人教版高中數(shù)學(xué)必修四第一章三角函數(shù)1.1任意角和弧度制(教師版)【個性化輔導(dǎo)含答案】-最新學(xué)習(xí)文檔

1、任意角和弧度制1 .理解1弧度的角、弧度制的定義.2 .掌握角度與弧度的換算公式3 .熟記特殊角的弧度數(shù)*(一)角的概念：1任意角正角：按順時針方向形成的角負角：按逆時針方向形成的角2象限角定義：角的頂在原點始邊與x軸重合,終邊在第幾象限此角就是第幾象限角.與角有相同終邊所有角表示為：a+2kMk為任意整數(shù))(1)在直角坐標系內(nèi)討論角：注意：假設(shè)角的終邊在坐標軸上,就說這個角不屬于任何象限,它叫象限界角.(2)與口角終邊相同的角的集合：P|P=360°k+a,kwZ或P|P=24+a,kwZ(3)區(qū)間角的表示：象限角：象限角象限角的集合表示第一象限角的集合x|k3600<a&l

2、t;k360o+90o,kwZ第二象限角的集合x|k360o+90o<a<k360o+180°,kwZ第三象限角的集合x|k360°+180°<a<k360°+270°,YZ第四象限角的集合x|k360°+270°va<k360°+360°,kwZ寫出圖中所表示的區(qū)間角:3(二)弧度制1弧度角的規(guī)定.它的單位是rad讀作弧度由口的終邊所在的象限,來判斷一所在的象限,來判斷一所在的象限定義：長度等于半徑長的弧所對的圓心角稱為角的制度叫弧度制.(1)正角的弧度數(shù)是正數(shù),負角的弧度

3、數(shù)是負數(shù),零角的弧度數(shù)是0(2)角值的弧度數(shù)的絕又值罔=1(1為弧長,r為半徑)r(3)用角度制和弧度制來度量零角,單位不同,但數(shù)量相同(都是0)弧度制與角度制的換算公式：弧度制=角度制*71/180角度制=弧度制*180o/兀2兀=360弧度數(shù)與弧長L與半徑R的關(guān)系：L=Rz(可用來求弧長與半徑)1 2(4)弧長公式：L=Rz;扇形面積公式：S=1aR22n二rn二R2、.弧長公式：l=一,扇形面積公式：S扇=(初中)1803602弧度制與角度制的換算：由于周角的弧度數(shù)是2n,角度是360.,所以有360:2二rad180、"rad1 =rad0.01745rad180把上面的關(guān)系

4、反過來寫2：rad=360二rad=1801802 rad=()rad：57.30=5718n0：360=之間的一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的互化必需熟練掌握度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0Ji冗冗冗2一五3ji5幾冗32n64323462類型一：角的概念問題1.終邊相同的角的表示例1假設(shè)角a是第三象限的角,那么角的終邊在第象限.答案：二.解析：由于口是第三象限的角,故k360270<<k3601o80萬,那么k360

5、6;270<-«米36)0180/,故-«的終邊在第二象限.練習(xí)：與610°角終邊相同的角可表示為.【答案：k360°250°(kZ)】3 .象限角的表示ot例2角a是第二象限角,問(1)角一是第幾象限的角(2)角20f終邊的位置.2思路：先根據(jù)條件得出角的范圍,再通過討論k值來確定象限角.解析：(1)由于口是第二象限的角,故k360°+9.<<k360+180k1Z),故°°°°k180-45<<k180+45k180+45<<k180+90k(Z).

6、當k為偶數(shù)時,一在222第一象限；當k為奇數(shù)時,I在第三象限,故萬為第一或第三象限角.(2)由k-360°+90°<«<k360°+180°(keZ),得2k360o+1800<2a<2k360°+360°(kwz),故角2口終邊在下半平面點評：a所在象限,求三nwN*所在象限的問題,一般都要分幾種情況進行討論n結(jié)論：類型二：弧度制與弧長公式1.角度制與弧度制的互化例3把以下各角的度數(shù)化為弧度數(shù)：冗解由于1丁一rad,所以180練習(xí)：把以下各角的弧度數(shù)化為度數(shù):解由于nrad=180所以例41設(shè)u=7

7、50°,用弧度制表示&,并指出它所在的象限；3°一°2設(shè)P=-n,用角度制表示P,并在-720°0°內(nèi)找出與它有相同終邊的所有角.5導(dǎo)思：1角度與弧度應(yīng)如何進行互化2確定角為第幾象限角的依據(jù)是什么3怎樣找終邊相同的角依據(jù)是什么二25解析：1口=父750=冗=2父2n+,故口在第一象限.1806623nK180.M3n=108°,與它終邊相同的角可表示為k360°+180°kWZ,由5二533-720°<k360°+180°<0°,得2wk<,故k=2

8、或k=1,即在-720°0°范圍1010內(nèi)與P有相同終邊的所有角是-612°和-252°.點評：角度與弧度進行互化,關(guān)鍵是對轉(zhuǎn)化公式的理解和應(yīng)用；判斷一個角所在的象限,關(guān)鍵是在0,2n內(nèi)找到與該角終邊相同的角.練習(xí)：1設(shè)口=-570°,用弧度制表示a,并指出它所在的象限；2設(shè)P=7n,用角度制表示P,并在-720°0°內(nèi)找出與它有相同終邊的所有角3解析：1口=二><570=19冗=2父2n+處,故豆在第二象限.180662-7n=180°X_7n=-420°,故在720°0°

9、;范圍內(nèi)與P有相同終邊的角是33°-60.2.求弧長與扇形面積例5一扇形中央角為a,所在圓半徑為R.(1)假設(shè)0f=1_,R=10cm,求扇形的弧長及該弧所在弓形的面積;并求此最大值.3)如何用扇形(2)假設(shè)扇形的周長為一定值C(C>0),當a為何值時,該扇形面積最大,導(dǎo)思：(1)扇形的弧長公式是什么(2)怎樣由扇形面積來求弓形的面積(的周長C表示扇形面積(4)怎樣求最大值能用二次函數(shù)來求嗎能用根本不等式來求嗎?解析：(1)設(shè)弧長為l,弓形面積為之,那么l=&(cm),cm2).3110二1一2.二一二故生=S扇-S=-10-10sin=50(-23233(2)解法一：

10、由扇形周長C=2R+l,得l=C-2R,1121C2C2故S扇二一Rl=R(C-2R)二一RRC-(R-)222416當R=C時,S扇有最大值且最大值為4C2.CJ.此時l=C-2R=C,16故：C4=2.故當a=2時,該扇形有最大面積解法二：由扇形周長C=2R+l=2R+aR,得R=-C12故S扇二R21./C、22(23二C2a22當且僅當a=4,即a=2時,扇形面積最大為C216點評：在應(yīng)用扇形弧長和面積公式時,如果圓心角用角度表示,那么應(yīng)先化為弧度；注意不要把弓形面積與扇形面積相混淆.練習(xí)：設(shè)扇形的周長為8cm,面積為4cm,那么扇形的圓心角的弧度數(shù)是.=4,從而a=-r4=2.212

11、解：S=(82r)r=4,即r4r+4=0,解得r=2,故l2卜列角中終邊與330°相同的角是(A.30°B.-30°C.630°D,-630答案：B2、-1120°角所在象限是(A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案：D3、把1485°轉(zhuǎn)化為a+k-360°(0°<a<360°,kCZ)的形式是A.45°4X360°B.45°4X360°C.45°5X360°D.315°5X360°答案：D4、寫出

12、-720°到720°之間與-1068°終邊相同的角的集合.答案：-708,-348,12,3725、終邊在第二象限的角的集合可以表示為：A.aI90°<a<180°B. aI90°+k180°<a<180°+k-180°,kCZC. aI270°+k-180°<a<180°+k180°,keZD. aI-270°+k-360°<a<180°+k-360°,keZ答案：D6、A=第

13、一象限角,B=銳角,C=小于90°的角,那么AB、C關(guān)系是A.B=AACB.BUC=CC.A=CD,A=B=C答案：B7、以下結(jié)論正確的選項是A.三角形的內(nèi)角必是一、二象限內(nèi)的角B.第一象限的角必是銳角C.不相等的角終邊一定不同D':|"k360_90,kZ|-k18090,kZJ答案：D8、假設(shè)ot是第四象限的角,那么180:a是.A.第一象限白角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角答案：C9、與1991°終邊相同的最小正角是,絕對值最小的角是.答案：191二與-169；10、假設(shè)角a的終邊為第二象限的角平分線,那么a的集合為.答案：'

14、;:|：-k360135,kZ?根底穩(wěn)固一、選擇題1 .a=3,那么角a的終邊所在的象限是A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案Ca是第三象限角.解析Iradnl180)；那么a=3rad=(540)°171.9；TtTt2 .與一13孕邊相同的角的集合是3C.'a|a=2k介1kCZ,D.1sin1C.2sin1c2D-sin2答案D解析與一13邊相同的角“=2kL1p,kCZ,a=(2k6)tH-6兀-3-5n=(2k-6),(kCZ).33 .集合A=d2k后a<(2k+1)gkCZ,B=a|-4<a<4,那么AAB=()A.?C.a|一

15、4WaW4|D.a|4W?；?Wn答案D解析kw2或k>1時AAB=?;k=1時AAB=-4,-%k=0時,AAB=0,tt故AAB=-4,ttU0,tt應(yīng)選D.4 .一條弧所對的圓心角是2rad,它所對的弦長為2,那么這條弧的長是()-1Bsin2答案C解析所在圓的半徑為r=土,弧長為2X-i1-=-i2-.sinsinsini5 .某扇形的面積為1cm2,它的周長為4cm,那么該扇形的圓心角等于B. 2C. 4°D.4答案B2r+l=4解析設(shè)扇形的半徑為r,弧長為I,由題意得1"IR=12rr=1解得.I=2,該扇形圓心角a=；=2(rad),應(yīng)選B.6.如圖中,

16、圓的半徑為5,圓內(nèi)陰影局部的面積是()175兀A-36B.125兀8b75兀C78D.34兀9答案A,一兀解析40=40X素30.=30><焉兀6'.s_122兀12175兀_2r9_2r636.二、填空題7 .假設(shè)兩個角的差是1.,它們的和是1弧度,那么這兩個角白弧度數(shù)分別是-180+兀180兀各案360、360尸3=京180+兀180兀解析設(shè)兩角為外3那么S180,a=>3=QPn.360360la+3=18 .正n邊形的一個內(nèi)角白弧度數(shù)等于解析:正n邊形的內(nèi)角和為(n2)q一個內(nèi)角的弧度數(shù)是蛆二2.n三、解做題一,._3%7兀9-570、2=750,0=餐,也一

17、至(1)將“1、"2用弧度制表示出來,并指出它們各自所在象限;(2)將8、&用角度制表示出來,并在一720°0°范圍內(nèi)找出與目、也有相同終邊的角.解析(1)570570兀19兀570.與,邊相同,*曦第二象限,小在第二象限.750.=2s六2T=4.750.與/終邊相同,的第一象限,661'a2在第一象限.3"32Bi=7t-=-X180=108,與其終邊相同的角為108+k360,kCZ,55在一720°0°范圍內(nèi)與6有相同終邊的角是一612°和一252°.同理,份=420°且在一720

18、°0°范圍內(nèi)與國有相同終邊的角是一60°.水平提升一、選擇題扇形的一條弦長等于半徑,那么這條弦所對的圓心角是D.C.答案C解析二.圓心角所對的弦長等于半徑,.該圓心角所在的三角形為正三角形,圓心角是領(lǐng)度.32 .在直角坐標系中,假設(shè)角與角3終邊關(guān)于原點對稱,那么必有A.a=-3B.a=2kTtfkCZC.a=兀+3D.a=2k兀+兀+&kCZ答案D解析將a旋轉(zhuǎn)兀的奇數(shù)倍得83 .在半徑為3cm的圓中,60°的圓心角所對的弧的長度為答案B,一一兀一,、解析由弧長公式得,l=|MR=%x3=兀cm34 .以下各組角中,終邊相同的角是A.2k+1由4k

19、±1,TtkCZB.k%kn+j,kCZC.kTt+62k兀/kCZD.k兀撲號,kCZ答案A解析2k+1與4k±1都表示的是奇數(shù),應(yīng)選A.二、填空題5 .把手寫成時2k兀Z)的形式,使|.|最小的.的值是.3兀答案一了L113371c5兀,解析一7=-2兀=74兀,使|.|最小的0的值是-346 .用弧度表示終邊落在y軸右側(cè)的角的集合為.答案.|2+2kTK«-+2kTt,kCZ)解析y軸對應(yīng)的角可用一2,孰示,所以y軸右側(cè)角的集合為q2+2kTK體言+2kTt,kez).三、解做題7 .x正半軸上一點A繞原點依逆時針方向做勻速圓周運動,點A每分鐘轉(zhuǎn)過.角(0&

20、lt;(X兀)經(jīng)過2min到達第三象限,經(jīng)過14min回到原來的位置,那么.是多少弧度解析由于0<陛兀,所以0<2g27t.又由于2.在第三象限,所以兀<20<32"由于14仁2k%,kCZ,所以2.=不kCZ.當k分別取4、5時,2087?>與5,它們都在兀,3fX因此0=/ad或0=ad.8.設(shè)集合35A=Ma=；kTt,kCZ,B=p|3=；ktt,|k|<10,kCZ,求與APB的角終邊相同的23角的集合.解析設(shè)00cAAB,那么如CA且如CB,3所以00=聲國_5003k2兀,所以余15ti=3k2為即k1=10k2.9由于|k2|<10,k2Z,且k1cZ,所以k=0,±0.因此AAB=0,15兀,15n,故與AAB的角的終邊相同的角的集合為尸2k兀或尸(2k+1)qkCZ=十尸nTt,nCZ.9.扇形AOB的周長為8cm.(1)假設(shè)這個扇形的面積為3cm2,求圓心角的大??；(2)求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的弧度數(shù)和弦長AB.解析(1)設(shè)扇形的圓心角為0,扇形所在圓的半徑為x(cm),第9頁2x+x0=82依題息