全等三角形判定(提高)知識(shí)講解

1、全等三角形判定（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 理解和掌握全等三角形判定方法“邊角邊”、 “角邊角”、 “角角邊”、 “邊邊邊”定理2能把證明一對(duì)角或線段相等的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個(gè)三角形全等.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、全等三角形判定1 “邊角邊”1. 全等三角形判定1 “邊角邊”兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）要點(diǎn)詮釋：如圖， 如果AB A'B'， AA'， AC A'C'， 則ABCA'B'C '.注意：這里的角，指的是兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角.2. 有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定

2、全等.如圖，ABC與ABD中，ABAB，ACAD，BB，但ABC與ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.要點(diǎn)二、全等三角形判定2“角邊角”全等三角形判定2“角邊角”兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”） .要點(diǎn)詮釋：如圖，如果AA'，ABA'B'，BB'，則ABCA'B'C' .1. 全等三角形判定3“角角邊”兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成 “角角邊”或 “ AAS”）要點(diǎn)詮釋：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩

3、個(gè)三角形的第三對(duì)角對(duì)應(yīng)相等 . 這樣就可由“角邊角”判定兩個(gè)三角形全等，也就是說(shuō)，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.2. 三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.A，如圖， 在ABC和ADE中，如果DEBC，那么ADEB，AEDC，又A但ABC和ADE不全等. 這說(shuō)明，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.要點(diǎn)四、全等三角形判定4“邊邊邊”全等三角形判定4“邊邊邊”三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等. （可以簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”） .要點(diǎn)詮釋：如圖，如果A' B' AB， A'C' AC， B'C ' BC，則ABCA'B

4、'C'要點(diǎn)五、判定方法的選擇1. 選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見下表：已知條件可選擇的判定方法一邊一角對(duì)應(yīng)相等SAS AAS ASA兩角對(duì)應(yīng)相等ASA AAS兩邊對(duì)應(yīng)相等SAS SSS2. 如何選擇三角形證全等（ 1）可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，可以證這兩個(gè)三角形全等；（ 2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個(gè)三角形全等；（ 3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個(gè)三角形全等，然后證它們?nèi)?；?4）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.【典型例題】類型一、全等三角形的判定1 “邊

5、角邊”1 、如圖，AD是ABC的中線，求證：AB AC> 2AD延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使AD DE，連接CE通過(guò)證全等將AB轉(zhuǎn)化到CEA中，同時(shí)也構(gòu)造出了2AD利用三角形兩邊之和大于第三邊解決問(wèn)題【答案與解析】證明：如圖，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使AD DE，連接CE在ABD和ECD中，AD DEADB EDCBD CDABDECD（ SAS） AB CE AC CE> AE， AC AB> AE 2AD即AC AB> 2AD【總結(jié)升華】證明邊的大小關(guān)系主要有兩個(gè)思路：（ 1）兩點(diǎn)之間線段最短；（ 2）三角形的兩邊之和大于第三邊要證明AB AC> 2AD，如果歸到一個(gè)三角形中，

6、邊的大小關(guān)系就是顯然的， 因此需要轉(zhuǎn)移線段，構(gòu)造全等三角形是轉(zhuǎn)化線段的重要手段可利用旋轉(zhuǎn)變換，把 ABD繞點(diǎn)D 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到CED，也就把AB轉(zhuǎn)化到CEA中，同時(shí)也構(gòu)造出了2AD若題目中有中線，倍長(zhǎng)中線，利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造全等三角形是一種重要方法2、已知，如圖：在ABC中，B 2 C， AD BC，求證：AB CD BD在DC上取一點(diǎn)E，使BDDE，則ABDAED，所以ABAE，只要再證出EC AE 即可【答案與解析】證明：在DC上取一點(diǎn)E，使BD DE AD BC，ADB ADE在 ABD和AED中，BD DE ADB= ADEAD ADABDAED（ SAS） ABAE，

7、BAED又B 2CAEDCEACCEACAE EC AB AE EC CD DE CD BD【總結(jié)升華】此題采用截長(zhǎng)或補(bǔ)短方法. 上升到解題思想，就是利用翻折變換，構(gòu)造的全等三角形，把條件集中在基本圖形里面，從而使問(wèn)題加以解決如圖，要證明AB CD BD，把 CD BD轉(zhuǎn)化為一條線段，可利用翻折變換，把ABD沿 AD翻折，使線段 BD運(yùn)動(dòng)到DC上，從而構(gòu)造出CD BD，并且也把B 轉(zhuǎn)化為AEB，從而拉近了與C的關(guān)系 .舉一反三：1【變式】已知，如圖，在四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，并且AE(AB2AD) ，求證：BD 180° .【答案】證明：在線段AE 上，截取E

8、F EB，連接FC， CE AB，CEBCEF 90°在CBE和CFE中，EB EF CEB CEFEC =ECCBE和CFE（ SAS）BCFE1 AE（ AB AD） ，2AE AB AD2 AD 2AE AB AE AF EF，AD2（AFEF）AB2AF2EFABAFAFEFEBABAFABAB，即 AD AF在AFC和ADC中AF ADFACDAC （角平分線定義）AC ACAFCADC（ SAS）AFCDAFCCFE 180°，BCFE.AFCB 180°，BD 180° .類型二、全等三角形的判定2“角邊角”3、如圖，G是線段AB上一點(diǎn)，A

9、C和 DG相交于點(diǎn)E. 請(qǐng)先作出ABC的平分線BF，交AC于點(diǎn)F；然后證明：當(dāng)ADBC，ADBC，ABC2ADG時(shí)，DEBF.通過(guò)已知條件證明DACC，CBFADG，則可證DAEBCF【答案與解析】證明： AD BC，DACC BF 平分 ABCABC2CBFABC2ADGCBFADG在DAE與BCF中ADG CBFAD BCDAC CDAEBCF（ASA） DE BF【總結(jié)升華】利用全等三角形證明線段（角 ）相等的一般方法和步驟如下：（1） 找到以待證角（ 線段 ） 為內(nèi)角 （ 邊 ） 的兩個(gè)三角形；（2） 證明這兩個(gè)三角形全等；（3） 由全等三角形的性質(zhì)得出所要證的角（ 線段 ） 相等舉一

10、反三：MPN中，H 是高M(jìn)Q和 NR的交點(diǎn)，且MQ NQ求證：HN PM.【答案】證明：MQ和 NR是MPN的高，MQNMRN 90°，又1 324 90°，341 2在MPQ和NHQ中，12MQ NQMQP NQHMPQNHQ（ ASA） PM HN類型三、全等三角形的判定3“角角邊”4、 已知： 如圖， ACB 90 ， AC BC ， CD 是經(jīng)過(guò)點(diǎn)C 的一條直線，過(guò)點(diǎn)A、 B 分別作 AE CD 、 BF CD ，垂足為E、 F，求證： CE BF .【答案與解析】證明：AE CD ， BF CD AECBFC90 BCFB 90 ACB 90 , BCFACF90ACFB在BCF 和CAE 中AEC BFCACE BAC BC BCF CAE （ AAS） CE BF【總結(jié)升華】要證 CE BF ，只需證含有這兩個(gè)線段的BCF CAE . 同角的余角相等是找角等的好方法.類型四、全等三角形的判定4“邊邊邊”5、如圖，在ABC和ADE中，ABAC，ADAE，BDCE，求證：BADCAE.【答