北師大版九年級下冊數(shù)學(xué)[《圓》全章復(fù)習(xí)與鞏固—知識點(diǎn)整理及重點(diǎn)題型梳理](提高)

1、精品文檔用心整理北師大版九年級下冊數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破 知識點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解圓及其有關(guān)概念，理解弧、弦、圓心角的關(guān)系；探索并了解點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系，探索并掌握圓周角與圓心角的關(guān)系、直徑所對的圓周角的特征；2. 了解切線的概念，探索并掌握切線與過切點(diǎn)的半徑之間的位置關(guān)系，能判定一條直線是否為圓的切線，會(huì)過圓上一點(diǎn)畫圓的切線；3. 了解三角形的內(nèi)心和外心，探索如何過一點(diǎn)、兩點(diǎn)和不在同一直線上的三點(diǎn)作圓；4. 了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會(huì)計(jì)算弧長及扇形的面積；【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一 、 圓的定義、性質(zhì)及與圓有關(guān)的角1 圓的定義(1) 線段

2、OA繞著它的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的封閉曲線，叫做圓.(2) 圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形.要點(diǎn)詮釋：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大??；確定一個(gè)圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；圓是一條封閉曲線.2圓的性質(zhì)(1) 旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心.在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應(yīng)的其他各組分別相等.(2) 軸對稱：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對稱軸.(3) 垂徑定理及推論：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的

3、兩條弧.平分弦( 不是直徑) 的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧.平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦.平行弦夾的弧相等.要點(diǎn)詮釋：在垂經(jīng)定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，在這五個(gè)條件中，知道任意兩個(gè)，就能推出其他三個(gè)結(jié)論. (注意： “過圓心、平分弦”作為題設(shè)時(shí)，平分的弦不能是直徑)3與圓有關(guān)的角(1) 圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角.圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù).(2) 圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.圓周角的性質(zhì)：圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一

4、半.同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等. 90 °的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角 .如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對角.要點(diǎn)詮釋：(1) 圓周角必須滿足兩個(gè)條件：頂點(diǎn)在圓上；角的兩邊都和圓相交.(2) 圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.要點(diǎn)二 、 與圓有關(guān)的位置關(guān)系1 判定一個(gè)點(diǎn)P 是否在 O上設(shè) O的半徑為， OP= ，則有點(diǎn) P 在 O 外；點(diǎn) P 在 O 上；點(diǎn) P 在 O 內(nèi) .要點(diǎn)詮釋：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對應(yīng)的

5、，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系；知道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系.2判定幾個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上的方法A1、 A2、An時(shí)，在 O 上 .3直線和圓的位置關(guān)系設(shè) O 半徑為R，點(diǎn)O到直線的距離為.(1) 直線 和 O沒有公共點(diǎn)直線和圓相離.(2) 直線和O有唯一公共點(diǎn)直線和O相切.(3) 直線和O有兩個(gè)公共點(diǎn)直線和O相交.4切線的判定、性質(zhì)(1) 切線的判定：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線.(2) 切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點(diǎn).經(jīng)過切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過圓心.(3) 切線長：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，

6、這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長度叫做切線長.(4) 切線長定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.要點(diǎn)三 、 三角形的外接圓與內(nèi)切圓、圓內(nèi)接四邊形與外切四邊形1 三角形的內(nèi)心、外心(1) 三角形的內(nèi)心：是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I ”表示 .(2) 三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，通常用O表示.要點(diǎn)詮釋：(1) 任何一個(gè)三角形

7、都有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，但任意一個(gè)圓都有無數(shù)個(gè)外切三角形；(2) 解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問題時(shí)，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S 為三角形的面積，P 為三角形的周長，r 為內(nèi)切圓的半徑).(3) 三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質(zhì)(1)OA=OB=OC； (2) 外心不一 定在三角形內(nèi)部(1) 到三角形三邊距離相等；(2)OA、 OB、 OC分別平分BAC、ABC、ACB； (3) 內(nèi)心在三角形內(nèi)部.2圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形(1) 四個(gè)點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對角(2) 各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊

8、形，圓外切四邊形對邊之和相等.要點(diǎn)四 、 圓中有關(guān)計(jì)算1 圓中有關(guān)計(jì)算圓的面積公式：，周長.圓心角為、半徑為R的弧長.，半徑為R，弧長為的扇形的面積.要點(diǎn)詮釋：(1) 對于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的 ，即；(2) 在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.(3) 扇形面積公式， 可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點(diǎn)類似，可類比記憶；類型一、圓的有關(guān)概念及性質(zhì). 如圖，已知O 是以數(shù)軸的原點(diǎn)過點(diǎn)P 且與OA平行(或重合)的直線與(4) 扇形兩個(gè)面積公式之間的聯(lián)系：.O 為圓心，半徑

9、為1 的圓，AOB=45° , 點(diǎn) P 在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若O有公共點(diǎn), 設(shè) OP=x，則x的取值范圍是()C 0x2 D x>2關(guān)鍵是通過平移，確定直線與圓相切的情況，求出此時(shí)OP的值C；本題考查了直線與圓的位置關(guān)系問題Q，連接OQ，變式 】如圖，已知O是以數(shù)軸的原點(diǎn)為圓心，半徑為1 的圓，AOB=4°，點(diǎn)5P在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若P（ x， 0），則x 的取值范圍是（過點(diǎn)P 且與OB平行的直線于O有公共點(diǎn)，設(shè)A0< x1 C- 2 x< 0 或0< x2 D x> 1O是以數(shù)軸的原點(diǎn)為圓心，半徑為1 的圓，AOB=4°，5過點(diǎn)P且與OB平行

10、的直線與O相切時(shí)，假設(shè)切點(diǎn)為D， OD=D P =1，OP=2 ， 0< OP2 ，同理可得，當(dāng)OP與 x 軸負(fù)半軸相交時(shí)，- 2 OP< 0， - 2 OP< 0，或0< OP2 故選C類型二、弧、弦、圓心角、圓周角的關(guān)系及垂徑定理2如圖所示，已知在O中，AB是O的直徑，弦CGAB于D，F(xiàn) 是O上的點(diǎn)，且CF CB ，BF 交 CG于點(diǎn)E，求證：CE BE主要用垂徑定理及其推論進(jìn)行證明證法一：如圖(1) ，連接BC， AB 是O 的直徑，弦CG AB，CB GB CF BC ， CF GB CCBECE BE證法二：如圖(2) ，作ON BF，垂足為N，連接OE AB

11、 是O 的直徑，且AB CG，CB BG CB CF ， CF BC BG BF CG， ON OD ONEODE 90°，OE OE， ON OD， ONEODE，NE DE11 BN BF ， CD CG ， 22 BN CD，BN-EN CD-ED，BE CE證法三：如圖(3) ，連接OC交 BF于點(diǎn)N CF BC ， OC BF AB 是O的直徑，CG AB， BG BC ， CF BG BCBFCG ， ON OD OC OB， OC-ON OB-OD，即 CNBD又CNEBDE 90°，CENBED， CNEBDE，CE BE【總結(jié)升華】在平時(shí)多進(jìn)行一題多解、一

12、題多證、一題多變的練習(xí)，這樣不但能提高分析問題的能力，而且還是溝通知識體系、學(xué)習(xí)知識，使用知識的好方法舉一反三：【 變式 】如圖所示，在O內(nèi)有折線OABC其中,OA=8,AB=12, A= B=60° , 則 BC的長為()A 19B 16C 18D 20如圖，延長AO交 BC于點(diǎn)D, 過 O作 OE BC于 E.則三角形ABD為等邊三角形，DA=AB=BD=1，2 OD=AD-AO=4在 Rt ODE中，ODE=6°，0DOE=3°0 , 則DE=1 OD=2， BE=BD-DE=102OE垂直平分BC， BC=2BE=20. 故選 D資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流

13、使用類型三、與圓有關(guān)的位置關(guān)系3一個(gè)長方體的香煙盒里，裝滿大小均勻的20 支香煙 . 打開煙盒的頂蓋后，二十支香煙排列成三行，如圖（1 ）所示 . 經(jīng)測量，一支香煙的直徑 約為 0.75cm，長約為8.4cm.（ 1）試計(jì)算煙盒頂蓋ABCD的面積（本小題計(jì)算結(jié)果不取近似值）；（ 2）制作這樣一個(gè)煙盒至少需要多少面積的紙張（不計(jì)重疊粘合的部分，計(jì)算結(jié)果精確到 0.1cm，3取 1.73）.（ 1）如圖（2） ，作O1E O2O333 3 333cmAB 2844ABCD的面積是：2）制作一個(gè)煙盒至少需要紙張：四邊形ABCD中，AD長為7 支香煙的直徑之和，易求；求的 O1E 長即可.AB長，只要

14、計(jì)算出如圖（2）中類型四、圓中有關(guān)的計(jì)算BD ，延長AE 交 BD 的延長線于點(diǎn)4 （ 2015?丹東）如圖，AB 是 O 的直徑，= ，連接ED、M ，過點(diǎn) D 作 O 的切線交AB 的延長線于點(diǎn)C（ 1 ）若OA=CD=2 ，求陰影部分的面積；（ 2）求證：DE=DM 解：如圖，連接OD ， CD 是 O 切線， OD CD， OA=CD=2， OA=OD ， OD=CD=2， OCD 為等腰直角三角形， DOC= C=45 °，S 陰影 =S OCD S 扇 OBD=4 ；（ 2）證明：如圖，連接AD ， AB 是 O 直徑， ADB= ADM=90 °，又 =， E

15、D=BD ， MAD= BAD ， 在 AMD 和 ABD 中， AMD ABD ， DM=BD ， DE=DM 【點(diǎn)評】本題考查的是切線的性質(zhì)、弦、弧之間的關(guān)系、扇形面積的計(jì)算，掌握切線的性質(zhì)定理和扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵，注意輔助線的作法舉一反三：【 變式 】 （ 2015?貴陽）如圖，O 是 ABC 的外接圓，AB 是 O 的直徑，F(xiàn)O AB ，垂足為點(diǎn)O，連接 AF 并延長交O 于點(diǎn)D ，連接OD 交 BC 于點(diǎn)E，B=30 °， FO=2 （ 1 ）求AC 的長度；2）求圖中陰影部分的面積（計(jì)算結(jié)果保留根號）【答案】解： （ 1） OF AB ，BOF=90 °

16、，B=30 °， FO=2 ， OB=6， AB=2OB=12 ，又AB 為 O 的直徑，ACB=90 °， AC= AB=6 ；（ 2）由（1）可知，AB=12 ， AO=6，即AC=AO ，在 Rt ACF 和 Rt AOF 中， Rt ACF Rt AOF ，F(xiàn)AO= FAC=30 °，DOB=60 °，過點(diǎn) D 作 DG AB 于點(diǎn)G， OD=6， DG=3 ， S ACF+S OFD=S AOD= ×6×3 =9，即陰影部分的面積是9類型五、圓與其他知識的綜合運(yùn)用如圖，ABC 是等邊三角形，D是 BC上任一點(diǎn)，求證：DB D

17、C DA .【思路點(diǎn)撥】由已知條件，等邊ABC可得60°角，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得ADB 60°，利用截長補(bǔ)短的方法可得一個(gè)新的等邊三角形，再證兩個(gè)三角形全等，從而轉(zhuǎn)移線段DC.【答案與解析】延長DB至點(diǎn)E，使BE DC，連結(jié)AEABC是等邊三角形ACBABC60°，AB ACADBACB60°四邊形ABDC是圓內(nèi)接四邊形ABEACD在AEB和ADC中，AEBADC AE ADADB 60°AED是等邊三角形 AD DE DB BE BE DCDB DC DA.【總結(jié)升華】本例也可以用其他方法證明. 如：（ 1）延長DC至F，使CFBD，連結(jié)AF，再證ACFABD，得出ADDF，從而DBCDDA.（2）在DA上截取DGDC，連結(jié)CG，再證BDCAGC，得出BDAG，從而DBCDDA.6如圖，直徑AB為 6 的半圓，繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，此時(shí)點(diǎn)B到了點(diǎn)B，則圖中陰影部分的面積是（） .A. 3B. 6C. 5D. 4【答案】B；【解析】陰影部分的面積=以 AB為直徑的半圓的面積+扇形ABB的面積- 以 AB為直徑的半圓的面積=扇形ABB的面積則陰影部分的面積是：=6故選B【總結(jié)升華】根據(jù)陰影部分的面積=以 AB