最新二面角的求法(教師版)

1、五法求二面角一、定義法：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面， 在棱上取點，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直， 這兩條垂線 所成的角的大小就是二面角的平面角。本定義為解題提供了添輔助線的一種規(guī)律。如例1中從二面角SAM B中半平面ABM上的一已知點（B）向棱AM作垂線，得垂足（F）;在另一半平面 ASM內(nèi)過該垂足（F） 作棱AM的垂線（如GF）,這兩條垂線（BF、GF）便形成該二面角的一個平面角，再在該 平面角內(nèi)建立一個可解三角形，然后借助直角三角函數(shù)、正弦定理與余弦定理解題。例1 （2009全國卷I理）如圖，四棱錐 S-ABCD中

2、，底面 ABCD為矩形，SD _底面ABCD, AD=2DC 二 SD =2，點 M 在側(cè)棱 SC上，.ABM =60°（I）證明：M在側(cè)棱SC的中點（II）求二面角S-AM -B的大小。證（I）略解（II）：利用二面角的定義。在等邊三角形 ABM中過點B作BF _ AM交AM于點F，則點F為AM的中點，過F點在平面GF交AS于G ,連結(jié) AC , AD3A ADS 二 AS-AC,且 M是 SC的中點， AML SC, GF 丄 AM 二 GF/ AS,又 t F 為 AM 的中點， 6卩是厶AMS的中位線，點 G是AS的中點。貝U GFB即為所求二面角t SM 二 2，則 GFS

3、A = AC »6 , AM =2t AM 二 AB =2, . ABM =60°ABM 是等邊三角形， BF *3在厶GAB中，AGAB = 2 , GAB 二 900 ,cos BFG 二GF2 FB2 -BG22GF FB丄 3-112 22廠232-263.面角SAM -B 的大小為 arccos(S,和兩邊SE與SC,進而計算本定理亦提供了另一種添輔助線的一般規(guī)律。如（例2 ）過二面角 B-FC1-C中半平面練習1 （2008山東）如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA丄平面ABCD ,.ABC =60 ,E, F分別是BC, PC的中點.（I）證

4、明：AE丄PD;（n）若H為PD上的動點，EH與平面RAD所成最大角的正切值為 證明：直線EE1/平面FCC 1 ； 求二面角B-FC1-C的余弦值。 證（1）略 解（2）因為 AB=4, BC=CD=2, 、F是棱 AB的中點，所以 BF=BC=CF, BCF為正三角形，取CF的中點 O,則OB丄CF, 又因為直四棱柱 ABCD-A 1B1C1D1中,C6丄平面 ABCD,所 以CG丄BO,所以OB丄平面C6F,過O在平面CC1F內(nèi)作OP 丄C1F,垂足為P連接BP則/ OPB為二面角B-FC 1-C的一個 平面角，在 BCF為正三角形中，OB、3 ,在Rt CC1F，求二面角E AF C的

5、余弦值.2分析：第1題容易發(fā)現(xiàn)，可通過證AE丄AD后推出AE丄平 面APD使命題獲證，而第 2題，則首先必須在找到最大 角正切值有關的線段計算出各線段的長度之后，考慮到運用在二面角的棱 AF上找到可計算二面角的平面角的頂點面角的余弦值。（答案：二面角的余弦值為-15）5二、三垂線法三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直通常當點 P在一個半平面上則通常用三垂線定理法求二面角的大小。AB/CD , AB=4, BC=CD=2,AA 1=2,E、E1、F分別是棱AD、AA 1、AB的中點。BFC上的一已知點 B作另一半平面 FCiC的垂線，得垂 足

6、O;再過該垂足 O作棱FCi的垂線，得垂足 P,連結(jié) 起點與終點得斜線段 PB,便形成了三垂線定理的基本構(gòu) 圖（斜線PB、垂線BO、射影OP）。再解直角三角形求 二面角的度數(shù)。例2 .（2009山東卷理）如圖，在直四棱柱ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1中，底面 ABCD為等腰梯形，中， OPFCC1F, /OP OFCC1 C1F OP 二12222在 Rt OPF 中，BP = ；OP2 OB21 3 二衛(wèi)，cos. OPB=OP2 2BP遼二 2.14"2-丄所以7C.面角B-FC 1-C的余弦值為-7ABCD是矩形.練習2 （2008天津）如圖，在四棱錐 P - ABC

7、D中，底面已知 AB =3, AD =2,PA =2,PD = 2、2PAB = 60（I）證明AD _平面PAB ;（n）求異面直線 PC與AD所成的角的大?。唬ùǎ┣蠖娼?P - BD - A的大小.分析：本題是一道典型的利用三垂線定理求二面角問題， 證明AD丄平面PAB后，容易發(fā)現(xiàn)平面 PABL平面ABCD P就是二面角 P-BD-A的半平面上的一個點，于是可過點作棱BD的垂線，再作平面ABCD勺垂線，于是可形成三垂線定理中的斜線與射影內(nèi)容，從而J39可得本解法。（答案：二面角 P - BD - A的大小為arctan94三補棱法本法是針對在解構(gòu)成二面角的兩個半平面沒有明確交線的求二面

8、角題目時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線（稱為補棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題。 即當二平面沒有明確的交線時，一般用補棱法解決例3 （2008湖南）如圖所示，四棱錐 P-ABCD的底面ABCD 是邊長為1的菱形，/ BCD = 60 ° , E是CD的中點，F(xiàn)A 丄底面 ABCD , PA = 2.（I）證明：平面 PBE丄平面PAB;（n）求平面 PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小 分析：本題的平面 PAD和平面PBE沒有明確的交線，依本法顯然要補充完整（延長 AD、BE相交于點F，連結(jié)PF.）再在完整圖形中的 PF.上找一個適合的點形成二面角的平面角

9、解之。（I）證略解：（n）延長 AD、BE相交于點F，連結(jié)PF.過點A作AH丄PB于H，由（I）知平面PBE丄平面 PAB所以AH丄平面 PBE. 在 Rt ABF 中，因為/ BAF = 60°, 所以，AF=2AB=2=AP.AC在等腰Rt PAF中，取PF的中點G,連接AG.則AG丄PF.連結(jié)HG，由三垂線定理的逆定理得，PF丄HG.所以/ AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）在等腰 Rt PAF中,AG 2PAi2.2在 Rt PAB 中,AHApAB _APLAB_ _ _2 _ 2.5PBAP2AB255所以，在Rt AHG中,sin . AGHAHA

10、G2； 55.105故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是5練習3已知斜三棱柱 ABC AiBiCi的棱長都是a,側(cè)棱與 底面成60°的角，側(cè)面 BC6Bi丄底面ABC。（1）求證：ACi 丄 BC;（2）求平面ABiCi與平面 ABC所成的二面角（銳 角）的大小。提示：本題需要補棱，可過A點作CB的平行線L（答案：所成的二面角為 45°）四、射影面積法（cosq =s射影S凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積S射的都可利用射影面積公式（cos）求出二面角的大小。S斜例4 . （ 2008北京理）如圖，在三棱錐P - ABC中

11、，AC = BC=2 , ACB -90 ,AP 二 BP 二 AB , PC _ AC .（I）求證：PC _ AB ;（n）求二面角 B - AP -C的大?。徊浑y想到在平面 ABP分析：本題要求二面角 B APC的大小，如果利用射影面積法解題,與平面ACP中建立一對原圖形與射影圖形并分別求出S原與S射于是得到下面解法。解：(I)證略(n) ；AC=BC , AP=BP , APCBPC .又 PC _ AC, PC _ BC .C又 ACB =90：，即 AC _ BC，且 AC“ PC =C ,BC _ 平面 PAC . 取AP中點E 連結(jié)BE, CE .AB = BP , . BE

12、_ AP .:EC是BE在平面PAC內(nèi)的射影，CE _ AP .人。£是厶ABE在平面 ACP內(nèi)的射影,于是可求得:AB = BP = AP = ? AC2 CB2 =2、2 ,BE * AB2 - AE2 =16 ,ii -AE = EC = . 2 則 S射=S ace AE * CE 2 . 2 = i,S原二SabeEB =；、2 6 r£3面角 B-AP-C 的大cos魚二面角B - AP -C 的大小為二=arccos3練習4:如圖5, E為正方體 ABCD AiBiCiDi的棱CCi的中點，求平面 ABiE和底面AiBiCiDi所成銳角的余弦ECi(答案：所求

13、二面角的余弦值為cosQ = 2 ).3五、向量法向量法解立體幾何中是一種十分簡捷的也是非常傳統(tǒng)的解法，可以說所有的立體幾何題都可以用向量法求解， 用向量法解立體幾何題時， 通常要建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，然后將幾何圖中的線段寫成用坐標法表示的向量，進行向量計算解題。例4: (2009天津卷理)如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A 平面 ABCD, AD/BC/FE ,1AB _AD , M 為 EC 的中點，AF=AB=BC=FE= AD2(I)求異面直線BF與DE所成的角的大小;(II) 證明平面 AMD 平面CDE ;求二面角A-CD-E的余弦值。打現(xiàn)在我們用向量法解答：如圖所示

14、，建立空間直角坐標系，以點 A為坐標原點。設 AB =i,依題意得B i,0,0 , C i,0 , D 0,2,0 , E 0,F 0,0,解:BF 十1,0,1 , DE 二 0,-1,于是 cos BF,DEBF DERR所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60°.(II)證明:由AMCE 二 -1,0,1，AD = 0,2,0，可得 CEAM =0,CE -AD =0因此，CE _ AM , CE _ AD 又 AM AD = A，故 CE _ 平面 AMD .而CE 平面CDE，所以平面 AMD _平面CDE .(III)解：設平面CDE的法向量為u=(x, y, z),貝狠C=0,uDE = 0.x + z = 0 于是0令x=1,可得u = (1,1,1).廠 y+z=0.又由題設，平面 ACD的一個法向量為v=(0 ,0,1).練習5、(2008湖北)如圖，在直三棱柱 ABC - AB,G中，平面 ABC _側(cè)面A1ABB