432平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換

1、4.3.2平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換1. 了解平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換，能運(yùn)用伸縮變化進(jìn)行簡(jiǎn)單的變換.2. 體會(huì)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換給圖形帶來的變化.基礎(chǔ)初探橫坐標(biāo)的伸縮變換kx=x',一般地，由，（k>0）所確定的伸縮變換，是按伸縮系數(shù)為k向著yy=y軸的伸縮變換（當(dāng)k>1時(shí)，表示伸長(zhǎng)；當(dāng)0<kv1時(shí)，表示壓縮），即曲線上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膋倍（這里（x,y）是變換前的點(diǎn)，（x，y'）是變換后的點(diǎn)）.縱坐標(biāo)的伸縮變換x=x',一般地，由，（k>0）所確定的伸縮變換，是按伸縮系數(shù)為k向著xky=y軸的伸縮變換（當(dāng)k>

2、;1時(shí)，表示伸長(zhǎng)；當(dāng)0<kv1時(shí)，表示壓縮），即曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膋倍（這里（x,y）是變換前的點(diǎn)，（x，y'）是變換后的點(diǎn)）.1. 伸縮變換一般地，設(shè)點(diǎn)P（x,y）是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換加。'=永（»0）,一,的作用下，點(diǎn)P（x,y）對(duì)網(wǎng)到點(diǎn)P'（x，y'），稱4為平面直y=卜fu0）角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱為伸縮變換.思考探究191.如果x軸的單位長(zhǎng)度保持不變，y軸的單位長(zhǎng)度縮小為原來的會(huì)圓x+y2=4的圖形變?yōu)槭裁磮D形？伸縮變換可以改變圖形的形狀嗎？那平移變換呢？2【提示】x2+y2=4的圖形變?yōu)?/p>

3、橢圓：j+y2=1.伸縮變換可以改變圖形的形狀，但平移變換僅改變位置，不改變它的形狀.2. 如何理解平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換?【提示】在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行伸縮變換，即改變x軸或y軸的單位長(zhǎng)度，將會(huì)對(duì)圖形產(chǎn)生影響.其特點(diǎn)是坐標(biāo)系和圖形發(fā)生了改變，而圖形對(duì)應(yīng)的方程不發(fā)生變化.如在下列平面直角坐標(biāo)系中，分別作出f(x,y)=0的圖形：(1)x軸與y軸具有相同的單位長(zhǎng)度；(2)x軸上的單位長(zhǎng)度為y軸上單位長(zhǎng)度的k倍；1_(3)x軸上的單位長(zhǎng)度為y軸上單位長(zhǎng)度的k.第(1)種坐標(biāo)系中的意思是x軸與y軸k上的單位長(zhǎng)度一樣，f(x,y)=0的圖形就是我們以前學(xué)過的平面直角坐標(biāo)系中的f(x,y)=0的圖形

4、；第(2)種坐標(biāo)系中的意思是如果x軸上的單位長(zhǎng)度保持不變，y軸上的單位長(zhǎng)度縮小為原來的k，此時(shí)f(x,y)=0表示的圖形與第(1)種坐標(biāo)系k中的圖形是不同的；第(3)種坐標(biāo)系中的意思是如果y軸上的單位長(zhǎng)度保持不變，x軸上的單位長(zhǎng)度縮小為原來的1,此時(shí)f(x,y)=0表示的圖形與第(1)種坐標(biāo)系k中的圖形是不同的.質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流:疑問1:解惑：疑問2:解惑：疑問3:解惑：Wi.伸縮變換kx=x,一對(duì)下列曲線進(jìn)仃伸縮變換，(k0,且k1)iky=y(1) y=kx+b;(2) (x-a)2+(y-b)2=r2.【自主解答】設(shè)P(x,y)是變換前的點(diǎn)，

5、P'(x，y')是變換后的點(diǎn)，由rr_lw/kx=x,|xkx'題意，得4即.、ky=V，y=ky，.由1y=k(1x')+b,y'=kx'+kb,得直線y=kx+b經(jīng)過伸縮變換后kk的方程為y=kx+kb,仍然是一條直線.當(dāng)b=0時(shí)，該直線和原直線重合；當(dāng)b0時(shí)，該直線和原直線平行.(2)由(：x，一a)2+(；y，一b)2=r2,(x，一ka)2+(y，一kb)2=(kr)2,得圓(x-a)2+(yb)2=r2經(jīng)過伸縮變換后的方程為(xka)2+(ykb)2=(kr)2,它是一個(gè)圓心為(ka,kb),半徑為|kr|的圓.再練一題1.在同一平面

6、直角坐標(biāo)系中，將直線x2y=2變成直線2一寸=4,求滿足圖象變換的伸縮變換.x=入羊。0【解】設(shè)變換為S,y=Hy戶0代入直線方程2y'=4得：2入尸4,即入尸務(wù)=2,比較系數(shù)得：口1,嚀4,即直線x-2y=2圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的4倍可得到直線2xy=4.|T些伸縮變換的應(yīng)用例曲線y=2sin3x變換成曲線y=3sin2x,求它的一個(gè)伸縮變換.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：98990021x=入gA0【思路探究】設(shè)S,代入y'=3sin2，所得式再與y=y=nq40)2sin3x比較即可求人ii【自主解答】將變換后的曲線y=3sin2x改成y'=3sin2x'

7、;x=入gA0),設(shè)伸縮變換S代入y'=3sin2xy'=IQ0),得p尸3sin(2入)一3,.、一即y=?in(2入X與y=2sin3x比較系數(shù)，32口3，日2，得<3叫3甘2，I尸2,3x=x,所以伸縮變換為3頃=§y.確定一個(gè)伸縮變換，實(shí)際上就是求其變換方法，將新舊坐標(biāo)分活，代入對(duì)應(yīng)的曲線方程，然后比較系數(shù)即可.再練一題222.(1)圓x2+y2=a2經(jīng)過什么樣的伸縮變換，可以使方程變?yōu)?+1(0<b<a)?(2)分析圓x2+y2=a2的一條弦所在直線和經(jīng)過該弦中點(diǎn)的直徑所在直線經(jīng)過上述伸縮變換后的位置關(guān)系.【解】(1)橢圓x2+枝=1可以化

8、為x2+弩=a2,abbx=x，,x=x',設(shè)！a,即！b,y=by，iay=y-所以圓x2+y2=a2經(jīng)過向著x軸方向上的伸縮變換，伸縮系數(shù)k=?,可以使a22方程變?yōu)閵Z+#=1.(2)若圓x2+y2=a2的一條弦所在直線的斜率存在且不為0,設(shè)其方程為y=kx+m,根據(jù)垂徑定理，經(jīng)過該弦中點(diǎn)的直徑所在直線的方程為y=p.abkb由by=kx+m,得y=x+am.所以直線y=kx+m經(jīng)過變換，方程可變?yōu)閥=平x+bm.aaa1b1由by=kx，得y=一商，所以直線y=-Rx經(jīng)過變換，萬程可變b為v=kax.b2此時(shí)，兩條直線的斜率乘積是定值-#.若圓x2+y2=a2的弦所在直線的方程為

9、x=n,則經(jīng)過其中點(diǎn)的直徑所在直線的方程為y=0,伸縮變換后其方程分別變?yōu)閤=n,y=0.此時(shí)兩直線依然垂直.若圓x2+y2=a2的弦所在直線的方程為y=n,則經(jīng)過其中點(diǎn)的直徑所在直線的方程為x=0,伸縮變換后其方程分別變?yōu)閥=Tn,x=0.此時(shí)兩直線依然垂直.a真題鏈接賞析陂鏈接(教材第41頁習(xí)題4.3第8題)對(duì)下列曲線向著x軸進(jìn)行伸縮變換，伸縮系數(shù)k=2:(1)x24y2=16;(2)x2+寸4x+2y+1=0./2涂耐求滿足下列圖形變換的伸縮變換：由曲線x2+y2=1變成曲線%92一=1.【命題意圖】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換.【解】X=入羊Q0,設(shè)變換為，y=HyD0,x，2yf2fx2代入方程=1,得一+94922y_4=1.L與x2+y2=1比較，將其變形為9x2+Hy2=1,比較系數(shù)得x=3x,i即將圓x2+y2=1上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)變項(xiàng)=2y,為原來的2倍，可得橢圓2+=1.94,.、.1,1.直線x+4y-6=0按伸縮系數(shù)2向著x軸的伸縮變換后，直線的萬程是【答案】x+8y-6=02.直線2x3y=0按伸縮系數(shù)3向著y軸的伸縮變換后，直線的方程是【答案】2x-9y=0曲線x2+y2=4按伸縮系數(shù)2向著y軸的伸縮變換后，曲線的方程是【導(dǎo)學(xué)號(hào)：9