函數(shù)極限的定義的多種表達(dá)

1、精心整理函數(shù)極限的定義數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院2010級(1)班指導(dǎo)教師韓剛摘要極限是數(shù)分中的重要內(nèi)容，用定義證明極限類型題都要用到它。本文就給出二十四個函數(shù)極限的定義。關(guān)鍵詞極限1函數(shù)在一點的極限的定義1.1 函數(shù)在X0點的極限的定義設(shè)函數(shù)f(x)在X0點的附近(但可能除掉點本身)有定義，又設(shè)A是一個定數(shù)。如果對任意給定的名>0, 一定存在6>0,使彳3當(dāng)0< x-x°|<6時，總有|f(x)-A<w ,我們就稱A是函數(shù)在點X0的極限， 記為lim f (x) = A ,x)x0或者記為 f(x) . A(x x0).這時也稱函數(shù)f(x)在x0點極限存在，其極限值

2、是 A.1.2 函數(shù)在點x0右側(cè)的極限的定義設(shè)函數(shù)f(x)在(x。，x0+")內(nèi)有定義，”是一個確定的正數(shù)，又設(shè)A是一個定數(shù)。如果對任意給定的8>0,總存在> >0,當(dāng)0<x-x 0 V 6時，有f (x) - A < "我們就稱A是函數(shù)f(x)在點x 0的右極限， 記為lim f (x)=人或電 0+0)=Ax jx0 0精心整理精心整理或 f(x) A(x . X0+0)這時也稱函數(shù)f(x)在點X0右極限存在。1.3 函數(shù)在Xo點左側(cè)的極限的定義設(shè)函數(shù)f(x)在(xo-，xo)內(nèi)有定義，”是一個確定的正數(shù)，又設(shè) A是一個定數(shù)。如果對任意給定

3、的a>0,總存在6>0,當(dāng)0<x0 -x <6時，有f(x) A<以我們就稱A是函數(shù)f(x)在點的左極限，記 為lim ”*)=人或* x0 -0)=A x_rx0 -0 r .或 f(x) > A(x > x0 -0)這時也稱函數(shù)f(x)在x0點左極限存在.2函數(shù)在無限遠(yuǎn)處的極限2.1 函數(shù)在無限遠(yuǎn)處極限的定義若對任意給定的s>0,存在X>0,當(dāng)|x>X|時，總有|f(x)-A <君，我們說A是f(x)在無限遠(yuǎn)處的極限，或者說A是當(dāng)xtg時f(x)的極限，記為這時也稱函數(shù)f(x)在無限遠(yuǎn)處極限存在2.2 函數(shù)在正無限遠(yuǎn)處的極限

4、的定義若對任意給定的>0,存在X>0,當(dāng)x>X時，總有| f (x) - A父名，就稱A為f(x)在無限遠(yuǎn)處的 極限，或者稱A是當(dāng)xt +的時f(x)的極限，記為或 f(x) 一； A(x：,)這時也稱函數(shù)f(x)在正無限遠(yuǎn)處的極限存在。2.3 函數(shù)在負(fù)無限遠(yuǎn)處的極限的定義若對任意給定的>0,存在X>0,當(dāng)x<-X時，總有| f (x) - A <名，就稱A為f(x)在負(fù)無限遠(yuǎn) 精心整理精心整理精心整理處的極限，或者稱A是當(dāng)XT+g時f(x)的極限，記為或 f(x) A(x )一二)這時也稱函數(shù)f(x)在負(fù)無限遠(yuǎn)處極限存在。3函數(shù)在一點處函數(shù)值趨于無窮

5、大3.1 函數(shù)在x。點處函數(shù)值趨于無窮大的定義如果對于任何G>Q存在6>0,當(dāng)O<x-xo| <6時，有|f(x)| >G,就說函數(shù)f(x)在x。點趨于無 窮大(或發(fā)散到無窮大)，記為/ :門 L，jlim £(*)=00或£僅)t °q(xt x0) x_xo3.2 函數(shù)在x。點右側(cè)函數(shù)值趨于無窮大的定義如果對于任何G>0,存在6>0,當(dāng)0<x-x0c6時，有|f(x)|G,就說函數(shù)f(x)在x0點右側(cè)趨 于無窮大(或發(fā)散到無窮大)，記為3.3 函數(shù)在x0點左側(cè)函數(shù)值趨于無窮大的定義如果對于任何G>0,存在6

6、 >0,當(dāng)0<x0 -x< a時，有|f(x) >G,就說函數(shù)f(x)在x0點左側(cè)趨于無窮 大(或發(fā)散到無窮大)，記為4函數(shù)在一點處函數(shù)值趨于正無窮大4.1 函數(shù)在x0點處函數(shù)值趨于正無窮大的定義如果對于任何G>0,存在6 >0,當(dāng)0c|x-x0| < 5時，有f(x)>G,就說函數(shù)f(x)在x0點處趨于正 無窮大(或發(fā)散到正無窮大)，記為4.2 函數(shù)在x0點右側(cè)函數(shù)值趨于正無窮大的定義如果對于任何G>0,存在6>0,當(dāng)0<x-x0<：6時，有f(x)>G,就說函數(shù)f(x)在x°右側(cè)趨于正無 窮大(或發(fā)散到

7、正無窮大)，記為精心整理4.3 函數(shù)在xo點左側(cè)函數(shù)值趨于正無大窮的定義如果對于任何G>0,存在6 >0,當(dāng)0cxo -x< B時，有f(x)>G,就說函數(shù)f(x)在x°右側(cè)趨于正無 窮大(或發(fā)散到正無窮大)，記為5函數(shù)在一點處函數(shù)值趨于負(fù)無窮大5.1 函數(shù)在xo點處函數(shù)值趨于負(fù)無窮大的定義如果對于任何 G>0,存在6 >0,當(dāng)0< xx0 <6時，有f(x)<G,就說函數(shù)f(x)在xo點處趨于 負(fù)無窮大(或發(fā)散到負(fù)無窮大)，記為/ . ? y I/' I 飛. -5.2 函數(shù)在x。點右側(cè)函數(shù)值趨于負(fù)無窮大的定義如果對于任

8、何 G>0,存在6 A0,當(dāng)0<x-x0 <6時，有f(x)<-G,就說函數(shù)f(x)在x°右側(cè)趨于正 負(fù)窮大(或發(fā)散到負(fù)無窮大)，記為5.3 函數(shù)在x0點左側(cè)函數(shù)值趨于負(fù)無窮大的定義如果對于任何 G>0,存在6 >0,當(dāng)0<x0 -x<a時，有f(x)<-G,就說函數(shù)f(x)在x°右側(cè)趨于負(fù) , -無窮大(或發(fā)散到負(fù)無窮大)，記為6函數(shù)在無限遠(yuǎn)處函數(shù)值趨于無窮大6.1 函數(shù)在無限遠(yuǎn)處函數(shù)值趨于無窮大的定義如果對于任何G>0,存在X>0,當(dāng)x >X時，有f(x)| >G ,就說函數(shù)在無限遠(yuǎn)處趨于無窮

9、大(或 發(fā)散到無窮大)，記為6.2 函數(shù)在正無限遠(yuǎn)處函數(shù)值趨于無窮大的定義如果對于任何G>0,存在X>0,當(dāng)x aX時，有f(x)| aG ,就說函數(shù)在正無限遠(yuǎn)處趨于無窮大(或 發(fā)散到無窮大)，記為6.3 函數(shù)在負(fù)無限遠(yuǎn)處函數(shù)值趨于無窮大的定義如果對于任何G>0,存在X>0,當(dāng)x < -X時，有f (x)| > G，就說函數(shù)在負(fù)無限遠(yuǎn)處趨于無窮大(或 發(fā)散到無窮大)，記為 精心整理精心整理7函數(shù)在無限遠(yuǎn)處函數(shù)值趨于正無窮大7.1 函數(shù)在無限遠(yuǎn)處函數(shù)值趨于正無窮大的定義如果對于任何G>0,存在X>0,當(dāng)x aX時，有f (x) >G ,就說函

10、數(shù)在無限遠(yuǎn)處趨于正無窮大 (或 發(fā)散到正無窮大)，記為7.2 函數(shù)在正無限遠(yuǎn)處函數(shù)值趨于正無窮大的定義如果對于任何G>0,存在X>0,當(dāng)x aX時，有f (x) >G，就說函數(shù)在正無限遠(yuǎn)處趨于正無窮大(或 發(fā)散到正無窮大)，記為7.3 函數(shù)在負(fù)無限遠(yuǎn)處函數(shù)值趨于正無窮大的定義:J、 I如果對于任何G>0,存在*>0,當(dāng)*<X時，有f(x)>G ,就說函數(shù)在負(fù)無限遠(yuǎn)處趨于正無窮大 (或發(fā)散到正無窮大)，記為8函數(shù)在無限遠(yuǎn)處函數(shù)值趨于負(fù)無窮大8.1 函數(shù)在無限遠(yuǎn)處函數(shù)值趨于負(fù)無窮大的定義如果對于任何G>0,存在X>0,當(dāng)|x|>X時，有f(x)c-G ,就說函數(shù)在無限遠(yuǎn)處趨于負(fù)無窮大(或 發(fā)散到負(fù)無窮大)，記為8.2 函數(shù)在正無限遠(yuǎn)處函數(shù)值趨于負(fù)無窮大的定義如果對于任何G>0,存在X>0,當(dāng)xX時，有f(x)<-G ,就說函數(shù)在正無限遠(yuǎn)處趨于