(diào)下降，證明：27.設(shè)函數(shù)連續(xù)，證明：28.證明：其中是球面： 29.設(shè)是弧長為s的光滑曲線段，函數(shù)在上連續(xù)，且 證明：30.

16、設(shè)在上半平面內(nèi)函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對(duì)任意的，都有證明：，其中是內(nèi)任意分段光滑的有向簡單閉曲線.第三部分 無窮級(jí)數(shù)一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（一）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)1.收斂的必要條件：收斂級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)必趨于0. 2.收斂的充要條件（柯西收斂原理）：對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在使得對(duì)于任何兩個(gè)大于的正整數(shù)m和n，總有.（即部分和數(shù)列收斂）3.收斂級(jí)數(shù)具有線性性（即收斂級(jí)數(shù)進(jìn)行線性運(yùn)算得到的級(jí)數(shù)仍然收斂），而一個(gè)收斂級(jí)數(shù)和一個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)的和與差必發(fā)散.4.對(duì)收斂級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)所成級(jí)數(shù)仍然收斂，且其和不變.5.在一個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)內(nèi)去掉或添上有限項(xiàng)不會(huì)影響斂散性.（二）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)及斂散性判斷1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判斷方

17、法（1）正項(xiàng)級(jí)數(shù)基本定理：如果正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有上界，則正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.（2）比較判別法（放縮法）：若兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)和之間自某項(xiàng)以后成立著關(guān)系：存在常數(shù)，使，那么（i）當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，級(jí)數(shù)亦收斂；（ii）當(dāng)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)亦發(fā)散. 推論：設(shè)兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)和，且自某項(xiàng)以后有，那么（i）當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，級(jí)數(shù)亦收斂；（ii）當(dāng)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)亦發(fā)散.（3）比較判別法的極限形式（比階法）：給定兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)和，若，那么這兩個(gè)級(jí)數(shù)斂散性相同.（注：可以利用無窮小階的理論和等價(jià)無窮小的內(nèi)容）另外，若，則當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，級(jí)數(shù)亦收斂；若，則當(dāng)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)亦發(fā)散.常用度量：等比級(jí)數(shù)：，當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散；p-級(jí)數(shù)：，

18、當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散(時(shí)稱調(diào)和級(jí)數(shù))；廣義p-級(jí)數(shù)：，當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散.交錯(cuò)p-級(jí)數(shù)：，當(dāng)時(shí)絕對(duì)收斂，當(dāng)時(shí)條件收斂.（4）達(dá)朗貝爾判別法的極限形式（商值法）：對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)或時(shí)需進(jìn)一步判斷.（5）柯西判別法的極限形式（根值法）：對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，設(shè)，那么時(shí)此級(jí)數(shù)必為收斂，時(shí)發(fā)散，而當(dāng)時(shí)需進(jìn)一步判斷.（6）柯西積分判別法：設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，非負(fù)的連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)下降，且自某項(xiàng)以后成立著關(guān)系：，則級(jí)數(shù)與積分同斂散.2.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的理論與性質(zhì)（1）絕對(duì)收斂與條件收斂：絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)必為收斂級(jí)數(shù)，反之不然；對(duì)于級(jí)數(shù)，將它的所有正項(xiàng)保留而將負(fù)項(xiàng)換為0，組成一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，其中；將它

19、的所有負(fù)項(xiàng)變號(hào)而將正項(xiàng)換為0，也組成一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，其中，那么若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則級(jí)數(shù)和都收斂；若級(jí)數(shù)條件收斂，則級(jí)數(shù)和都發(fā)散.絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的更序級(jí)數(shù)（將其項(xiàng)重新排列后得到的級(jí)數(shù)）仍絕對(duì)收斂，且其和相同.若級(jí)數(shù)和都絕對(duì)收斂，它們的和分別為和，則它們各項(xiàng)之積按照任何方式排列所構(gòu)成的級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂，且和為.特別地，在上述條件下，它們的柯西乘積也絕對(duì)收斂，且和也為.注：，這里.（2）交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性判斷（萊布尼茲判別法）:若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足，且單調(diào)減少（即），則收斂，其和不超過第一項(xiàng)，且余和的符號(hào)與第一項(xiàng)符號(hào)相同，余和的值不超過余和第一項(xiàng)的絕對(duì)值.二、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（一）冪級(jí)數(shù)1.冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收

20、斂域（1）柯西-阿達(dá)馬定理：冪級(jí)數(shù)在內(nèi)絕對(duì)收斂，在內(nèi)發(fā)散，其中為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.（2）阿貝爾第一定理：若冪級(jí)數(shù)在處收斂，則它必在內(nèi)絕對(duì)收斂；又若在處發(fā)散，則它必在也發(fā)散.推論1：若冪級(jí)數(shù)在處收斂，則它必在內(nèi)絕對(duì)收斂；又若冪級(jí)數(shù)在處發(fā)散，則它必在時(shí)發(fā)散.推論2：若冪級(jí)數(shù)在處條件收斂，則其收斂半徑，若又有，則可以確定此冪級(jí)數(shù)的收斂域.（3）收斂域的求法：令解出收斂區(qū)間再單獨(dú)討論端點(diǎn)處的斂散性，取并集.2.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)（1）冪級(jí)數(shù)進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，收斂域取交集，滿足各項(xiàng)相加；進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，有：，收斂域仍取交集.（2）冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂域內(nèi)處處連續(xù)，且若冪級(jí)數(shù)在處收斂，則在內(nèi)連續(xù)；又若冪級(jí)數(shù)在

21、處收斂，則在內(nèi)連續(xù).（3）冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂域內(nèi)可以逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分，收斂半徑不變.3.函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開以及冪級(jí)數(shù)的求和（1）常用的冪級(jí)數(shù)展開：，xÎ(-¥, +¥).1+x+x2+···+xn+··· =，xÎ(-1, 1).從而，.，xÎ(-¥, +¥).，xÎ(-¥, +¥).，xÎ(-1, 1.，xÎ(-1, 1).，xÎ-1, 1.，xÎ-1, 1.（2）常用的求和經(jīng)驗(yàn)規(guī)律：級(jí)數(shù)符號(hào)里的部分可以提到級(jí)數(shù)外；系數(shù)中常數(shù)的冪中若含有，可以與的冪合并，如將和合并為；對(duì)求導(dǎo)可消去分母因式里的,對(duì)積分可消去分子因