三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)復(fù)習(xí)

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載授課主題三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)復(fù)習(xí)教學(xué)目的三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的考查中，以圖象的變換，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對 稱性、最值等作為熱點內(nèi)容，并且往往與三角變換公式相互聯(lián)系，有時也與平面向量， 解三角形或不等式內(nèi)容相互交匯教學(xué)重點運用三角函數(shù)知識解決綜合問題教學(xué)內(nèi)容1 用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖正弦函數(shù) ysin x，x0,2 的圖象中，五個關(guān)鍵點是： （0,0），（2，1），（ ，0），（32， 1），（2 ，0）2、 三角函數(shù)定義、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式（1）定義：設(shè) 是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x，y），則 sin y， cos x， tan yx.各

2、象限角的三角函數(shù)值的符號：一全正，二正弦，三正切，四余弦2 2 sin (2) 同角關(guān)系： sin2cos21，tan .cos （3）誘導(dǎo)公式：在 k2，kZ 的誘導(dǎo)公式中“奇變偶不變，符號看象限”3 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)性 質(zhì)y sin xycos xytan x定義域RR x|xk 2， kZ圖象值域1,11,1R對稱性對稱軸： xk 2 (kZ)；對稱中心：(k，0)(kZ)對稱軸： x kk(Z)；對稱中 心：(k2，0)(kZ)對稱中心：(kZk2，0)周期22單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間 2k 2，2k2(kZ)； 單調(diào)減區(qū)間 2k 3 2，2k 2 (kZ )單調(diào)增

3、區(qū)間 2k ，2k (kZ)；單 調(diào)減區(qū)間 2k，2k(kZ)單調(diào)增區(qū)間 (k 2，k2)(kZ)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)4 三角函數(shù)的兩種常見變換 y 3，2 ，ymax ymin 2 3.tan x10(2)要使函數(shù)有意義，必須有 ，x2k，kZx 4 k，kZ即4x k，kZ .2故函數(shù)的定義域為 x|x4k且 x2 k，k Z 思維升華 (1)求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡單的三角不等式， 常借助三角函數(shù)線或三角 函數(shù)圖象來求解(2)求解三角函數(shù)的值域 (最值 )常見到以下幾種類型的題目：形如 y asin xbcos xc 的三角函數(shù)化為 yAsin(x)k 的形式，再求最值 (值域

4、)； 形如 yasin2xbsin xc的三角函數(shù)，可先設(shè) sin xt，化為關(guān)于 t 的二次函數(shù)求值域 (最 值)；形如 yasin xcos xb(sin x±cos x)c的三角函數(shù)，可先設(shè) tsin x±cos x，化為關(guān)于 t 的二 次函數(shù)求值域 (最值 )(1)函數(shù) ylg(sin x) cos x 21的定義域為 (2)函數(shù) ysin2xsin x1 的值域為( )5A1,1B4， 155C45，1D1，54sin x>0，解析 (1)要使函數(shù)有意義必須有1cos x20，sin x>0，2k<x< 2k，即 1 解得 (k Z )，c

5、os x2，32kx32k2k<x32k，kZ，函數(shù)的定義域為 x|2k<x32k，kZ 22(2)ysin2xsin x1，令 tsin x，則有 yt2t1，t1,1，畫出函數(shù)圖象如圖所示，從圖象可以看出，當(dāng) t 12及 t1時，函數(shù)取最值，代入 yt2t1，5可得 y 4，1(1)ysin 題型二 三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性 例 2 寫出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及周期： 2x3；(2)y|tan x|.解 (1)y sin 2x 3，它的增區(qū)間是 ysin 2x3的減區(qū)間，它的減區(qū)間是 ysin 2x3的增區(qū)間 由 2k22x32k2，k Z ，5 得 k 12xk12，kZ. 3

6、由 2k22x 3 2k 2 ， kZ，511得 k 12xk 12 ，kZ .故所給函數(shù)的減區(qū)間為 k 12，k 512，k Z ； 增區(qū)間為 k512，k1112， kZ.2最小正周期 T 22 .(2)觀察圖象可知， y|tan x|的增區(qū)間是 k，k2，kZ，減區(qū)間是 k2，k，kZ.最小正周期 T. 思維升華 (1)求形如 yAsin(x)或 yAcos(x)(其中，>0)的單調(diào)區(qū)間時，要視 “x ”為一個整體，通過解不等式求解但如果 <0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將 化為正 數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡單化原則， 將解析式先化簡， 并注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)

7、性規(guī)律 “同 增異減”(3)求含有絕對值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定(2013 ·阜新模擬 )求函數(shù) ysin 34x cos 4x6的周期、單調(diào)區(qū)間及最大、最 小值解 3 4x 6 4x 2， cos 4x 6 y2sin 4x3，周期 T242. 當(dāng)22k4x322k k(Z)時，函數(shù)單調(diào)遞增， 函數(shù)的遞增區(qū)間為 524k2，24k2 (k Z) 當(dāng)22k4x3322k k(Z)時，函數(shù)單調(diào)遞減， 函數(shù)的遞減區(qū)間為 24k2，274k2(kZ)當(dāng) x24k2(kZ)時， ymax2；當(dāng) x524k2(kZ)時， ymin 2.題型三 三角函數(shù)的奇偶性和

8、對稱性例 3 (1)已知 f(x)sin x 3cos x(xR)，函數(shù) yf(x ) | 2 的圖象關(guān)于直線 x 0 對 稱，則 的值為 (2)如果函數(shù) y3cos(2x)的圖象關(guān)于點 43，0 中心對稱，那么 |的最小值為 ()A.6 B.4C.3 D.2解析 (1)f(x)2sin x 3，yf(x)2sinx3 圖象關(guān)于 x 0 對稱，即 f(x )為偶函數(shù) 3 2 k， kZ ， k6，k Z ，又|2，6.2324(2)由題意得 3cos 2× 3 3cos2 3cos 3 0，2 3 k2，kZ ， k6，kZ ，取 k0，得|的最小值為 6.思維升華 若 f(x)As

9、in(x)為偶函數(shù)，則當(dāng) x0 時，f(x)取得最大值或最小值 若 f(x)Asin(x)為奇函數(shù)，則當(dāng) x0 時，f(x)0. 如果求 f(x)的對稱軸，只需令 x2k k(Z )，求 x.如果求 f(x)的對稱中心的橫坐標(biāo)，只需令 xk k(Z)即可(1)若函數(shù) f(x) sin axcos ax(a>0)的最小正周期為 1，則它的圖象的一個對稱中 心為 ( ) A (8，0)B(0,0)11 C (8，0)D (8，0) (2)設(shè)函數(shù) ysin(x)(>0，( 2，2)的最小正周期為 ，且其圖象關(guān)于直線 x12對稱，則在下面四個結(jié)論：圖象關(guān)于點 (4，0)對稱；圖象關(guān)于點 (

10、3， 0)對稱；在 0 ，6 上是增函數(shù)；在 6，0上是增函數(shù)中，所有正確結(jié)論的編號為 答案 (1)C (2)解析 (1)由條件得 f(x) 2sin(ax 4)，2 又函數(shù)的最小正周期為 1，故 1， a2， a故 f(x) 2sin(2 x 4)1將 x 81代入得函數(shù)值為 0.(2)T， 2.又 2×12 k2(kZ)，k3(k Z )(2，2)，3，ysin(2x3)，由圖象及性質(zhì)可知 正確題型四 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用37例 2 已知 <<2， cos（ 7 ） 5，求 sin（3 ） ·tan 2的值（2）cos（ 7）cos（7 ）cos( ) cos 3

11、5，3 cos .5 sin（3 ） ·tan72sin（ ） ·tan 72sin·tan 2 sincos 3·sin cos 5.跟蹤練習(xí)已知 sin 是方程 5x2 7x 6 0 的根， 是第三象限角，則sin 32cos 32·tan （ ）33方程 5x27x 6 0 的根為 5或 2，又 是第三象限角， sin 5，cos 1 sin2345，sin 5 3cos sin 2 2 9sin ·cos ，原式·tan tan .cos 4 4sin ·cos 16題型五 函數(shù) yAsin(x )的圖象及

12、變換 例 1 設(shè)函數(shù) f(x)sin x 3cos x(>0)的周期為 .(1)求它的振幅、初相；(2)說明函數(shù) f(x)的圖象可由 ysin x 的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到 解 (1)f(x) sin x 3cos x1 3 2(2sin x 2 cos x)2sin(x3)，2又 T， ，即 2.f(x)2sin(2x3) 函數(shù) f(x) sin x 3cos x的振幅為 2，初相為 3.(3)方法一 把 ysin x 的圖象上所有的點向左平移 3個單位，得到 ysin x3的圖象，再把 ysin x3的圖象上的點的橫坐標(biāo)縮短到原來的 12倍(縱坐標(biāo)不變 )，得到 ysin 2x3的

13、圖 象，最后把 ysin 2x 3上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的 2 倍(橫坐標(biāo)不變 )，即可得到 y 2sin 2x3的圖象1方法二 將 ysin x 的圖象上每一點的橫坐標(biāo) x 縮短為原來的 21倍，縱坐標(biāo)不變， 得到 y sin 2x 的圖象；再將 ysin 2x 的圖象向左平移 6個單位，得到 ysin 2 x6 sin 2x3的圖象；再將 ysin 2x 3的圖象上每點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長為原來的2 倍，得到 y 2sin 2x3的圖象思維升華 (1)五點法作簡圖：用“五點法”作 yAsin(x)的簡圖，主要是通過變量代換，2來求出相應(yīng)的 x，通過列表，計算得出五點坐標(biāo)，描點后

14、得出圖象2、圖象變換：由函數(shù) ysin x 的圖象通過變換得到 y Asin(x)的圖象，有兩種主要途徑： “先平移后伸縮 ”與“先伸縮后平移 ”3、在圖象變換過程中務(wù)必分清是先相位變換，還是先周期變換變換只是相對于其中的自 變量 x 而言的，如果 x 的系數(shù)不是 1，就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向例 2 (1)已知函數(shù) f(x)2sin(x )(其中>0，|<2)的最小正周期是 ，且 f(0) 3，則 ()A21，6B21，3C2，6D 2，3(2)已知函數(shù) f(x)Asin(x) (A>0，|<2，>0)的圖象的一部分如圖所示，則該函數(shù)的解析式

15、為解析 (1)f(x)(>0， |<2)的最小正周期為 ， T 2 ， 2.f(0)2sin 3，即 sin 23， |<2， 3.(2)觀察圖象可知： A2 且點(0,1)在圖象上，1 1 2sin(·0 )，即 sin 2.|<2，6.1111 又 1121是函數(shù)的一個零點，且是圖象遞增穿過 x 軸形成的零點， 1112 62， 2.f(x) 2sin 2x 6.思維升華 根據(jù) yAsin(x)k 的圖象求其解析式的問題， 主要從以下四個方面來考慮： 最高點最低點A 的確定：根據(jù)圖象的最高點和最低點，即 A最高點最低點 ； k 的確定：根據(jù)圖象的最高點和最

16、低點，即 k最高點最低點 ；2 的確定：結(jié)合圖象，先求出周期 T，然后由 T (>0)來確定 ；的確定：由函數(shù) y Asin(x)k最開始與 x軸的交點(最靠近原點 )的橫坐標(biāo)為 (即 令 x 0， x ) 確定如圖為 yAsin(x )的圖象的一段(1)求其解析式；列方程組 ·30，5 ·6 ， 所求解析式為 y 3sin 22x23.(2)f(x) 3sinx63，(2)若將 y Asin(x)的圖象向左平移 6個單位長度后得 yf(x)，求 f(x)的對稱軸方程解 (1) 由圖象知 A 3， 以M 3，0 為第一個零點，2，解之得223. 5k令 2x 3 2

17、kk(Z )，則 x12 2 (k Z )， f(x)的對稱軸方程為 x152k2(kZ )、選擇題1 下列函數(shù)中，周期為 且在0，2 上是減函數(shù)的是()B ycos(x 4)Dy cos 2xAysin(x4) Cy sin 2x 答案 D 解析 對于函數(shù) y cos 2x，T， 當(dāng) x0，2時，2x0，ycos 2x是減函數(shù)2 (2012 ·湖南)函數(shù) f(x)sin xcosA2,2C1,1x 6 的值域為 B 3， 3 D. 23， 23()答案 B解析 將函數(shù)化為 yAsin(x )的形式后求解 f(x)sin xcos x6sin xcos xcos sin xsin63

18、1sin x 2 cos x2sin x313 2 sin x2cos xR)，f(x)的值域為 3， 3 3、設(shè) >0，函數(shù) y sin(x3)是A.23答案42 的圖象向右平移 3個單位后與原圖象重合，則 的最小值()B.43 C.32 D3 C3kZ )，min2.4解析由函數(shù)向右平移 43個單位后與原圖象重合，得 43是此函數(shù)周期的整數(shù)倍又 >0， 2 4 ·k 3 (kZ )，4 為得到函數(shù) ycos（2x3）的圖象，只需將函數(shù) ysin 2x 的圖象（ ）A 向左平移 152個單位長度5B向右平移 152個單位長度C向左平移 56個單位長度D向右平移 56個單

19、位長度 答案 A 5 解析 y cos（2x3）sin2（2x3）sin（2x 6 ）555故要得到 ysin（2x 6）sin 2（x12）的圖象，只需將函數(shù) ysin 2x 的圖象向左平移 12個單位 長度5 （2012 ·天津 ）將函數(shù) f（x） sin x（其中 >0）的圖象向右平移 4個單位長度，所得圖象經(jīng)過點 34， 0 ，則 的最小值是（ ）1A.3B15C.3D 2答案 D解析 根據(jù)題意平移后函數(shù)的解析式為 ysin x4，將 4 ，0 代入得 sin 2 0，則 2k， kZ，且 >0，故 的最小值為 2.二、填空題6 函數(shù) ycos（42x）的單調(diào)減區(qū)間為 5 答案 k8，k 8 （kZ）解析由 y cos2k2x42kk（Z），5 故 k8xk 8（kZ）所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為 k8，k58（kZ）7 當(dāng)2x2時，函數(shù) ysin x 3cos x的最大值為 ，最小值為 答案 2 1 5 解析 y2sin（x3），6x3 6 ，12sin(x3)1，1y2，故 ymax2， ymin 1.8 已知函數(shù) f(x)Atan(x )(>0，|<2)，yf(x)的部分圖象如圖，則 f(24) .答案 3解析 由題中圖象可知，此正切函數(shù)的半周期等于 388