精因式分解方法總結(jié)

1、因式分解方法總結(jié)一、定義定義：把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解(也叫作分解因式).因式分解與整式乘法為相反變形，同時也是解一元二次方程中公式法的重要步驟.二、因式分解三原則1 .分解要徹底(是否有公因式，是否可用公式)2 .最后結(jié)果只有小括號3 .最后結(jié)果中多項式首項系數(shù)為正(例如：-3x2+x = x(-3x + 1)三、基本方法(一) 提公因式法ma +mb +mc = m(a +b +c)如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提取公因式法.找公因式的一般步驟：(1)若各項系

2、數(shù)是整系數(shù)，取系數(shù)的最大公約數(shù)；(2)取相同的字母，字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；(3)取相同的多項式，多項式的指數(shù)取次數(shù)最低的；(4)所有這些因式的乘積即為公因式.(5)如果多項式的第一項是負(fù)的，一般要提出-”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)成為正數(shù)，提出-”號時，多項式的各項都要變號口訣：找準(zhǔn)公因式，一次要提盡；全家都搬走，留 1把家守；提負(fù)要變號，變形看奇偶.例如：am +bm +cm = -m(a-b -c)a(x - y) b(y -x)= a(x - y) -b(x - y) = (a -b)(x - y)1 1.汪意：把2a+ 變成2(a+ 一)不叫提公因式.2 4例1、 分解因式x3 -2

3、x2 -x (2003年淮安市中考題)解：x3 -2x2 -x =x(x2 -2x-1)例2、993 -99能被100整除嗎？還能被那些數(shù)整除 ？(二)公式法由于分解因式與整式乘法有著互逆的關(guān)系，如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項式分解因式.1、平方差公式：a2 -b2 = (a b)(a-b)2、完全平方公式：a2 -2ab b2 = (a - b)23、立方和公式：a b3 = (a b)(a2 -ab b2)4、立方差公式：a3-b3 = (a - b)(a2 ab b2)22225、ab c 2ab 2bc 2ca = (a b c)6、完全立方公式：a3 _3a2b 3a

4、b2 _b3 =(a_b)37、a3 b3 c3 -3abc = (a b c)(a2 b2 c2 - ab - bc - ca) 22例3、 分解因式a +4ab +4b (2003年南通市中考題)解： a2 4ab 4b2 =(a 2b)2例4、已知a, b, c是AABC的三邊，且a2+b2+c2 = ab+bc + ca ,則AABC的形狀是()A .直角三角形B.等腰三角形C .等邊三角形D.等腰直角三角形22222_ 2解：a b c = ab bc ca= 2a 2b 2c = 2ab 2bc 2ca=(a -b)2 (b -c)2 (c - a)2 = 0= a =b =c(三

5、)分組分解法能分組分解的多項式一般有四項或大于四項，一般的分組分解有兩種形式：二二分法、三一分法 .1 .分組后能直接提取公因式.例5、分解因式 am+an+bm+bn.解： 原式=(am +an) +(bm +bn)a(m n) b(m n)*每組之間還有公因式!=(m n)(a b)例6、分解因式 2ax -10ay 5by - bx解法一：第一、二項為一組； 第三、四項為一組。解法二：第一、四項為一組； 第二、三項為一組。解：原式二(2ax-10ay) + (5by-bx) 原式二(2ax-bx)+(-10ay+5by)= 2a(x-5y)-b(x -5y)= x(2a -b) -5y(

6、2a -b)= (x -5y)(2a-b) =(2a-b)(x-5y)練習(xí)：分解因式(1) a2ab+acbc (2) xy x y+12 .分組后能直接運用公式例7、分解因式：x2 - y2 +ax+ay解： 原式=(x2 -y2) + (ax +ay) = (x + y)(x-y) + a(x + y)=(x + y)(x-y + a)例8、分解因式：a2 - 2ab +b2 -c2解：原式=(a 8b 1-16b 8b+(-16b)= -8b-8ab -128b2 = a2 8b (-16b)a 8b (-16b)=(a 8b)(a -16b)分解因式(1) x2 -3xy 2y2 (2

7、) m2 -6mn 8n2 (3) a2 -ab -6b24.二次項系數(shù)不為1的齊次多項式 -2ab b2) -c2 = (a -b)2 -c2 = (a -b -c)(a -b c)練習(xí)：分解因式(1) x2 _x _9y2 3y(2) x2 - y2 -z2 -2yz(四)十字相乘法口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中1 .二次項系數(shù)為1的二次三項式直接利用公式x2 +(p+q)x+pq =(x + p)(x+ q)進行分解特點：(1)二次項系數(shù)是1；(2)常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；(3) 一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和例9、分解因式：x2 +5x +6分析：將6分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要

8、等于5.由于6=2 X 3=(-2) X (-3)=1 X 6=(-1) X(-6)，從中可以發(fā)現(xiàn)只有 2X3的分解適合, 即 2+3=5.12解： x2 5x 6 = x2 (2 3)x 2 31 3= (x +2)(x + 3)1 x 2+1 x 3=5用此方法進行分解的關(guān)鍵：將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積，且這兩個因數(shù)的代數(shù)和要等于次項的系數(shù).例10、分解因式：x2 -7x+61-1-6解：原式=x2 (-1)(-6)x (-1)(-6)= (x-1)(x-6)練習(xí)、分解因式(1)練習(xí)、分解因式(1)2.二次項系數(shù)不為2x 14x 24 (2) x2 x -2(2)1的二次三項式一一2 a2

9、 y(-1 ) +-15a 36 -2y -15 (3)(-6 ) = -72x4x -52 一 一x -10x-242ax bx c條件：(1)(2)(3)分解結(jié)果：=a1a2二 c1c2二 aQza2G：a2CiC2二a1C2 ' a2 G2ax bx c = (ax G)(a2x C2)例11、分解因式：分析：133x2 -11x 10-2-5(-6 ) + (-5 ) = -11 解：3x2 -11x 10 = (x -2)(3x-5) 練習(xí)、分解因式(1) 5x2 +7x -6(3) 10x2 -17x 33.二次項系數(shù)為1的齊次多項式 例 12、分解因式：a2 -8ab -

10、128b2_2_(2) 3x 7x + 22(4) -6y2 +11y+10分析:b看成常數(shù)，把原多項式看成關(guān)于a的二次三項式，利用十字相乘法進行分解。解:練習(xí)、例 9、2x2 -7xy 6y21 -2y ,一2 -3y (-3y)+(-4y)= -7y 解：原式=(x -2y)(2x -3y) 練習(xí)、分解因式：(1) 15x2一22 一 一例 10、x y 3xy + 2把xy看作一個整體 11之=1)+(-2)= -3解：原式=(xy-1)(xy-2)27xy 4y2 2 a x 6ax + 8思考：分解因式：abcx2 +(a2b2 +c2)x + abc(五)換元法有時在分解因式時，可

11、以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數(shù)，整體代入,.注意：換元后勿忘還元然后進行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來，這種方法叫做換元法 例 11、分解因式(x2+x+1)(x2+x + 2)12解：令 y = x2 , x則原式=(y 1)(y 2) -12 =y2 3y-10 =(y 5)(y -2)=(x2 x 5)(x2 x -2) = (x2 x 5)(x 2)(x -1)例 12、分解因式(1) 2005x2 - (20052 -1)x-2005，、一一一2(x 1)(x 2)(x 3)(x 6) x 2. 2 一解：(1)設(shè) 2005=a,則原式=ax -(a 1)xa=(ax 1)(x

12、 -a)=(2005x 1)( x-2005)(2)型如abcd +e的多項式，分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘2_2-2原式=(x 7x 6)(x 5x 6) x 設(shè) x2 +5x+6 = A,則 x2 +7x+6=A+2x ，原式=(A 2x) A x2= A2 2Ax x2=(A x)2 = (x2 6x 6)2練習(xí)、分解因式(1) (x2+xy + y2)2 4xy(x2 + y2)(2) (x2 3x 2)(4x2 8x 3) 90(3) (a2 +1)2 +(a2 +5)2 -4(a2 +3)2(六)拆項、添項法這種方法指把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數(shù)的兩項(或幾項)，

13、使原式適合于提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解.要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形.例 13、分解因式 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解： 原式=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)二 bc(c - a) bc(a b) ca(c - a) - ab(a b)二 bc(c - a) ca(c-a) bc(a b) - ab(a b)二(bc ca)(c 一 a) (bc 一 ab)(a b)二 c(ca)(b a) b(c-a)(a b)二(c b)(c a)(b a)(七)配方法對于某些不能利用公式法的多項式，可以將其配成一個完全平方式，然

14、后再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法.屬于拆項、添項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形.2例14、分解因式x +4x +3解：原式=x2 4x 4 -4 3 =(x 2)2 -1 = (x 2 1)(x 2-1) = (x 3)(x 1)(八)主元法先選定一個字母為主元，然后把各項按這個字母次數(shù)從高到低排列，再進行因式分解.222例15、分斛因式a (bc)十b (c a)十c (ab)解： 原式=a2(b-c) -a(b2 -c2)+(b2c-c2b)二(b -c)a2 -a(b c) bc=(b - c)(a b)(a c)(九)特殊值法將2或

15、10代入x,求出數(shù)P,將數(shù)P分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合，并將組合后的每一個因數(shù)寫成2或10的和與差的形式，將 2或10還原成x,即得因式分解式.例 16、分解因式 x3+9x2+23x+15解：令 x=2 ,則 x3 +9x2 +23x+15 =8 +36+46 +15 =105將105分解成3個質(zhì)因數(shù)的積，即105=3X5X7注意到多項式中最高項的系數(shù)為1,而3、5、7分別為x+1, x+3, x+5,在x=2時的值3 2貝Ux9x 23x 15 = (x 1)(x 3)(x 5)(十)待定系數(shù)法首先判斷出分解因式的形式，然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項式因式分解.例

16、 17、分解因式 x4 -x3 -5x2 -6x -4解：由分析知，這個多項式?jīng)]有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式于是設(shè) x4 -x3 -5x2 -6x -4 = (x2 ax b)(x2 cx d)4 32=x (a c)x (ac b d)x (ad bc)x bd所以 a +c = 1ac +b +d = -5V ad +bc = -6bd =4解得 a =1, b =1 , c = _2 , d = _4所以 x4 -x3-5x2-6x-4 = (x2 x 1)(x2-2x-4)例18、分解因式x2十xy6y2+x+ 13y 一 6分析：原式的前 3項x2 +xy6y2可以分為(x

17、+3y)(x 2y),則原多項式必定可分為(x 3y m)(x -2y n)解：設(shè) x2 xy - 6y2 x 13y - 6 = (x 3y m)(x。2y n)22- (x 3y m)(x - 2y n) = x xy -6y (m n)x (3n - 2m)y - mn2222xxy -6yx 13y - 6 = x xy - 6y (m n)x (3n - 2m) y - mn工m n = 1 一 m = 2對比左右兩邊相同項的系數(shù)可得3n-2m =13,解得n=3mn = -6 .原式=(x 3y -2)(x -2y 3)例19、(1)當(dāng)m為何值時，多項式 x2 - y2 + mx

18、+ 5y-6能分解因式，并分解此多項式 .(2)如果x3+ax2 +bx+8有兩個因式為x + 1和x + 2,求a +b的值.(1)分析：前兩項可以分解為(x + y)(x y),故此多項式分解的形式必為(x y a)(x y b)解：設(shè) x2 - y2 mx 5y -6 = (x y a)(x - y b)貝U x2 - y2 mx 5y -6= x2 - y2 (a b)x (b - a)y aba + b = ma = -2a = 2比較對應(yīng)的系數(shù)可得：，ba=5,解得：4b=3或，b = 3ab = -6m = 1m = -1.當(dāng)m = ±1時，原多項式可以分解；當(dāng) m =

19、1 時， 原式= (x+ y -2)(x- y +3);當(dāng) m =一1 時，原式=(x +y + 2)(x y 3)(2)分析：x3+ax2 +bx+8是一個三次式，所以它應(yīng)該分成三個一次式相乘，因此第三個因 式必為形如x+c的一次二項式。解：設(shè) x3 ax2 bx 8=(x 1)(x 2)(x c)貝Ux3 ax2 bx 8=x3 (3 c)x2 (2 3c)x 2ca =3 ca = 7db =2 +3c 解得 <b =14 ,2c = 8g = 4a b=21(十一)雙十字相乘法用于分解形如ax2 - bxy cy2 dx ey f的二次六項式具體方法：將a分解成 mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果mq+np = b, pk+qj=e, mk+nj=d,即第1,2列和第2,3列都滿足十字相乘規(guī)則。則ax2+bxy+cy2+dx+ ey+f = (mx+py + j)(nx + qy+ k).要訣：把缺少的一項當(dāng)作系數(shù)為0, 0乘任何數(shù)得 0例 20、分解因式