解線性方程組的迭代法資料

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上解線性方程組的迭代法Haha送給需要的學弟學妹摘要:因為理論的分析表明，求解病態(tài)的線性方程組是困難的，但是實際情況是否如此，需要我們來具體檢驗。系數矩陣H為Hilbert矩陣，是著名的病態(tài)問題。因而決定求解此線性方程組來驗證上述問題。詳細過程是通過用Gauss消去法、J迭代法、GS迭代法和SOR迭代法四種方法求解線性方程組。關鍵詞：病態(tài)方程組、Gauss消去法、J迭代法、GS迭代法、SOR迭代法目錄：一、問題背景介紹二、建立正確額數學模型三、求解模型的數學原理1、Gauss消去法求解原理2、Jacobi迭代法求解原理3、G-S迭代法求解原理4、SOR迭代法求解原理5、

2、Jacobi和G-S兩種迭代法收斂的充要條件四、計算過程（一）Hilbert矩陣維數n=6時1、Gauss消去法求解2、Jacobi迭代法求解3、G-S迭代法求解4、SOR迭代法求解（二）Hilbert矩陣維數n=20、50和100時1、G-S迭代法求解圖形2、SOR迭代法求解圖形五、編寫計算程序六、解釋計算結果1、Gauss消去法誤差分析2、G-S迭代法誤差分析3、SOR迭代法誤差分析G-S迭代法與SOR迭代法的誤差比較七、心得體會正文：一、問題背景介紹。理論的分析表明，求解病態(tài)的線性方程組是困難的。實際情況是否如此，會出現怎樣的現象呢？二、建立正確的數學模型?？紤]方程組的求解，其中系數矩陣

3、H為Hilbert矩陣，這是一個著名的病態(tài)問題。通過首先給定解（為方便計算，筆者取x的各個分量等于1），再計算出右端這樣的解就明確了，再用Gauss消去法、J迭代法、GS迭代法和SOR迭代法四種方法分別求解將求解結果與給定解比較，而后求出上述四種方法的誤差，得出哪種方法比較好。三、求解模型的數學原理。1、Gauss消去法求解原理對于（A非奇異）求解時，可以先將A分解成一個下三角矩陣L和一個上三角矩陣U的乘積，即，就可以通過求解出的值。接下來就具體講講如何將A分解成L和U，也就是Gauss消去法。欲把一個給定的矩陣A分解為一個下三角陣L與一個上三角陣U的乘積，最自然的做法便是通過一系列的初等變換

4、，逐步將A約化為一個上三角陣，而又能保證這些變換的乘積是一個下三角陣。這可歸結為：對于一個任意給定的向量找一個盡可能簡單的下三角陣，使經這一矩陣作用之后的第至第個分量均為零。能夠完成這一任務的最簡單的下三角陣便是如下形式的初等下三角陣：其中即這種類型的初等下三角陣稱作Gauss變換，而稱向量為Gauss向量。對于一個給定的向量我們有由此立即可知，只要取便有當然，這里我們要求而后經過多次變換可以得到從而求出上三角陣U，而后通過求得下三角陣將(1.2)和(1.3)帶入到(1.1)式中求出的值即可。2、J迭代法求解原理考慮非奇異線性代數方程組令其中那么(1.4)式和合并后可以寫成其中若給定初始向量并

5、代入(1.4)式右邊，又可得到一個向量；一次類推，有 這就是所謂的Jacobi迭代法，其中叫做Jacobi迭代法的迭代矩陣，叫做Jacobi迭代法的常數項。3、GS迭代法求解原理注意到Jacobi迭代法中各分量的計算順序是沒有關系的，先算那個分量都一樣?，F在，假設不按Jacobi迭代格式，而是在計算的第一個分量用的各個分量計算，但當計算的第二個分量時，因已經算出，用它代替，其他分量仍用。類似地，計算時，因都已算出，用它們代替其他分量仍用的分量，于是有我們稱這種迭代格式為Gauss-Seidel迭代法，簡稱為G-S迭代法。它的一個明顯的好處是在編寫程序是存儲量減少了。如果存在，G-S迭代法可以改

6、寫成我們把叫做G-S迭代法的迭代矩陣，而把叫做G-S迭代法的常數項。4、SOR迭代法求解原理我們知道，G-S迭代法的迭代格式為現在令則有這就是說，對G-S迭代法來說，可以看作在向量上加上修正項而得到的。若修正項的前面加上一個參數，便得到松弛迭代法的迭代格式用分量形式表示即為 其中叫做松弛因子。當時，相應的迭代法叫做超松弛迭代法；當時，叫做低松弛迭代法；當時，就是G-S迭代法。我們把超松弛迭代法簡稱為SOR迭代法。因為存在，所以(1.10)式可以改寫為 其中叫做松弛迭代法矩陣。而SOR迭代法收斂的充要條件是由(1.12)式知，SOR迭代法的譜半徑依賴于，當然會問：能否適當選取使收斂速度最快？這就

7、是選擇最佳松弛因子的問題。經過相關計算可知，隨著從0增加，減少，直至時，達到極小再增加時，開始增加。因此，稱為最佳松弛因子。5、Jacobi和G-S兩種迭代法收斂的充要條件Jacobi迭代法和G-S迭代法兩種迭代法有一個共同的特點，那就是新的近似解是已知近似解的線性函數，并且只與有關，即它們都可以表示成如下形式：事實上，對Jacobi迭代法，有對G-S迭代法，有故要求出上述兩個迭代法中有確定的解，且與相對誤差較小，就必須說明用上述兩種迭代法求解時收斂。下面就給出關于上述兩種迭代法收斂的證明原理解方程組的單步線性定常迭代法(1.15)收斂的充分必要條件是其迭代矩陣的譜半徑小于1，即從上述的(1.

8、16)可知，迭代序列收斂取決于迭代矩陣的譜半徑，而與初始向量的選取和常數項無關。四、計算過程。方程組的求解，其中系數矩陣H為Hilbert矩陣，（一）求解，我們暫時選擇系數矩陣H的維數，所以令x的各分量都為1,，即根據得而后我們接下來就用Gauss消去法、J迭代法、GS迭代法和SOR迭代法四種迭代法求解的解x。1、Gauss消去法求解因為所以由(1.2)式知H分解的上三角矩陣由(1.3)式求出H的下三角矩陣再通過(1.1)求出x的值所以2、Jacobi迭代法求解將系數矩陣H用(1.4)方法分解成所以由(1.5)式知 在用Jacobi迭代法求解前，我們先計算迭代矩陣B的譜半徑，B的特征值為所以

9、由(1.16)知迭代矩陣B發(fā)散，所以無法用Jacobi迭代法解x的值。3、G-S迭代法求解由(1.8)式知通過計算得迭代矩陣的特征值為所以由(1.16)式知迭代矩陣收斂。令初始值 將其代入(1.8)式中，直到得 此時即為的解。4、SOR迭代法求解根據(1.18)和(1.19)知 再代入(1.13)式，得因為為一個虛數，從而說明其最佳松弛因子不存在，故取所以，其特征值為故的譜半徑為由(1.12)知SOR迭代法收斂。令初始值 將其代入(1.10)式中，直到得 此時即為的解。（二）現在逐步增大問題的維數，因為由（一）可知，四種方法只能有Gauss消去法、G-S迭代法和SOR迭代法求解，故下面只列出這

10、三種求解方法。1、當n=20時，Gauss消去法通過計算知道，此時上三角矩陣U的第十八行全部變成0了，從而導致結果無法計算，故此方法無法求解。因為n=20時，Gauss消去法求解無法算出結果，故以下計算不用此方法了。G-S迭代法SOR迭代法2、當n=50時G-S迭代法：SOR迭代法3、當n=100時G-S迭代法：SOR迭代法：五、編寫計算程序。（一） 1、Gauss消去法求解 2、Jacobi迭代法求解 3、G-S迭代法求解部分程序在上面2（Jacobi迭代法求解）的里面 4、SOR迭代法求解部分程序在上面2（Jacobi迭代法求解）的里面 （二）Gauss消去法前面部分算法和（一）中的1（G

11、auss消去法）類似，此處就不列出了。G-S迭代法此處程序基本上（一）中的3（G-S迭代法求解）基本類似，此處就不累贅了。SOR迭代法此處程序基本上（一）中的4（SOR迭代法求解）基本類似，此處就不累贅了。六、解釋計算結果。（一）Gauss消去法誤差分析：雖然保留三位小數的情況下，此方法求出的結果和標準結果是一樣的，但是誤差還是有的，下面給出用此方法求解保留十二位小數后的結果由此結果可知，誤差是存在的，只是很小而已。G-S迭代法誤差分析：用此方法計算的結果的相對誤差：可見，此誤差在允許范圍。（二）G-S迭代法誤差分析：當n=20時當n=50時當n=100時由上述圖形可知，使用G-S迭代法求解方

12、程組時，在絕對誤差相同的情況下，即矩陣H的維數越大，求出的結果的相對誤差就越小。SOR迭代法誤差分析當n=20時當n=50時當n=100時由上述圖形可知，使用SOR迭代法求解方程組時，在絕對誤差相同的情況下，即矩陣H的維數越大，求出的結果的相對誤差就越小。兩種迭代方法雖然都能計算出結果，但是由圖可知，SOR迭代法的計算結果相對G-S迭代法計算的結果準確，但是迭代次數遠遠高于G-S迭代法（相同的絕對誤差，在系數矩陣H維數n=6時，G-S迭代法迭代次數是997次，而SOR迭代法迭代次數卻是5635次）。因此對于求解方程組，用G-S迭代法更為適合。七、心得體會通過本次課程設計，我更清楚地了解了如何使用Mathcad這個數學軟件，并且能夠靈活的運用。在做本次課程設計的過程中，又一次地認真的學習了Gauss消去法、Jacobi迭代法、G-S迭代法和SOR迭代法這四種求解線性方程組的方法，自己用更深層次的了解