圓錐曲線大題題型歸納

1、圓錐曲線大題題型歸納基本方法:1.待定系數(shù)法：求所設(shè)直線方程中的系數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)方程中的待定系數(shù)a、 b、c、 e、p等等;2 .齊次方程法：解決求離心率、漸近線、夾角等與比值有關(guān)的問(wèn)題；3 .韋達(dá)定理法：直線與曲線方程聯(lián)立，交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)而不求，用韋達(dá)定理寫出轉(zhuǎn)化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韋達(dá)定理，而直接計(jì)算出兩個(gè)根；4 .點(diǎn)差法：弦中點(diǎn)問(wèn)題，端點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)而不求。也叫五條等式法：點(diǎn)滿足方程兩個(gè)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式兩個(gè)、斜率公式一個(gè)共五個(gè)等式；5 .距離轉(zhuǎn)化法：將斜線上的長(zhǎng)度問(wèn)題、比例問(wèn)題、向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化水平或豎直方向上的距離問(wèn)題、比例問(wèn)題、坐標(biāo)問(wèn)題；基本思想：1 .“常規(guī)求值”問(wèn)題需要找等

2、式，“求范圍”問(wèn)題需要找不等式；2 .“是否存在”問(wèn)題 當(dāng)作存在去求，若不存在則計(jì)算時(shí)自然會(huì)無(wú)解；3 .證明“過(guò)定點(diǎn)”或“定值”，總要設(shè)一個(gè)或幾個(gè)參變量，將對(duì)象表示出來(lái)，再說(shuō)明與此變量無(wú)關(guān)；4 .證明不等式，或者求最值時(shí)，若不能用幾何觀察法，則必須用函數(shù)思想將對(duì)象表示為變量的函數(shù)，再解決；5 .有些題思路易成，但難以實(shí)施。這就要優(yōu)化方法，才能使計(jì)算具有可行性，關(guān)鍵是積累“轉(zhuǎn)化”的經(jīng)驗(yàn);6 .大多數(shù)問(wèn)題只要 忠實(shí)、準(zhǔn)確 地將題目每個(gè)條件和要求表達(dá)出來(lái)，即可自然而然產(chǎn)生思路。題型一：求直線、圓錐曲線方程、離心率、弦長(zhǎng)、漸近線等常規(guī)問(wèn)題22例1、 已知Fi, F2為橢圓-x+ =1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P在橢

3、圓上，且 /Fi PF2=60°,則在i PF2的面積為多少？100 64點(diǎn)評(píng)：常規(guī)求值問(wèn)題的方法：待定系數(shù)法，先設(shè)后求，關(guān)鍵在于找等式。變式1-1 已知F1,F2分別是雙曲線3x2 -5y2 =75的左右焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，且FiPF2=120 °,求 AF1PF2 的面積。22(0 < b< 10)的左、右焦點(diǎn),p是橢圓上一點(diǎn).變式1-2 (2011?孝感模擬)已知R, F2為橢圓 _x+.4=1 100 b2(1)求IPF1I ?|PF2|的最大值；(2)若/ FPF2=60o且 FPR的面積為 竺巨,求b的值 3題型二過(guò)定點(diǎn)、定值問(wèn)題 例2、(

4、2007秋?青羊區(qū)校級(jí)期中) 如圖，拋物線S的頂點(diǎn)在原點(diǎn) Q焦點(diǎn)在x軸上，ABCE個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上, 且 ABC的重心為拋物線的焦點(diǎn)，若 BC所在直線方程為 4x+y-20=0 ,(I )求拋物線的方程；(n)是否存在定點(diǎn) M,使過(guò)M的動(dòng)直線與拋物線 S交于P、Q兩點(diǎn)，且 OP OQ=0,證明你的結(jié)論處理定點(diǎn)問(wèn)題的方法：常把方程中參數(shù)的同次項(xiàng)集在一起，并令各項(xiàng)的系數(shù)為零，求出定點(diǎn)；也可先取參數(shù)的 特殊值探求定點(diǎn)，然后給出證明。變式2-1(2012秋?香坊區(qū)校級(jí)期中)已知拋物線y2=2px (p>0)的焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為J3直線與拋物線在x軸上方的交點(diǎn)為(1)求拋物線的方程；(2)若

5、P, Q是拋物線上異于原點(diǎn) 出定點(diǎn)坐標(biāo).例3、 (2014秋?市中區(qū)校級(jí)月考)點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.M過(guò)M作y軸的垂線，垂足為 N O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四邊形 OFMN勺面積為4/3。的兩動(dòng)點(diǎn)，且以線段 PQ為直徑的圓恒過(guò)原點(diǎn) 0,求證：直線PQ過(guò)定點(diǎn)，并指22已知橢圓C：今+*=1 (a>b>0),過(guò)焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1,且焦a b(I)求橢圓的方程;(n)過(guò)點(diǎn)Q (-1,0)的直線l交橢圓于A, B兩點(diǎn)，交直線x=-4于點(diǎn)E,AE-,E8, 判斷入+科是否為定值，若是，計(jì)算出該定值；不是，說(shuō)明理由點(diǎn)評(píng)：證明定值問(wèn)題的方法：常把變動(dòng)的元素用參數(shù)表示出來(lái)，然后證明計(jì)算結(jié)果與

6、參數(shù)無(wú)關(guān)；也可先在特殊 條件下求出定值，再給出一般的證明y三=1 (a>b>0)的離心率為-焦距為2.b2x2變式3-1(2012秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考)已知橢圓 一2 +a(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)且垂直于 x軸的直線交橢圓于 P, Q兩點(diǎn)，C, D為橢圓上位于直線 PQ異側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足 /CPQh DPQ求證：直線 CD的斜率為定值，并求出此定值.例4、過(guò)拋物線y2=4ax ( a >0)的焦點(diǎn)F作任意一條直線分別交拋物線于A、B兩點(diǎn)，如果 MOB (。為原點(diǎn)). .S2 . .的面積是S,求證：為定值。AB22變式4-1 (2014?天津校級(jí)二模) 設(shè)橢圓

7、C: 與+。=1 (a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線 C: x2=4j3y a2 b2 一、 -1 一，的焦點(diǎn)重合，R, F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率e=- 且過(guò)橢圓右焦點(diǎn) F2的直線l與橢圓C交于M N兩點(diǎn).2(1)求橢圓C的方程;(2)是否存在直線l ,使得 。斗，'。、=-2 ,若存在，求出直線1的方程；若不存在，說(shuō)明理由vxr(3)若AB是橢圓C經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O的弦，MN/ AB,求證： 一 為定值.題型三“是否存在”問(wèn)題例5、 (2012秋?昔陽(yáng)縣校級(jí)月考)已知定點(diǎn)A (-2, -4),過(guò)點(diǎn)A作傾斜角為45°的直線1 ,交拋物線y2=2px (p>

8、;0)于R C兩點(diǎn)，且|BC|=2 而 .(I )求拋物線的方程；(n)在(I)中的拋物線上是否存在點(diǎn)D,使得|DB|二|DC|成立？如果存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由變式5-1(2013?柯城區(qū)校級(jí)三模) 已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 y軸上，且過(guò)點(diǎn)(2, 1).(I )求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(n)是否存在直線l : y=kx+t ,與圓x2+ (y+1) 2=1相切且與拋物線交于不同的兩點(diǎn)M, N,當(dāng)/ MO泗鈍角時(shí)，有Sz»n=48成立？若存在，求出直線的方程，若不存在，說(shuō)明理由變式5-2(2010?北京)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A (-1 , 1

9、)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線 AP1與BP的斜率之積等于 -13(I)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(n)設(shè)直線 AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M N,問(wèn)：是否存在點(diǎn) P使得 PAB與4PM弼面積相等？若存在， 求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.題型四 最值問(wèn)題例6、 (2012?洛陽(yáng)模擬)在平面直角坐標(biāo)系中xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A (-2, 0) , B (2, 0),點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，且3直線AP與直線BP的斜率之積為 -34(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)D (1, 0)的直線l交軌跡C于不同的兩點(diǎn) M, N, MON勺面積是否存在最大值？若存在，求出MON勺面積的最大值及相應(yīng)的直線

10、方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.點(diǎn)評(píng)：最值問(wèn)題的方法：幾何法、配方法（轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值）、三角代換法（轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值）、利用切線的方法、利用均值不等式的方法等。變式6-1（2015?高安市校級(jí)一模）已知方向向量為（1, J3）的直線l過(guò)點(diǎn)（0, -2J3）和橢圓C:（1）求橢圓（2）若過(guò)點(diǎn)x2 y21= +'=1 （a>b>0）的右焦點(diǎn)，且橢圓的離心率為一.ab2C的方程；P （-8, 0）的直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)A、B, F為橢圓C的左焦點(diǎn)，求三角形 ABF面積的最大值.2變式6-2 (2014?蚌埠三模)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，如圖，已知橢圓 C: =十 y

11、2 =1的上、下頂點(diǎn)分別為 A4B,點(diǎn)P在橢圓C上且異于點(diǎn)A、B,直線AR BP與直線l : y=-2分別交于點(diǎn) M N;(I)設(shè)直線 AR BP的斜率分別為 ki, k2求證：ki?k2為定值；(n)求線段MN£的最小值；(出)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，以MNK1直徑的圓是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論22x y1= =1 (a>b>0)的離心率為a bM (2,題型五求參數(shù)的取值范圍例7、 (2012春?荔灣區(qū)校級(jí)期中) 如圖，已知橢圓 1)平行于OM勺直線l在y軸上的截距為 m (m0) , l與橢圓有A、B兩個(gè)不同的交點(diǎn)(I)求橢圓的方程；(n)求m的取值范圍；(m)求證：直線

12、 MA MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形變式7-1(2006秋?寧波期末)已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn) P (0, 1),且與定直線y=-1相切.(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡 M的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)Q (0,-1 )且以 覆=(7，一灼為方向向量的直線l與軌跡M相交于A B兩點(diǎn).若/ APB為鈍角, 求直線l斜率的取值范圍.變式7-2 (2014?蒼南縣校級(jí)模擬)已知拋物線C: y2=4x焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線交拋物線 C于A, B兩點(diǎn)，l卜l 2分別過(guò)點(diǎn) A B且與拋物線C相切，P為I1、l 2的交點(diǎn).(1)求證：動(dòng)點(diǎn)P在一條定直線上，并求此直線方程；(2)設(shè)C D為直線li、I2與直線x=4的交點(diǎn)， PC面積為

13、S, 4PAB面積為求號(hào)的取值范圍S2小結(jié)解析幾何在高考中經(jīng)常是兩小題一大題：兩小題經(jīng)常是常規(guī)求值類型，一大題中的第一小題也經(jīng)常是常規(guī)求值 問(wèn)題，故常用方程思想先設(shè)后求即可。解決第二小題時(shí)常用韋達(dá)定理法結(jié)合以上各種題型進(jìn)行處理，常按照以下七 步驟：一設(shè)直線與方程；（提醒：設(shè)直線時(shí)分斜率存在與不存在；設(shè)為y=kx+b與x=mmy+n的區(qū)別）二設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo);（提醒：之所以要設(shè)是因?yàn)椴蝗デ蟪鏊?，即“設(shè)而不求”）三則聯(lián)立方程組；四則消元韋達(dá)定理；（提醒：拋物線時(shí)經(jīng)常是把拋物線方程代入直線方程反而簡(jiǎn)單）五根據(jù)條件重轉(zhuǎn)化；常有以下類型：“以弦AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)0" U OA_LOB U K1 *K2 =-1 （提醒：需討論K是否存在）二 OA OB 二0 = x1x2 y, y2 =0“點(diǎn)在圓內(nèi)、圓上、圓外問(wèn)題” u “直角、銳角、鈍角問(wèn)題”u ”向量的數(shù)量積大于、等于、小于0問(wèn)題“=x1x2 + y1y2>0;“等角、角