小學(xué)數(shù)學(xué)16個易錯的知識點(diǎn)

1、小學(xué) 16 個易錯的知識點(diǎn)1.1.最小的一位數(shù)是 0 0 還是 1 1?這個問題在很長一段時間存在爭論。 先來看看九年義務(wù)教育六年制小學(xué)數(shù)學(xué)第八冊教師教學(xué)用書第9898 頁“關(guān)于幾位數(shù)”的敘述：“通常在自然數(shù)里，含有幾個數(shù)位的數(shù)，叫做幾位數(shù)。例如“2 2”是含有一個數(shù)位的數(shù)，叫做一位數(shù)；“3030”是含有兩個數(shù)位的數(shù)，叫做兩位數(shù)；“405405” 是含有三個數(shù)位的數(shù)，叫做三位數(shù)但是要注意： 一般不說 0 0 是幾位數(shù)。再來 聽聽專家的說明：在自然數(shù)的理論中，對“幾位數(shù)”是這樣定義的，“只用一個有效數(shù)字表示的數(shù)，叫做一位數(shù)；只用兩個數(shù)字（其中左邊第一個數(shù)字為有效數(shù) 字）表示的數(shù)，叫做兩位數(shù)所以，

2、在一個數(shù)中，數(shù)字的個數(shù)是幾（其中最左 邊第一個數(shù)字為有效數(shù)字），這個數(shù)就叫幾位數(shù)。于此，所謂最大的幾位數(shù)，最 小的幾位數(shù)，通常是在非零自然數(shù)的范圍研究。所以一位數(shù)共有九個，即：1、2、3、4、5、6、7、8、9。0 不是最小的一位數(shù)。2、 為什么 0 0 也是自然數(shù)？課標(biāo)教材對“0 也是自然數(shù)”的規(guī)定，顛覆了人們對自然數(shù)的傳統(tǒng)認(rèn)識。于此，中央教科所教材編寫組主編陳昌鑄如是說：國際上對自然數(shù)的定義一直都有不同的說法，以法國為代表的多數(shù)國家都認(rèn)為自然數(shù) 從 0 0開始，我國教材以前一直都是遵循前蘇聯(lián)的說法， 認(rèn)為 0 0 不是自然數(shù)。20002000 年教育部主持召開教材改編會議時，已明確提出將

3、0 0 歸為自然數(shù)。這次改版也是 與國際慣例接軌。 從教學(xué)實(shí)踐層面來說， 將“0”規(guī)定為“自然數(shù)”也有著積極 的現(xiàn)實(shí)意義。 2.12.1 “0 0”作為自然數(shù)的“好處”。眾所周知，數(shù)學(xué)中的集合被分為 有限集合和無限集合兩類。有限集合是含有有限個元素的集合，像某班學(xué)生的集 合。無限集合是含有的元素個數(shù)是非有限的集合，如分?jǐn)?shù)的集合。因?yàn)樽匀粩?shù)具有“基數(shù)”的性質(zhì)，因此用自然數(shù)來描述有限集合中元素的個數(shù)是很自然的。但 在有限集合中，有一個最主要也是最基本的集合，叫空集，元素個數(shù)為0 0。如果不把 0 0 作為自然數(shù)，那么空集的元素的個數(shù)就無法用自然數(shù)來表示了。如果把“0 0”作為一個自然數(shù)，那么自然數(shù)

4、就可以完成刻畫“有限集合元素個數(shù)”的 任務(wù)了。于此，從“自然數(shù)的基數(shù)性”這個角度，我們看到了把“0 0”作為自然數(shù)的好處。2.22.2 把“0 0”作為自然數(shù)，不會影響自然數(shù)的“運(yùn)算功能”。“ 0 0”加入傳統(tǒng)的自然數(shù)集合，所有的“運(yùn)算規(guī)則”依舊保持，如新自然數(shù)集合0,1,2,0,1,2,n , ,中的任何兩個自然數(shù)都可以進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算，而運(yùn)算結(jié)果仍然是自然數(shù)。同時，加法、乘法運(yùn)算的結(jié)合律和交換律，以及乘法的分配律也不會受到影 響。所以，“ 0 0”加盟到自然數(shù)集合實(shí)屬理所當(dāng)然，而不僅僅是人為的“規(guī)定”。 它讓我們更好地理解自然數(shù)和它的功能，同時也讓我們意識到教學(xué)時不僅要知道 和記住數(shù)學(xué)的

5、“定義”和“規(guī)定”，還應(yīng)該思考“規(guī)定”背后的數(shù)學(xué)涵義。3 3、什么是有效數(shù)字一無效數(shù)字？有效數(shù)字是對一個數(shù)的近似值的精確程度 而提出的。同一個近似數(shù)如果在取舍時，保留的有效數(shù)字多，就比保留的有效數(shù) 字少更精確。一般說，一個近似數(shù)四舍五入到哪一位， 就說這個近似數(shù)精確到哪 一位。這時，從左邊第一個非零的數(shù)字起，到那一位上的所有數(shù)字都叫做這個數(shù) 的有效數(shù)字。如近似數(shù) 0 0.0 0 3 0 9 有三個有效數(shù)字：3、0、9;0.520 也有三個有效數(shù)字：5、2、0。而 0. 0030 9 中左邊的三個零，0.5 20 中左邊的一個零，都叫做無效數(shù)字。4、 加法與減法、乘法與除法是否互為逆運(yùn)算？ “加

6、法與減法互為逆運(yùn)算、乘法與除法互為逆運(yùn)算”這似乎成了許多老師的口頭禪，這其實(shí)是一種誤解。例 如：加法“ 2 + 3 = 5”，其逆算為“ 5 2 = 3”，“5 3 = 2”。故此， 加法的逆運(yùn)算只有減法；減法“ 5 2 = 3”，其逆算有 “5 3 = 2” ，“2+ 3 = 5”。故此，減法的逆運(yùn)算有減法和加法兩種運(yùn)算。綜上可知，只能說減 法是加法的逆運(yùn)算，而不能說加法與減法互為逆運(yùn)算。 同理，也只能說除法是乘 法的逆運(yùn)算，而不能說乘法與除法互為逆運(yùn)算。5 5、 為什么不寫“倍”？在學(xué)習(xí)“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”應(yīng)用題時，很多小朋友會自然提出這樣的疑問口：“飼養(yǎng)小組養(yǎng)了1212 只小雞，

7、3 3 只小鴨，小雞的只數(shù)是小鴨的幾倍？ ”為什么“ 1212 寧 3 3 = 4 4”的后面不寫“倍”呢？ 我們首先應(yīng)該肯定學(xué)生的質(zhì)疑（學(xué)生有較強(qiáng)的解題規(guī)范意識）。但同時又該對學(xué) 生說明：在解答應(yīng)用題時，得數(shù)后面一般要寫上的是數(shù)的單位名稱。如：1212 只的“只”；8 8 克的“克”。一個數(shù)只有帶上單位名稱，才能準(zhǔn)確地表示出一個物體的多少、大小、長短、輕重等等。但是，“倍”不是單位名稱，它表示兩個數(shù) 量之間的一種關(guān)系。例如，上面的計算結(jié)果“ 4 4”，表示 1212 里面有 4 4 個 3 3,就是 1212 只小雞是 3 3 只小鴨的 4 4 倍。所以，在算式里不寫“倍”，以免“倍”與單位

8、 名稱發(fā)生混淆。6 6、“倍”和“倍數(shù)”的區(qū)別在第一學(xué)段我們學(xué)習(xí)了“倍的初步認(rèn)識”，認(rèn)識了概念“倍”，而在第二學(xué)段 ，我們又學(xué)習(xí)到“倍數(shù)”這個 概念。那么，“倍”和“倍數(shù)”這兩個詞到底是不是一回事呢？這兩個詞之間有 什么區(qū)別呢？“倍”指的是數(shù)量關(guān)系，它建立在乘除法概念的基礎(chǔ)上。例如：男 生有 1010 人，女生有 3030 人，因?yàn)椤?1010X 3=303=30”或者“ 3030- 10=310=3”，我們就說，女 生人數(shù)（3030）是男生人數(shù)（1010）的 3 3 倍，也可以說，男生人數(shù)（1010）的 3 3 倍等于 女生人數(shù)（3030） o勿寧說，“倍”其實(shí)表示的是兩個數(shù)的商（這個商可以

9、是整數(shù)、 小數(shù)、分?jǐn)?shù)等各種表現(xiàn)形式）?！氨稊?shù)”指的是數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，它建立在整 除概念的基礎(chǔ)上。例如，3030 能被 6 6 整除，3030 就是 6 6 的倍數(shù)。可見，“倍數(shù)”是 不能獨(dú)立存在的（具有特定的指向性），而且對數(shù)的形式有特別的要求（必須為 整數(shù)）。同時我們又看到，3030 也是6 6 的 5 5 倍，因?yàn)?6 6X 5 5= 3030,“ 6 6X 5 5”表示 6 6 的 5 5 倍。所以從這個角度來說，“倍”的涵義應(yīng)寬泛于“倍數(shù)”，后者可以視為 前者在特定情形下的一種表現(xiàn)。7 7、 “時”和“小時”有什么不同？怎樣使用“時”和“小時”？首先應(yīng)該 明確的是，小時并非國際時間單

10、位。在 19841984 年國務(wù)院發(fā)布的關(guān)于我國統(tǒng) 一法定計量單位的命令 中， 把秒作為時間的基本單位，把非國際單位制的時間 單位天（日） 、小時、分作為輔助單位。（注：里的字，在不致混淆的情況下，可以省略）。這樣，在我國范圍內(nèi)使用的法定時間單位就有：天（日）、小時、分、秒。由此，“時”既可以表示時間，又可以表示時刻。由于“時 間”和“時刻”這兩個不同的概念容易產(chǎn)生混淆， 在實(shí)際應(yīng)用時間單位“時”時， 現(xiàn)行教材作了如下處理：7 7. 1 1 當(dāng)列式計算出時間的長短時，在得數(shù)的括號里寫 上時間的單位“時”。例如：超市營業(yè)時間：21-9=1221-9=12 （時）。（此處可省略“小” 字）7 7.

11、 2 2 在用語言表述時間的長短時， 為避免“時間”和“時刻”這兩個概念 產(chǎn)生混淆， 則在“時”的前面加上一個“小”字。例如：超市營業(yè)時間1212 小時。7 7. 3 3 在用語言表示時刻時，一律不得出現(xiàn)“小時”字樣。例如：公園每天早上 7 7 時3030 分開園（而非 7 7 小時 3030 分）。8 8、 “改寫”和“省略”是一樣的嗎？先來看的教材例題截圖（人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第七冊 2222 頁）。從形式上看，此例將“改寫”與“省略”兩種對數(shù)的變化 置于了同一個要求之下（即改寫成用“億”作單位的數(shù)）。我們真希望編者不是 有意而為之，因?yàn)椤案膶憽迸c“省略”其本質(zhì)是完全不同的。表現(xiàn)在：8.18.1

12、 目的不同?！案膶憽钡哪康氖欠奖銓Υ髷?shù)的讀寫，而“省略”則是取數(shù)的近似值。8.28.2 方法不同。此處的“改寫”是去掉“億”位后面的 0 0,再寫上一個“億”字，而 “省略”除了要找準(zhǔn)“億”位，還要考慮被省略的尾數(shù)的最高位是幾，然后用四 舍五入法求出近似數(shù)。 8.38.3 符號不同。 “改寫”只改變了數(shù)的表現(xiàn)形式， 大小并 未改變， 所以用“二”號連接；而“省略”既改變了數(shù)的形式，又改變的數(shù)的大 小，所以用連接。9 9、 “路程”就是“距離”嗎？這兩個詞在許多老師的教學(xué)語言中是替代使 用的，其實(shí)不然?！奥烦獭笔侵笍囊粋€地點(diǎn)到另一個地點(diǎn)所經(jīng)過路線的長度；而“距離”則指連接兩個地點(diǎn)而成的直線段的長

13、度。如下圖：可以看到，“路程” 所經(jīng)過的路線可以是曲形線，也可以是直形線，還可能是折形線。一般情況下， 兩個地點(diǎn)之間的“路程”要大于它們之間的“距離”， 只有當(dāng)兩個地點(diǎn)之間的路 線為直線時，路程和距離才相等。雖然老師們都知道這個等式是成立的，但我們的學(xué)生卻沒有相應(yīng)的知識儲備，怎樣繞開”極限”尋找能為小學(xué)生所理解和接受 的證明途徑，我想至少可以考慮幾下幾種方法：1010、最大的分?jǐn)?shù)單位是 1/21/2 還是 1/11/1 ?先看看分?jǐn)?shù)單位的含義：把單位“ 1 1”平均分成若干份，表示這樣一份的數(shù)。顯然，在分?jǐn)?shù)意義中，關(guān)鍵是“分”，沒有“分”，就沒有“份”。因?yàn)榘褑挝弧?1 1”平均分成的最少份數(shù)

14、是 2 2 份（如果 是 1 1份，也就無所謂“分”），由此得到的分?jǐn)?shù)單位是1/21/2，所以 1/21/2 是最大的分?jǐn)?shù)單位。盡管就廣義的分?jǐn)?shù)來說，1/11/1 也可視作分?jǐn)?shù)，但它已不是我們通常意 義上認(rèn)識的與整數(shù)對立的那種分?jǐn)?shù)（在平均分的基礎(chǔ)上所產(chǎn)生），故此，最大的 分?jǐn)?shù)單位應(yīng)以 1/21/2 為宜。1111、像 0/30/3、0.2/30.2/3、3/0.23/0.2 這樣的數(shù)是不是分?jǐn)?shù)？分?jǐn)?shù)的定義明確告訴我們：把單位“ T T 平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)，叫分?jǐn)?shù)。其中，分 成的份數(shù)叫做分?jǐn)?shù)的分母，要表示的份數(shù)叫做分子。由此可知，分?jǐn)?shù)的分子和分 母都應(yīng)該是非零自然數(shù)。從這個意

15、義來說，以上這幾個數(shù)徒具分?jǐn)?shù)的形式，而不 具分?jǐn)?shù)的實(shí)質(zhì)，因此都不應(yīng)該視為分?jǐn)?shù)。進(jìn)而，在考查學(xué)生對“分?jǐn)?shù)”涵義的理 解時，應(yīng)著眼于通常意義上的分?jǐn)?shù)，將上述這些變異形式納入思考的范圍，其本身對訓(xùn)練學(xué)生的思維并無多大實(shí)際意義，而且會令諸如“分?jǐn)?shù)都大于0 0”等命題的真與假陷入尷尬。1212、比 6 6 多 1/21/2 的數(shù)”應(yīng)該是“ 6+1/26+1/2 ”還是“ 6+6+ （1+1/21+1/2） ”？要弄清這個 問題，先得弄清“ 6 6”的性質(zhì)。顯然，此處的“ 6 6”其實(shí)質(zhì)是一個“數(shù)”，而非一 個“量”，求“比 6 6 多 1/21/2 的數(shù)”應(yīng)屬于“求比一個數(shù)多幾的數(shù)”的范疇，問題 中的“

16、多幾”都是確定的具體數(shù)，這里的“幾”既可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)或 分?jǐn)?shù)。所以，這里的“ 1/21/2”是指在 6 6 的基礎(chǔ)上“多 1/21/2 ”這個“ 1/21/2 ”數(shù)的本身， 而非“6 6 的 1/21/2 ”。所以，“比 6 6 多 1/21/2 的數(shù)”應(yīng)該是“ 6+1/26+1/2”。當(dāng)然，如果題 目確定為“比 6 6 多它的 1/21/2 的數(shù)”，那答案則屬于后者。1313、計算出勤率可不可以不乘 100%100%先來看看新人教版、北師大版和蘇教版三個不同版本的教材對類似問題的理解。（截圖為相關(guān)例題的解答部分）同一課程標(biāo)準(zhǔn)下，不同的教材給出了不同的理解，這給執(zhí)教者帶來了困惑：到底

17、可不 可以不乘 100100 咂？筆者以為，求“XX 率”其結(jié)果必定為百分率。以出勤率為 例，就是求實(shí)際出勤人數(shù)占應(yīng)出勤人數(shù)的百分之幾。如果公式只寫成：出勤率= =實(shí)際出勤人數(shù)/應(yīng)出勤人數(shù)，我們說這只是分?jǐn)?shù)形式（也即是求實(shí)際出勤人數(shù)占 應(yīng)出勤人數(shù)的“幾分之幾”），并不是百分?jǐn)?shù)。因此，在公式后面乘上“10 0%”， 既可以使計算數(shù)值大小不變，又能保證結(jié)果形式滿足百分?jǐn)?shù)的要求。 因此，計算 出勤率、發(fā)芽率、出粉率、合格率的公式中，都應(yīng)乘“1 0 0%”。同時建 議各版本教材的編委統(tǒng)一思想，以免給一線教師造成認(rèn)識上的混亂。1414、 小于 9 0度的角都是銳角嗎？根據(jù)課標(biāo)教材定義： 小于 90度的角

18、叫做銳角。答案似乎是肯定的，但由此又產(chǎn)生一個新的問題：0度的角是什么角，也 是銳角嗎？事實(shí)是，銳角定義有一個隱含的前提，就是小學(xué)數(shù)學(xué)中所討論的角都 是正角。習(xí)慣上，我們把射線按逆時針方向旋轉(zhuǎn)而得到的角叫做正角，射線按順時針方向旋轉(zhuǎn)而得到的角叫做負(fù)角，當(dāng)一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)時，就把它看成 零角。如果將角的概念推廣到任意大小的角，就應(yīng)分為正角、負(fù)角、和零角。由此，嚴(yán)格意義上的銳角定義應(yīng)是：大于 0 度而小于 9 0 度的角叫做銳角。（建議教材作出修改）1515、足球比賽記分牌上的“ 3：2 ”是數(shù)學(xué)中的“比”嗎？我們至少可以從兩個方面來理解它們的差別。第一，球類比賽中的“3：2”表示的是比賽雙方的得分情況，是“差”比，即表示相差關(guān)系，一方得 3分，另一方得 2 分，雙 方相差 1分；數(shù)學(xué)中的“ 3：2 ”表示的是“ 3 寧 2”，是“倍”比，商為 1.5.5 o有鑒于此，球類比賽中的“比”（其實(shí)是比分），其后數(shù)可以為 0的，而數(shù)學(xué)中