第2章-自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型習(xí)題答案

1、習(xí)題Ui、U2為輸入、輸出電壓。2-1、試列寫圖2-40中各電路的微分方程，圖中(a)(b)圖2-40習(xí)題2-1用圖答：a設(shè)中間變量i1,i2,i3如以下圖，那么根據(jù)基爾霍夫電壓回路、節(jié)點電流定律，得I 2C u1I1R1dt 1CiI2t I3 R2 u2 2< C1u2-dt 3C2V I1I2 I3 4將3整理得：I3 C22 5將5帶入到2，得hdtR2C2u'2 u2 6C1即I2 GC2R22 C1U'2 7 將5、 7帶入到4及6帶入到1，整理得I 2uI1R1dt (1213) R1R2C2U 2 U2C1(CQ2R2u"2 Gu'2 C

2、2u'2 )Ri C2R2u'2 u2Ri C1R2 C 2 u 2Ri C1 u 2Ri C 2 u 2 R2C 2 u 2 u 2U1RiCi , T2R2C2, T3RQ2，那么TiT2u"2(T1 T2 T3 )u '2 u2uib設(shè)中間變量i1,i2,i3如以下圖，那么根據(jù)基爾霍夫電壓回路、節(jié)點電流定律，得f u1i1R1 Li'2 1Li '2 i 3 R2 u2 2i 3 u2dt 3Ci1 i2 i3 4將3變形得：i3Cu'2 5將5帶入到2，得Li '2R2Cu'2 u2 6u2dtR2C1i2 u2

3、LL將5、 7帶入到4及6帶入到1，整理得5 i 1R1 Li 2 (i 2 i 3) R1 R2 Cu 2 u 2(竿吐 1 u2dt Cu'2)R1R2 Cu 2 u 28對8兩邊求導(dǎo)，整理得(RQR2C)u"2(雖 R2CL1)u'2u2u'1設(shè) T1R1C，T2R2C，T3 R1L，那么有或者為T2(T1 T2)U"2 (扌11) U' 2 U2u'1( T2)T3u"2 (T2T3M2 u2T3U'l2-2、設(shè)機械系統(tǒng)如圖2-41所示，圖中c為輸入、輸出角位移角度，試列寫該機械系統(tǒng)的微分方程。提示扭力矩M與

4、角位移、彈性系數(shù)k成正比。風(fēng)阻 M與角速度'、阻尼系數(shù)f成正比。kJ1J 2rbaQ 77777c圖 2-41習(xí)題2-2用圖F ma，而旋轉(zhuǎn)運動k1解：根據(jù)牛頓第二定律：對直線運動(r a )k1 J1 ( ra)"1(ac)k2c J2( ac)"在零初始條件下，對式1、 2兩試進行拉氏變換，得:r (S)k1a(s)k1J1S2 r(s) J1S2 a(s)a(S)k2c(S)k2fS c(S) J?/ a(S) J2S2 c(S)4由式3、4得:a(S)k1kiJ1s屹 r(s)將式即:即:即:2-3a(s)k2fsJ2s2k2J2s26除以式4得:c(s)c

5、(s) r(s)JJs4J1 J2 sc(s)6(k2 J2s2)(k1J1s2)； 222(k2fs J2S )(kJp )J1J2 s(匕2 k： )sJJ 2 sJ1S3(k1 J2d4 cdtJ J 4JJ2 dt4J1 J2(t)4fjp3 (k212(k2 J1 k1 J2 )s2kzJJskik：J13d c(t)dt3(k2J1(kt J 2k? J1)k1 k22k1 J2)sk1 fs k1k2k1 fs kh c(s)r(S)kl J2)2d c(t)dt2k1 f8冒k1k2 c2d r(t)k1k2 r(t)dt2、在如圖2-42所示系統(tǒng)中，用一臺交流電動機拖動一臺直

6、流發(fā)電機,設(shè)交流電動機的角速度 為系統(tǒng)的輸入，電阻 R兩端的電壓u為輸出，直流電機的內(nèi)阻Ra、電感為La，試列寫該機械系統(tǒng)的微分方程。解：直流發(fā)電機輸出電壓Ua CeEe ，其中Ce為由直流發(fā)電機決定的電勢常數(shù),為直流發(fā)電機的定子勵磁磁通。設(shè)各支路電流如以下圖，根據(jù)基爾霍夫電壓回路定律，有Ee (t)Raia(t) U Ldt1根據(jù)基爾霍夫電流定律，有ia(t) ic(t) iR(t)2另外根據(jù)元件特性，有1U(t) iR(t)R C iC(t)dt3式得iR(t)詈du(t)L(t) C-dt4、 5式帶入到2式，得ia(t)呼C呼Rdt6式帶入1式，整理得562LC呼dt2(L RaC晉R

7、dt2-4、圖2-43為加速度測試儀，箱體內(nèi)部由 質(zhì)量塊m、彈簧k、阻尼器f、指針、刻度 表構(gòu)成，系統(tǒng)的輸入為箱體垂直方向的加速 度a，系統(tǒng)的輸出為質(zhì)量塊m上的指針相對箱體刻度表的垂直方向位移yt，試建立該系統(tǒng)的微分方程，并說明在一定條件下位移yt與加速度a成正比。解：絕對位移與相對位移的關(guān)系為1箱體內(nèi)部質(zhì)量塊m的受力關(guān)系為m學(xué)迪ky 0 dt2dt圖2-43習(xí)題2-4用圖將1式變形y yt x帶入到式2得m(d2%躺哼kyt 0考慮到ad2xdt2為系統(tǒng)的輸入，整理3式，得d2ytm-dt2當(dāng)質(zhì)量塊m很小、根據(jù)牛頓第二定律：對直線運動ma，而旋轉(zhuǎn)運動(r a)k1 J1( ra)"

8、1(ac)k2c)"在零初始條件下，對式1、 2兩試進行拉氏變換，得:f 牛 ky ma -阻尼系數(shù)f也很小時，式4近似為myt7a，這說明加速度越大，相對位移向下也越大。2-5、試畫出習(xí)題2、3系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。解：1習(xí)題2r (SKa(S)ki2 2J 1S r (s) J 1 S a (s)a(S)k2c(s)k2fS c(S)J2S2 a(S)J2S2 c(S)4由式3、 4得:a(S)kikiJ1sJ1¥ r(S)5a(S)6k2fs J2s2,、k2J2S2C(S)系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖為r(s)k1 J1s2a(s)k? J2 sc(s) k1 J1s2k2 fs

9、J2s22習(xí)題3設(shè)各支路電流如以下圖，建立如下各局部的微分方程dia(t)C Ee (t)Raia(t) U L 1dtj ia(t) ic(t) iR(t) 21J U(t) iR(t)R C ic(t)dt 3對上述各式在零初始條件下，進行拉氏變換，得r Ee (s)Rala(S)U(S)Lsla(S) 4la(s)Ic(s)Ir(s)56匚 U(s)Ir(s)R1lc(s)osC由式4得：la(s)Ee (s) U(s)以下圖中的虛線框刀Ra Ls由式5得：lc(s)la(s) Ir(s)以下圖中的虛線框8由式6得：U(s)1丄 lcS以下圖中的虛線框9sCIr(s)U(s)以下圖中的虛

10、線框10R故系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖為：(s)Ee1Ra Lasla(s) lc(s)：i1sCU(s).ZZ-rIr(s)82-6、設(shè)某系統(tǒng)用如下微分方程組描述，試畫出系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。r(t) c(t)dX1dtk2X2(t)X3 (t) k3Xi(t)Xl(t)X2 (t)kiXi(t)X3 (t)X4 (t) Tdc(t) dtc(t)k4X4(t)解：對的微分方程組在零初始條件下進行拉氏變換，得R(s) C(s)sXi(s) kiXi(s)( s ki)Xi(s)k2X2(s)X3(s) k3Xi (s)C(s)k4X4(s)Xi(s)X2(s)X3G)X4(s)TsC(s)故系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)

11、圖為：R(s)2-7、設(shè)某系統(tǒng)用如下微分方程組描述，試畫出系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。Xi(t)r(t) c(t)X2 (t)學(xué)kiXi(t) ni(t)dtX3(t)k2X2 (t)X4 (t)X3(t)k3Xi(t)k4n 2(t)T 讐 c(t)k5X4(t)dt解：對的微分方程組在零初始條件下進行拉氏變換，得Xi(s)X2(S)X3G)X4(S)TsC(s)k3Xi(s) k4N2(s) ksXgR(s) C(s)sX1(s) k1X1(s) N1(s) k2X2(s) X3(s)C(s)故系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖為：R(s)Ni(s)；N2(s)2-8、畫出如圖2-44所示系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖，并比擬玄與

12、b的結(jié)果為什么不同。C1AR2U2圖2-44習(xí)題2-8(b)解：a設(shè)通過Ri、 R2、Ci的電流為ii、i2、i3，A點的電壓為Ua，那么可直接運用元件的歐姆 定律建立關(guān)系：Ui(s) Ua(s) Ii(s)Ri1Ua(s)l3(s)卞sC1Ua(s) U2(s) l2(s)R2ll(s) l2(s) l3(s)1U2(s) l2(s) =sC2b設(shè)通過Ri、Ci及R2、C2的電流為ii、i2,隔離放大器的輸入電壓為Uoi、輸出電壓為U02，那么可直接運用元件的歐姆定律建立關(guān)系:Ui(s) U 01 (s)li(s)RiUoi(s)Uo2(S)U°2(s)U°2(S)KU

13、oi (s) Uoi(s)U2(s)12(沁l2S1sC2這樣b圖對應(yīng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖如下:比擬3與b的結(jié)果是不同，因為a考慮了負(fù)載效應(yīng)，b圖由于隔離放大器的作用, 對應(yīng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖中前后兩個R、C網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)不存在電流反應(yīng)了。2-9、利用等效變換化簡習(xí)題2-6、2-7、2-8a系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖，求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。1、將習(xí)題2-6系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖化簡為：(s)C(s)k2k4 s (kh k3)k4R(s) (T k2k4 )s 1 (k1k2 k3)k41求從R(S)到C(s)的傳遞函數(shù)，另Ni (s)N2(s) 0，將習(xí)題2-7系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖化簡為：R(s)R(s)C (s)k?k5 s (ki

14、k?k3 沐5R(s) (Tk?k5 )s 1 (kik2k3)k52求從Ni(s)到C(s)的傳遞函數(shù)，另 R(s) N?(s)0，將習(xí)題2-7系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖化簡為：去掉了為零的信號，同時把原來的負(fù)反應(yīng)極性沿信號順沿到下一個比擬點Ni(s)Ni(s)C(s)k2k5N1(S)Ni(s) 仃 k2k5 )s 1 (kik2 k3)k53求從N2(s)到C(s)的傳遞函數(shù)，另 R(s) Ni(s)0,將習(xí)題2-7化簡為:N 2 (s)C(s)N2(s)k2 k5(T k2k5 )s 1 (kik2k3)k5Ri與sC2的串聯(lián)的結(jié)果 H(s) SRC?負(fù)反應(yīng)，故:U2(s)G,s)G2(s)U,

15、(s)1 G,(s)G2(s)H(s)R(s)R1C1 R2C2s2(RiCiR2C2R1C2 )s 12-10、利用梅遜增益公式求習(xí)題2-6、2-7、2-8 a系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：1由習(xí)題2-6的系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖kk從 R(s)到 C(s)有兩條前向通道 R ( s k1)k24 ，P2k34 ，121 ；Ts 1Ts 1 28 自動控制原理及應(yīng)用有兩個閉合回路L1k4(s kjk24L2k3一。無兩個及以上不接觸回路，Ts1Ts 1故(s)C(s)P1 1 P2 2k2k4s(雖 k3)k4R(s)1 (L1 L2)(Tk2k4)s1(k1k?k3)k4從R(S)到C(S)有兩條前向(s

16、k*Tsk3，Ts 1121 ；有兩個閉合回路Li，L2Ts 1k5也越。無兩個及2由習(xí)題2-7的系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖，求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)以上不接觸回路,Li(S) RSP1 1 P2 21 (L1 L2)k2 k5s (kik2k3)k5(Tk2k5 )s 1 (k*2k3 )k5Nds)到C(s)有一條前向通道R k2也，Ts 111 ;有兩個閉合回路(s g占Ts-，L2 k3。無兩個及以上不接觸回路，特征多項式1Ts 11 (L1 L2)，故從NMs)到C(s)的傳遞函數(shù)N1(S)C(s)Ni(s)Piik2 k5(T k?k5 )s 1 (仆2 k3)k5從N2(s)到C(s)有一條前向通

17、道Pk?'， i 1 ;有兩個閉合回路Ts 1ktktLi( s ki)k2- ， L2k3。無兩個及以上不接觸回路，特征多項式Ts 1Ts 11 (L1 L2)，故從N2(s)到C(s)的傳遞函數(shù)N 2 (s)C(s)N2(s)P1 1k2k5(T k2k- )s 1 (kh k3)k-3由習(xí)題2-8a的系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖，求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)5(s)從U,s)到U 2 (s)有一條前向通道1 1R1 sCiJR2 SC211 ；有三個閉合回路L11sR C1L21sR> C2L31茹。有兩個互不接觸回路L1L2R1C1R2C2特征多項式1 (L1L2)L1L2，故從UMs)到U 2

18、(s)的傳遞函數(shù)(s)U 2 (s) R 1U,s)2R1C1 R2C2s(R1C1R2C2R1C2)s 12-11、禾U用梅遜增益公式圖2-45的傳遞函數(shù) C(s)/R(s)、C(s)/N(s)、E(s)/R(s)。R(s)解：1、對于圖：系統(tǒng)有兩個閉合回路 L,G,(s)G2(s)k, L2G,(s)G2(s)G3(s)k2。無兩個及以上不接觸回路。從N(s)到C(s)有一條前向通道 RG,(s)G2(s)G3(s)，去掉該通道無回路:1求傳遞函數(shù)C(s)/R(s)從R(s)到C(s)有一條前向通道 RG1(S)G2(S)G3(S)，去掉該通道無回路：11 ；，故(s) C(s)R(s)P

19、1 1G1(s)G2(s)G3(s)1 (L1 L2)1 G1(s)G2(s)k1 G1 (s)G2 (s)G3(s)k22求傳遞函數(shù)C(s)/N(s)1C(s)R 1G!(S)G2(S)G3 (s)N(s) 1 (L1L2)1 G1(s)G2(s)k1 G1(s)G2 (s)G3 (s)k23求傳遞函數(shù)E(s)/ R(s)從R(s)到E(s)有一條前向通道P11 ,去掉該通道仍有一個11 G(s)G2(s)，故心、E(s)R 11 G,s)G2(s)ER (s)R(s) 1 (L1 L2)1 G1(s)G2(s)k1 G1 (s)G2 (s)G3 (s)k22、對于(b)圖：1 L1。系統(tǒng)有

20、一個閉合回路 L1G2(s)G3(s)。無兩個及以上不接觸回路，特征式1求傳遞函數(shù)C(s)/R(s)從R(s)到C(s)有兩條前向通道 pG,s)，去掉P通道無回路:G2(s)，去掉F2通道無回路：2 1，故(s)C(s)R(s)P1 1P2 2G(s) G2(s)1 G2(s)G3(s)2求傳遞函數(shù)C(s)/N(s)從N(s)到C(s)有一條前向通道 p11，去掉該通道無回路:11，故(s)C(s)N(s)Pi 111 G2(s)G3(s)3求傳遞函數(shù)E(s)/ R(s)從R(s)到E(s)有一條前向通道 P1，去掉該通道沒有回路:11，故ER(s)Rf J 1 G2；)G3(s)3、對于(c)圖:系統(tǒng)有四個閉合回路 L1G,s)G3(s)、L2G2(s)G3(s)、L3 G1(s)G3(s)G4(s)、L4G2sG3sG4s。無兩個及以上不接觸回路，特征式1 L1 L2 L3 L41求傳遞函數(shù)Cs/Rs從Rs到Cs有兩條前向通道Pi GisG3s，去掉Pi通道無回路：i 1，P2G2SG3S，去掉F2通道無回路： 2 1，故(s)