自考04184線性代數(shù)(經(jīng)管類)講義

1、自考高數(shù)線性代數(shù)課堂筆記第一章 行列式線性代數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容是：研究線性方程組的解的存在條件、解的結(jié)構(gòu)以及解的求法。所用的基本工具是矩陣，而行列式是研究矩陣的很有效的工具之一。行列式作為一種數(shù)學(xué)工具不但在本課程中極其重要,而且在其他數(shù)學(xué)學(xué)科、乃至在其他許多學(xué)科（例如計(jì)算機(jī)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)等）都是必不可少的。1.1行列式的定義（一）一階、二階、三階行列式的定義注意：在線性代數(shù)中，符號 總不是絕對值例如 IN=5,且 1_51=_5；q=（2）定義：符號b止叫二階行列式,a b=ad-be它也是一個(gè)數(shù)，其大小規(guī)定為：匚 d所以二階行列式的值等于兩個(gè)對角線上的數(shù)的積之差。（主對角線減次對角線的乘積

2、）1 2= lx4-2x3 = -2例如知勺鬥妬52 二乃虬巾（3）符號込 g 5叫三階行列式，它也是一個(gè)數(shù)，其大小規(guī)定為礙*勺鬥為5 + 圧務(wù)巧+ &0伍2 - QjCj1 2 34 5 6例如= 11x5x9 + 4x8x3+7 x2x67 x5x3 4x2x9 Ix6x8=o三階行列式的計(jì)算比較復(fù)雜，為了幫助大家掌握三階行列式的計(jì)算公式，我們可以采用下面的對角線法記憶=為 6 4-他#&2毎厲- 外印方法是：在已給行列式右邊添加已給行列式的第一列、第二列。我們把行列式左上角到右下角的對角線叫主對角線，把右上角到左下角的對角線叫次對角線，這時(shí)，三階行列式的值等于主對角線的三

3、個(gè)數(shù)的積與和主對角線平行的線上的三個(gè)數(shù)的積之和減去次對角線三個(gè)數(shù)的積與次對角線的平行線上數(shù)的積之 和。例如:（1）=1X5X9+2X6X7+3X4X8-3 X5X7-1 >6X8-2 X4X9=0(2)Qt K G0肛a0 0 !二二饒為風(fēng)乞 + 対乂勺 xO+X OxO-CjXxO-jXQx=円為s(3)fit0 0ftt 001 &| o人0/, A】< «4i G) b、 tj=dtjxXc3 十OxOxdtg十爲(wèi)OxZ?2x0乂鳥0x（7axc3=煜禹勺（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2） （3） 可見

4、，在三階行列式中， 三角形行列式的值為主對角線的三個(gè)數(shù)之積，其余五項(xiàng)都是0,例如2 130 31 =2x 3x（-2） =-120 03 001 -2 0 =3x(-2) x4=-242 M 42 0 00 30 = 2x3x(-l) = -60 0-12例1 a為何值時(shí)，答疑編號10010101 :針對該題提問x-142-2XX例2當(dāng)x取何值421所以 8-3a=0,時(shí)>0時(shí),答疑編號10010102 :針對該題提問解：=1+4-A 4 + 2 (-2) 2-2 X 4(x 1)a2 4 (2) -1 x+16x_8 8x_4- 2x 4- 8=-F +9z=a(9 - x) >

5、 0= (j-l)x l+4 x-4 + 2 (-2)-2-2 x 4(x 1)a2 4 (2) -1 x+16x_8 8x_4- 2x 4- 8二-F +%=a(9 - x) > 0解得 0<x<9所以當(dāng)0<x<9時(shí)，所給行列式大于 0（二） n階行列式1）知符號：務(wù)1 口心仏它由n行、n列元素（共"個(gè)元素）組成，稱之為n階行列式。其中，每一個(gè)數(shù) 稱為行列式的一個(gè) 元素，它的前一個(gè)下標(biāo)i稱為行標(biāo)，它表示這個(gè)數(shù)“：在第i行上；后一個(gè)下標(biāo)j稱為列標(biāo)，它表示這個(gè)數(shù) 在第j列上。所以叫在行列式的第i行和第j列的交叉位置上。為敘述方便起見，我們用（i,j）表示這

6、個(gè)位置。n階行列式'通常也簡記作譏。n階行列式D*二呀用也是一個(gè)數(shù)，至于它的值的計(jì)算方法需要引入下面兩個(gè)概念。(1 )在n階行列式中，戈卩去它的第i行和第j列，余下的數(shù)按照原來相對順序組成的一個(gè)(n-1)階行列式叫元素I的余子式，記作例如，在三階行列式D3 =爲(wèi)吆邑相似地, 所以中，/一的余子式川？表示將三階行列式二劃去第1行和第1列后，余下的數(shù)按照相對位置組成的二階 行列式，所以一的余子式a3.表示將三階行列式 二:劃去第二行和第三列后，余下的數(shù)組成的二階行列式。11，求:(1) :答疑編號10010103 :針對該題提問(2)答疑編號10010104 :針對該題提問(3) _：答疑

7、編號10010105 :針對該題提問(4) - .：j答疑編號10010106 :針對該題提問3|3fi-40 = -4(3)8(4)解(1)%(2)27-12 = 15(#)8(4)(#)8(4)24- 35 = -1 1-8-8-0(2)符號-上叫元素的代數(shù)余子式定義：I 1：(系數(shù)其實(shí)是個(gè)正負(fù)符號)(#)8(4)例2 求例1中：.的代數(shù)余子式（1）'.J答疑編號10010107 :針對該題提問（2）答疑編號10010108 :針對該題提問（3）答疑編號10010109 :針對該題提問（4）二答疑編號10010110:針對該題提問解:（ 1）二二Ai = （f 1 嚴(yán) Mj； （-

8、DX=（-1）（-4） = 4（2）*；.二':地】（嚴(yán)颯二-嶇1二-口（3）'<-；： I -A? =（-1 嚴(yán)皿口 二皿口 = -11（4）血=（T嚴(yán)町=_松=0（如果符號是奇數(shù)，等于相反數(shù)；如果是偶數(shù)，等于原數(shù)）計(jì)算i?. L；：_：_ （以上兩組數(shù)相等）答疑編號10010111 :針對該題提問解：l311A1 +t321Al + 碼 lA1=知(-1嚴(yán)陌+ 陽(-l)a+1Afai +flai l)3+1AGi-叫1陸-知嶇1 +勺1陸11213=如（如筑-如如）-砌】（如知-知切）亠如2如%）12233 +°垃3也1 +知衛(wèi)口口厲的爲(wèi)左-如旳 1 如1

9、52231由于GuG忖 ti>e u Qpb G“ £tQmG沁G畀1CmG”久-=口護(hù)22乜+flufta如+如如転132231 甌譚2B碼7 一如陽1偽3與例3的結(jié)果比較，發(fā)現(xiàn)這一結(jié)果說明：三階行列式:等于它的第一列的元素與對應(yīng)的代數(shù)余子式的積的和，這一結(jié)果可以推廣到n階行列式作為定義。定義：n階行列式=知令十勺1禺+H位理&即規(guī)定n階行列式：的值為它的第一列的元素與相應(yīng)代數(shù)余子式的積的和，上面結(jié)果中因?yàn)樗杂? =如-勺少凱+也座男+ + (-T)K+1特別情形D3 =的1山1 - aM21 +31M31例4計(jì)算下列行列式答疑編號10010112:針對該題提問00

10、(1)如 14a23a24空砌o %=nAi 十令 jAi+5i Ai +<iAi=dtn4i+o x Ai+x Ai +0x£h二知如口曲44由本例可見四階上三角形行列式的值也等于它的主對角線各數(shù)之積坷】0鬥2叫口 23叫4A =00g000a44a5(2)0000a55答疑編號10010113:針對該題提問012a22曲4L/JJD5 =00細(xì)各000兩4%0000=11A1 +也1占21 + 佝 41 + a41Al + 141=Oj4 +0 十o 十o+o=珀肱H + 0+ 0 + 0 + 0如0a25= aU-00%000=莊滬護(hù)4*55可見五階上三角形行列式的值仍等

11、于它的主對角線各數(shù)之積“二：一*：;'一,一,一般地可推得Gii Qe 即任意n階上三角形行列式的值等于它的主對角線各數(shù)之積左二：-同理有00 .0*210 .0-=an2 " am%備 .%1.2行列式按行（列）展開在1.1節(jié)講n階行列式的展開時(shí)，是把 "，按其第一列展開而逐步把行列式的階數(shù)降低以后，再求出其 值。實(shí)際上，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展開來求岀它的值?，F(xiàn)在給出下面的重要定理，其證明從略。定理1.2.1 （行列式展開定理）n階行列式口 =陶x等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù) 余子式的乘積之和，即。二兩兒+如血+ +嶋心（i=1,2

12、,n（ 1.8）或A' （j=1,2,n）（1.9）其中，：是元素=：在D中的代數(shù)余子式。定理1.2.1 （行列式展開定理）n階行列式'一等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù) 余子式的乘積之和，即（i=1,2，,n（1.8）或-'二廠八、二二二（j=1,2,n（1.9）其中，7是元素小在D中的代數(shù)余子式。（1.8 ）式稱為D按第i行的展開式，（1.9）式稱為D按第j列的展開式，這里i,j=1,2, 上述展開定理也可以表示成d3 =nAi 十 Ai + 如禺=十金曲血 十金為比二 141 a2i22 + 拆23刈3=知41十。葢Al "*也M玉(2)41

13、=fluAi +%4i+如嗎 1+a*Ai =皿總/口 +金2222 +爲(wèi)2卷2 +皿42凡2 二毋厶3 +Q列蟲23 +爲(wèi)33十岳凡3=如占14 +知&1 +知嗎4 +砌4耳4 =如坷1 +%血+如血+的*嗎4atq +么2222 +么2了"23 + 4-24 -d31Al +如禺+令3玉+也弭禺二 41A1 +%凡彳 + 口柑&3 + a4lA*0 o044例5計(jì)算答疑編號10010201 :針對該題提問解：由于第一行或第四列所含零最多，故可按第一行展開(解題技巧)D °1l41 +12 4 +。1?4事 +°b*£*'.&#

14、39;an =an =alA = 0.-.D= auMn+ 0+0 + 0% 0 o二%。竝如 °% 知 44可見四階下三角形行列式的值也等于它的主對角線各數(shù)之積 例5的結(jié)果可推廣為12-1D* =00302003例6計(jì)算1121答疑編號10010202 :針對該題提問解：由于第2行含0最多，所以應(yīng)按第二行展開我們稱這種行列式為下三角行列式（可任意取值的元素在主對角線的下面）2二砌141 +母衛(wèi)丄處+23413 +#加4電*21 =。箔二 24 二 °D* =0 + 0 +d茁+ 0 = aM=-3二-孔也】+ 22-22 + 屈-孔-切比爼+ 0-衍M茁2 -1 11 2

15、|1 -2 .-3.>= -3-2x3-3x(-l)J=9010000002000D6 =00030000004Q000005例7計(jì)算600000答疑編號10010203 :針對該題提問解：將上"按第6行展開得D&二l4l + %'452 +%人事+兔+兔3咼3 +陽&握庁 =F必0=-6x1 x2x 3x4x5=-61例8計(jì)算（i）答疑編號10010204 :針對該題提問解：按第4行展開D =找取 + 0 +0+0二 aA 141(2)針對該題提問答疑編號10010205 :解：將D按第一行展開D 旳 i4i +0 + 0 + czwj414s d 0

16、0 S ®巾勺 00勺包0 0/厶00=4= 鬥£ 筋也一婦巾）一幽厶（場巾-鳥臼）（重新分組后得岀）=（礙£ 一（爲(wèi)巾_辰）1.3行列式的性質(zhì)與計(jì)算因?yàn)閚階行列式是n!項(xiàng)求和，而且每一項(xiàng)都是n個(gè)數(shù)的乘積，當(dāng)n比較大時(shí)，計(jì)算量會(huì)非常大，例如,10!=3628800。所以對于階數(shù)較大的行列式很難直接用定義去求它的值，這時(shí)利用行列式的性質(zhì)可以有效地解決行列式的求值問題。下面我們來研究行列式的性質(zhì)，并利用行列式的性質(zhì)來簡化行列式的計(jì)算。1.3.1行列式的性質(zhì)將行列式D的第一行改為第一列，第二行改為第二列 第n行改為第n列，仍得到一個(gè)n階行列式, 這個(gè)新的行列式稱為 D的

17、轉(zhuǎn)置行列式，記為或二。即如果5 % " %111 勺】"'% 打T二牝 a22知 則 氐 " %性質(zhì)1行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即一 或如ai2亠%21亠氣1左21如=知axl£皿切a曲根據(jù)這個(gè)性質(zhì)可知，在任意一個(gè)行列式中，行與列是處于平等地位的。凡是對行”成立的性質(zhì)，對列” 也成立；反之，凡是對 列”成立的性質(zhì)，對行”也成立。所以只需研究行列式有關(guān)行的性質(zhì)，其所有結(jié)論 對列也是自然成立的。（運(yùn)用最多）性質(zhì)2用數(shù)k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于 kD。這也就是說, 行列式可以按某一行和某一按列提出公因數(shù)：an an &qu

18、ot; %11 如"'%燦i燉z - 嘰-jt皚%=kDaxlajt2%證 將左邊的行列式丄i按其第i行展開以后，再提岀公因數(shù) k，即得右邊的值:A辰嗎=上乞嗎注意 如果行列式有多行或多列有公因數(shù)，必須按行或按列逐次提岀公因數(shù)。2 55 I6 4 10.例1計(jì)算行列式：3615答疑編號10010206 :針對該題提問2 552 5 52 5 16 4 10=2x3x3 2 5=2x3x53 2 1解3 6 1512 51 2 1=30 （4+6+5-2-4-15）=30 （-6） =-180在例1的計(jì)算過程中，我們先提岀第二行的公因數(shù)2和第三行的公因數(shù)3，得到第一個(gè)等號右邊的

19、式子，然后提岀這個(gè)行列式中第三列的公因數(shù)5，把行列式中各元素的絕對值化小以后，再求岀原行列式的值。abacaebd-cdde例2bfcf一時(shí)答疑編號10010207 :針對該題提問-ab ac ae-bee-1 1 1bd -cd-b -c &-abedf1 -1 1bj cj -ejb c -e1 1 -1因?yàn)?11-1111一 111-1111-111T=一1）十1十1一（一1）一（一1）（一1）二、三行分別提岀了公因子 b,c,e，化簡后再求出其值。所以原式=4abcdefa,d,f,第二個(gè)等號左邊的這里是把上式第一個(gè)等號左邊的行列式的第一、行列式的第一、二、三列分別提岀了公因子

20、-a例3計(jì)算行列式:-c 00 a b0 -aD =-a 0 c= M)3a 0 -c-b -c 0b c 010010208 :針對該題提問在行列式D的每一行中都提出公因數(shù)（ 答疑編號-1）并用行列式性質(zhì)1可以得到因?yàn)樾辛惺紻是一個(gè)數(shù)，所以 由D= -D，可知行列式D=0。是反對稱行列式,則它滿足條件（運(yùn)用最多）性質(zhì)3互換行列式的任意兩行（列），行列式的值改變符號。 即對于如下兩個(gè)行列式XX有f - 1根據(jù)這個(gè)性質(zhì)可以得到下面的重要推論：推論 如果行列式中有兩行（列）相同，則此行列式的值等于零。因?yàn)榛Q行列式D中的兩個(gè)相同的行（列），其結(jié)果仍是D，但由性質(zhì)3可知其結(jié)果為-D，因此D=-D，

21、所以D=0。性質(zhì)4如果行列式中某兩行（列）的對應(yīng)元素成比例，則此行列式的值等于零。證 設(shè)行列式D的第i行與第j行的對應(yīng)元素成比例，不妨設(shè)第 則j行元素是第i行元素乘以k得到的,11由于將行列式D中第j行的比例系數(shù)k提到行列式的外面來以后，余下的行列式有兩行對應(yīng)元素相同, 因此該行列式的值為零， 從而原行列式的值等于零。明。行列式中某兩列元素對應(yīng)成比例的情形可以類似地證例4 驗(yàn)算x=3是否是方程/« =答疑編號10010209 :針對該題提問解：因?yàn)?0 x=3是方程f（x）=0的根。性質(zhì)5行列式可以按行（列）拆開，即=0的根。（第二行與第四行成倍數(shù)）426611k1000211k10

22、00211D=S ® * %）坷=工嘉纜* IX咼J=1J'=l這就是右邊兩個(gè)行列式之和。的某一行（列）的所有元素都乘以同一數(shù)k以后加到另一行的對應(yīng)（運(yùn)用最多）性質(zhì)6把行列式D 元素上去，所得的行列式仍為即:D-例5證明:=0的充要條件是k=1或k=±2答疑編號10010301 :針對該題提問證因?yàn)開 _=_ （第一行的數(shù)乘與（-1）加到第二行上去）k100021100k-10100110110001001101100QI)或 k=±2。所以，D=0的充要條件是k=1此題中，為了敘述方便，我們引入了 新的記號，將每一步的行變換寫在等號上面（ 若有列變換則寫

23、在 等號下面，本題沒有列變換），即第一步中的+ （-1） 乂表示將第一行的-1倍加到第二行上，第二步是第 一列展開。的任意一行（列）各元素與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)根據(jù)行列式的展開定理與行列式的性質(zhì)，我們有下面的定理：定理1.3.1 n階行列式余子式的乘積之和等于零，即爲(wèi)+函細(xì)血二0 （i h k）(1.10)%血+%地上十十務(wù)&上二0心工上）(1.11)01001101100010011011001.3.2行列式的計(jì)算行列式的計(jì)算主要采用以下兩種基本方法。k。（1）利用行列式的性質(zhì)，把原行列式化為容易求值的行列式，常用的方法是把原行列式化為上三角 （或 下三角）行列式再求值。 此時(shí)

24、要注意的是， 在互換兩行或兩列時(shí)，必須在新的行列式的前面乘上（ -1），在 按行或按列提取公因子 k時(shí)，必須在新的行列式前面乘上“0元素，再按包含0最多的行或列展開。0|（2）把原行列式按選定的某一行或某一列展開，把行列式的階數(shù)降低，再求岀它的值，通常是利用性 質(zhì)6在某一行或某一列中產(chǎn)生很多個(gè)4 -2例6計(jì)算行列式答疑編號10010302 :針對該題提問所以我們只要設(shè)法利用行列式的性質(zhì)將行解由于上三角行列式的值等于其主對角線上元素的乘積, 列式化為上三角行列式，即可求出行列式的值。-2-1-1-8-1 + (-2) X +1X®01001102310011004310-8-3-123

25、100110'00-11005-123100110'00-110004-3+5X4- C-4) X2梧X我們在計(jì)算例6中的行列式時(shí)，是利用行列式的性質(zhì)先將它化成上三角行列式后，再求岀它的值， 實(shí)上在計(jì)算行列式的值時(shí)，未必都要化成上三角或下三角行列式，若將行列式的性質(zhì)與展開定理結(jié)合起來 使用，往往可以更快地求出結(jié)果。例7計(jì)算行列式:答疑編號10010303 :針對該題提問aii=1,利用這個(gè)（1, 1）位置的元素1把行列式中第一0,然后按第一列展開，可將這個(gè)四階行列式降為三階行列式來計(jì)算，具體步驟如解觀察到行列式的第一行第一列位置的元素 列的其他元素全都化為下：10 2 110

26、2 12-1100 -1 -212 0 3 + (-2)X®0 2-220 3 2 1©+ (-1) X0321按第一列展開，得-1-1=(-1)>2X132斗-1= -26=(-1)>2X132斗-1= -26 +（-1）+（7）X -2>< 乂-7-15=(-1)>2X132斗-1= -262141(32)?例10計(jì)算行列式:2141例8計(jì)算行列式答疑編號（把最簡單的調(diào)到第一列或是第一旬）10010304:針對該題提問-1 + IX®+ (-2)X按第一列展開5 31 21 0 031 27 375按第二行展開375在本例中，記號

27、表示將行列式的第一列乘以 5后加到第二列。例9計(jì)算行列式:=81 寫在等號下面，表示交換行列式的第一列和第二列，+5X寫在等號下面,（例子很特殊）6,我們可以采用簡易方法求其值,31116 1111111111113 1163 1113 11一 r02 Q 0113 1613 10113 1V0 0 2 011136 113111300 Q 2答疑編號10010305 :針對該題提問解這個(gè)行列式有特殊的形狀，其特點(diǎn)是它的每一行元素之和為先把后三列都加到第一列上去,提岀第一列的公因數(shù)再將后三行都減去第一行:6,=48d1(a+1)3（劇(V+1)2(c+1)3(c+2)3(c+3)2（舫(旳2a

28、2-b2=(a+b)(a-b)答疑編號10010306 :針對該題提問(32)?例10計(jì)算行列式:J (a+1)2（劇Vs (b+l/(Wc2 (c+1)3(c+2)3(d+1/(d+2)22a+36a+92b+36b+92c+36匚+92d+36d+9(a+321F(a+1)2(b+卯ba(b+l)=(c+3)3i?(c+1)3J ©+(-1)x j 3 (<W| + d) x M (Wa2 (a+1)32a+33 (2a+3)ba (b+l)a 2b+3 3(2b+3)c2 (c+1)32c+3 3(2c+3)d2 (d+l 尸 2d+3 3(2d+3)A 二如 41 +

29、0+o+碣1（簡化的過程就是消階，次方也應(yīng)減少，為（N-1 ）等例11計(jì)算n階行列式（n>1 ）：a0ba0b0000A =000abb000a答疑編號10010307:針對該題提問解將行列式按第一列展開，得ab 00b0000a o0ab一"Q000 ab00b0000aH +Z>(-1)H+100 ab=a -+ (-1)3=+ (- l)K+1y例12計(jì)算范德蒙德一 #VanderMonde )行列式：上）答疑編號10010308:針對該題提問（第一行乘（-X1 ）加到第二行上；第二行乘（-X1 ）加到第三行1 1 11 1 10花-珂X3l=牙2才2疋20 巧花（

30、§孟J七（可-珂）禺（廷一可）1=（花一帀）（也一衙）（也花）b b1例13計(jì)算£b3aa3as1a a2bb3b5=abc1bcc23 C_12 c c答疑編號10010309 :針對該題提問二工' ? 一；：上 亡-（這是個(gè)定律）1”的行列例14計(jì)算（解題規(guī)律：每行或是每列中的和是一樣的，故每行或是每列都乘“1”加到第一行或是第一列上去，再把這個(gè)數(shù)當(dāng)公因數(shù)提取，形成有一行或是列全為 式，然后再化簡）答疑編號10010310 :針對該題提問x a aa ax+4ax+牝x+Aax + 4aaaa aaXaaa4©a a xa aXBaaXaaa a ax

31、 a確aaaXaa a aa x嚼aaaaX1 11 1 11 11 11a耳a aaOz0 00+(-a)=(x+4a)a ax aa+(-a)0 0x-a 00a aa xa*(-a)0 00 x -a0a aa si*+(-a)0 00 0x-a=(x+4a) ( x-a) 41.4克拉默法則由定理1.2.1和定理1.3.1合并有ai Al + ' At -'ajA + 曲站+= w或（一）二元一次方程組（方程1、2左右同乘以一個(gè)數(shù)，上下對減）0佃4A忍弋知屮J昇尸b 2由a?2*-a2*得（的1冬a 筍護(hù)21召=口竝対玄由an-嗆得ail ai2bi auallbl令a

32、21a2J=d52；=D 1a b?（遼11函之的用21）可二#1曲©l對=d2則有A是常數(shù)項(xiàng) 當(dāng)"0時(shí)，二元一次方程組有唯一解4_ 6Xi = j 乃=D D（二）三元一次方程組如兀+務(wù)兇+屯沁二h21 Sla22225X321»j1x1+a32xe+a3 xbs U a12a13a21玉竝 a2B=DS al2 aBau S aBall a12 S%&22豈3a2L 5a2?=4&21%2 切S aS2 a33a31 S a33a31 切 %令叫系數(shù)行列式由D中的A11+A21+A31得（的占1+砌L&l +令滙1）無=如缶+為&

33、; 1+鳥由D中的Ai2+A22+A32得（盤1/垃+c?竝+函32）乃二垃月12 +4：十鳥召2由D中的A13+A23+A33得叢3 + 知4m * 33=對為了 +j4j3 + 鳥Ab當(dāng) "0時(shí)，三元一次方程組有唯一解一般地，有下面結(jié)果定理（克拉默法則）在n個(gè)方程的n元一次方程組如珞+%也+%二 巾曲+%比+角幾二b：鳥訊+蟄比+一+務(wù)忙占b(1)中，若它的系數(shù)行列式D=則n元一次方程組有唯一解。推論：在n個(gè)方程的n元一次齊次方程組呂譯】+耳駒+ +%葢廣0(2)（1）若系數(shù)行列式D0,方程組只有零解（2）若系數(shù)行列式D=0I則方程組（2）除有零解外，還有非零解（不證）例在三元一

34、次齊次方程組xl+x2+xs=04 x;+2xa-3xa=02i1+3xz+axs=0中，a為何值時(shí)只有零解，a為何值時(shí)有非0解。答疑編號10010401 :針對該題提問1 1 1D= 12 -3&2 3a解：=2a-6+3-4- （-9） -a=a+2（ 1） a乂2時(shí)，"0,只有零解（2） a=-2時(shí),D=0，有非零解。本章考核內(nèi)容小結(jié)（一）知道一階，二階，三階，n階行列式的定義知道余子式，代數(shù)余子式的定義（二）知道行列式按一行（列）的展開公式2 =嗎141 +轉(zhuǎn):4a力理A二知九+叫）爲(wèi)j + %竝（三）熟記行列式的性質(zhì)，會(huì)用展開公式或?qū)⑿辛惺交癁槿切蔚姆椒ㄓ?jì)算行列式

35、 重點(diǎn)是三階行列式的計(jì)算和各行（列）元素之和相同的行列式的計(jì)算（四）知道克拉默法則的條件和結(jié)論第二章 矩陣矩陣是線性代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的基本概念和數(shù)學(xué)工具，是研究和求解線性方程組的一個(gè)十分有效的工 具；矩陣在數(shù)學(xué)與其他自然科學(xué)、工程技術(shù)中，以及經(jīng)濟(jì)研究和經(jīng)濟(jì)工作中處理線性經(jīng)濟(jì)模型時(shí)，也都是 一個(gè)十分重要的工具。本章討論矩陣的加、減法，數(shù)乘，乘法，矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算，矩陣的求逆，矩陣的初 等變換，矩陣的秩和矩陣的分塊運(yùn)算等問題。最后初步討論矩陣與線性方程組的問題。2.1矩陣的概念定義2.1.1由rrKn個(gè)數(shù)% （i=1，2，m； j=1，2，n）排成一個(gè) m行n列的數(shù)表'口沁叫"用大

36、小括號表示稱為一個(gè)m行n列矩陣。矩陣的含義是，這mKn個(gè)數(shù)排成一個(gè)矩形陣列。其中aij稱為矩陣的第i行第j列元素（i=1，2，m； j=1，2，n），而i稱為行標(biāo)，j稱為列標(biāo)。第i行與第j列的變叉位置記為（i，j）通常用大寫字母 A，B，C等表示矩陣。有時(shí)為了標(biāo)明矩陣的行數(shù)m和列數(shù)n,也可記為A= （aij） rrXn 或（aj） rrXn 或 A rrXn當(dāng)m=n時(shí)，稱A= （aij） nX1為n階矩陣，或者稱為n階方陣。n階方陣是由n2個(gè)數(shù)排成一個(gè)正方形 表, 它不是一個(gè)數(shù)（行列式是一個(gè)數(shù)），它與n階行列式是兩個(gè)完全不同的概念。只有一階方陣才是一個(gè)數(shù) 。一個(gè)n階方陣A中從左上角到右下角的這

37、條對角線稱為A的主對角線。n階方陣的主對角線上的元素Qi,a22，ann，稱為此方陣的對角元。在本課程中，對于不是方陣的矩陣，我們不定義對角元。元素全為零的矩陣稱為零矩陣。用0.或者0 （大寫字）表示。特別，當(dāng)m=1時(shí)，稱a = （ai，日2，an）為n維行向量。它是ixn矩陣。帚當(dāng)n=1時(shí)，稱向量是特殊的矩陣丿為m維列向量。它是mKl矩陣。，而且它們是非常重要的特殊矩陣。b例如，（a，b，c）是3維行向量，工丿是3維列向量幾種常用的特殊矩陣:1.n階對角矩陣形如的矩陣，稱為起慵丿（那不是A,念“尖”）0 (P0 303例如，0 -1是一個(gè)三階對角矩陣，也可簡寫為hT丿對角矩陣，對角矩陣必須是

38、方陣。2.數(shù)量矩陣當(dāng)對角矩陣的主對角線上的元素都相同時(shí)，稱它為數(shù)量矩陣n階數(shù)量矩陣有如下形式:特別,1'-1' o （標(biāo)了角標(biāo)的就是N階矩陣，沒標(biāo)就不知是多少的） n階單位矩陣記為En或In，即q001 - 0務(wù)=101丿或當(dāng)a=1時(shí)，稱它為n階單位矩陣。在不會(huì)引起混淆時(shí)，也可以用E或I表示單位矩陣n階數(shù)量矩陣常用aEn或aln表示。其含義見2.2節(jié)中的數(shù)乘矩陣運(yùn)算。3.n階上三角矩陣與n階下三角矩陣形如伽1?Q1 ' ° 10-°<00&垃對角矩陣必須是方陣。4.零矩陣旬 0-0 0 0衛(wèi) 0 -°丿榔川一個(gè)方陣是對角矩陣當(dāng)

39、且僅當(dāng)它既是上三角矩陣，又是下三角矩陣(可以是方陣也可以不是方陣)的矩陣分別稱為上三角矩陣和下三角矩陣2.2矩陣運(yùn)算本節(jié)介紹矩陣的加法、減法、數(shù)乘、乘法和轉(zhuǎn)置等基本運(yùn)算。只有在對矩陣定義了一些有理論意義和 實(shí)際意義的運(yùn)算后，才能使它成為進(jìn)行理論研究和解決實(shí)際問題的有力工具。2.2.1矩陣的相等(同)定義 221 設(shè) A= (aij) mxn, B= (bj) kxi,若 m=k, n=l 且 aj=bj, i=1 , 2，m； j=1 , 2,，n,則稱矩陣A與矩陣B相等，記為A=B。由矩陣相等的定義可知，兩個(gè)矩陣相等指的是，它們的行數(shù)相同，列數(shù)也相同，而且兩個(gè)矩陣中處于相同位置(i, j)上

40、的一對數(shù)都必須對應(yīng)相等 。特別，A= (aij)nxn=0 ： - aij =0, i=1 , 2,，m； j=1 , 2,，n。注意行列式相等與矩陣相等有本質(zhì)區(qū)別，例如5 (Pfl 2豐打W 1丿因?yàn)閮蓚€(gè)矩陣中(1, 2)位置上的元素分別為0和2。但是卻有行列式等式0 11 2 =1° 1 P 1(因?yàn)樾辛惺绞菙?shù)，矩陣是表，表要求表里的每一個(gè)都一樣)2.2.2矩陣的加、減法定義2.2.2設(shè)A= ( a) nxn和B= (bij) nxn,是兩個(gè)nXn矩陣。由A與B的對應(yīng)元素相加 所得到的一個(gè)nX n矩陣，稱為A與B的和，記為A+B，即a+b= (a+ bij) nXn。即若伽4硝1

41、- %,B=毎1j- %W沁13叫g(shù)11如f如%、A±S =劃兮？1+軸則% 縊J= 勺1 土勺1 的】士勿，旳用丈內(nèi)日土1 令2 士綣2"5±%心當(dāng)兩個(gè)矩陣A與B的行數(shù)與列數(shù)分別相等時(shí)，稱它們是同型矩陣。 只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，它們才可 相加。例如12 3 4fO 14fl 3 79、+=J 6 7 ©匕2 0對7 9 7 16)注意:（1）矩陣的加法與行列式的加法有重大區(qū)別例如1 H1 + 21+22 + 23+31 + 11+12 + 2；1 2 32 2 31+2L 11+2 1 1=1+21 2 32 2 31+2（階數(shù)相同，所有的行（列

42、）中除某一行（列）不相同外，其余的行都一樣才可以相加，方法是除了這兩個(gè)不同的行（列）相加外，其它的不變。）（2 ）階數(shù)大于1的方陣與數(shù)不能相加。（階數(shù)大于1它就是一個(gè)表，不是一個(gè)數(shù)了）若A=（旬）為n階方陣，n>1，a為一個(gè)數(shù)，則 A+a無意義！但是n階方陣A= （ a） aEn可以相加：m<n與數(shù)量矩陣（把數(shù)轉(zhuǎn)化為數(shù)量矩陣aEn 就可以想加了）由定義2.2.2知矩陣的加法滿足下列運(yùn)算律:設(shè)A，B，C都是m<n矩陣，0是論n零矩陣，則（1）交換律A+B=B+A.（乘法沒有交換律）（2）結(jié)合律（A+B ） +C=A+ （ B+C）.（3）A+O=O+A=A.（4）消去律 A+C

43、=B+C =A=B.2.2.3數(shù)乘運(yùn)算（矩陣與數(shù)不能相加，但是可能想乘）定義2.2.3對于任意一個(gè)矩陣 A= （%） m<n和任意一個(gè)數(shù)k,規(guī)定k與A的乘積為kA= （ka0） m<n.（矩 陣?yán)锏牡趥€(gè)原數(shù)都乘以數(shù) K）即若骯曲Sw丿e則融拆2 也榊丿JWJQ!由定義2.2.3可知，數(shù)k與矩陣A的乘積只是A中的所有元素都要乘以 k,而數(shù)k與行列式Dn的乘積 只是用k乘Dn中某一行的所有元素，或者用k乘Dn中某一列的所有元素，這兩種數(shù)乘運(yùn)算是截然不同的。10020101針對該題提問根據(jù)數(shù)乘矩陣運(yùn)算的定義可以知道，數(shù)量矩陣aEn就是數(shù)a與單位矩陣En的乘積。7-12-2134f30 -

44、163月=1 E MS 3b憶47-1;例2 已知求X。且 A+2X=B ，答疑編號：10020102針對該題提問解： -0-2（注意是乘以矩陣?yán)锏拿總€(gè)元素）2.2.4乘法運(yùn)算定義2.2.4設(shè)矩陣A= （a） m<k，B= （ bij）時(shí)，令C= （ Cij） m<n是由下面的rrK n個(gè)元素 Cj=aj1 btj+aj2b2j+a ikbkj （i=1 ， 2， m ； j=1 ， 2， n）構(gòu)成的m行n列矩陣，稱矩陣 C為矩陣A與矩陣B的乘積，記為C=AB。由此定義可以知道，兩個(gè)矩陣 A=（a）和B=（ bij ）可以相乘當(dāng)且僅當(dāng)A的列數(shù)與B的行數(shù)相等。當(dāng) C=AB時(shí)，C的行數(shù)

45、=A的行數(shù)，C的列數(shù)=B的列數(shù)。C的第i行第j列元素等于矩陣 A的第i行元素與矩 陣B的第j列對應(yīng)元素的乘積之和。q o -r2 1 0 B =3 1J 2 -h卩且 AB=C例1 已知數(shù)乘運(yùn)算律（1）結(jié)合律（kl）A=k（ lA）=klA，k和I為任意實(shí)數(shù)。（2）分配律 k（ A+B）=kA+kB，（ k+l）A=kA+IA，k 和 I 為任意實(shí)數(shù)。r-l 23ri2-1 O'A-02 -139£ =4 -31 12 002打Jl23n12 -1202-13-34-311t A20I02IJ? 462、r6-3=0 4_2612-933瀘409j67 J4-66 + 32-00-124+92-36-3471-610-1J求 2A-3B。答疑編號: 解求矩陣C中第二行第一列中的元素 C21答疑編號：10020103針對該題提問解：C21等于左矩陣A中的第二行元素與右矩陣 B中第一列元素對應(yīng)乘積之和二 C21=2X1+ 1 X+ 0 X=5例4設(shè)矩陣q 0 -rA-2 1 0» E 3 1*J 2