動點(diǎn)軌跡問題拓展性教學(xué)設(shè)計(jì)探究-教育文檔

1、動點(diǎn)軌跡問題拓展性教學(xué)設(shè)計(jì)探究拓展性課程以培育學(xué)生的主體意識、完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)為宗旨,從教學(xué)內(nèi)容、目標(biāo)及過程中開發(fā)學(xué)生的潛能,促進(jìn)學(xué)生個性的開展,是一種表達(dá)不同根底要求、具有一定開放性的課程.近年來,在各地中考中出現(xiàn)一類求動點(diǎn)軌跡的問題,這一熱點(diǎn)問題與高中數(shù)學(xué)教學(xué)緊密銜接,故以動點(diǎn)軌跡問題為專題的拓展性課程勢在必行.由于較難確定動點(diǎn)軌跡的形狀,學(xué)生往往無從下手.通過此課程的學(xué)習(xí),能讓學(xué)生領(lǐng)會解決動?c軌跡問題的常用方法,提升學(xué)生綜合運(yùn)用圓與一次函數(shù)等知識的水平.在解決動點(diǎn)軌跡問題的過程中,滲透數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、方程等思想方法,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識和將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力,開展學(xué)生的幾何

2、直觀,鼓勵學(xué)生發(fā)表自己的想法,勇于質(zhì)疑,大膽創(chuàng)新,養(yǎng)成認(rèn)真勤奮、獨(dú)立思考、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣,形成嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度.一、點(diǎn)動成圓一等長判別法動點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離為定值.其原理為圓的定義：到一個定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡.例1如圖1,一根長為2m的木棒AB斜靠在墻角處,此時BC為1m,當(dāng)A點(diǎn)下滑至A'處并且A'C=1m時,木棒AB的中點(diǎn)P運(yùn)動的路徑長為.答案解析如圖2,連結(jié)CP,CP. ./ACB=90,BC=1rpAB=2rp ./BAC=30, P是木棒AB的中點(diǎn), .PC=PA=im ./PCA=30,同理求出/B'CP=30°,那么/PCP=30&#

3、176;, 木棒AB的中點(diǎn)P運(yùn)動的路徑長為：30360X2兀X1=兀6m.故答案為：兀6m.功能分析根底題.此題為學(xué)生之前遇到過的常規(guī)題,意在讓學(xué)生回憶動點(diǎn)軌跡是圓弧的情況,理解等長判別法的含義,理解動點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離為定值時,動點(diǎn)的軌跡是圓弧.教學(xué)建議在學(xué)生自主解答的根底上,著重引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直角三角形斜邊上的中線為斜邊的一半這個性質(zhì)得到動點(diǎn)P到定點(diǎn)C的距離為定值1,故動點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡為圓弧.練習(xí)1如圖3,在RtABC紙片中,/C=90°,AC=BC=4點(diǎn)P在AC上運(yùn)動,將紙片沿PB折疊,得到點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)DP在C點(diǎn)時,點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)是本身,那么折疊過程對應(yīng)點(diǎn)D的路徑長是.答案解析./

4、C=90°,AC=BC.ABC是等腰直角三角形.如圖4,點(diǎn)D的路徑是以點(diǎn)B為圓心,以BC的長為半徑的扇形,路徑長=90?兀?4180=2兀.故答案為：2兀.功能分析中檔題.進(jìn)一步理解動點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離為定值時,動點(diǎn)的軌跡是圓弧.培養(yǎng)學(xué)生挖掘隱含條件和潛在信息,理性分析運(yùn)動過程中所保持的不變性質(zhì)的水平.教學(xué)建議在例1的根底上解決此題,許多學(xué)生有了經(jīng)驗(yàn)方法,可以大膽放手讓其嘗試,教師只需適時點(diǎn)撥引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)動點(diǎn)D到定點(diǎn)B的距離為定值4,故動點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡為圓弧.只需要知道動點(diǎn)D的起點(diǎn)與終點(diǎn)即可求出路徑長.變式1如圖5,在平行四邊形ABC沖,/BCD=30,BC=4CD=32,M是AD邊

5、的中點(diǎn),N是AB邊上的一動點(diǎn),將AMN沿MN0f在直線翻折得到AMN連接AC,那么A'C長度的最小值是.圖5ANBDMCA>答案解析由題得動點(diǎn)A到定點(diǎn)M的距離為定值2,故動點(diǎn)A'的運(yùn)動軌跡為圓弧.作MES直CD的延長線于點(diǎn)E,由勾股定理易得：CM=7故最小值為MCA'C=7-2=5.故答案為5.功能分析拓展題.培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用動點(diǎn)軌跡的知識解決其他類型的題目,拓寬學(xué)生的思維,增強(qiáng)學(xué)生對知識點(diǎn)的運(yùn)用水平教學(xué)建議師生共同分析,教師可以讓有水平的學(xué)生多發(fā)表自己的見解,抓住時機(jī)點(diǎn)撥,表揚(yáng)他們,也可以鼓勵其他學(xué)生積極探索,查找自己的思維誤區(qū),爭取有新的突破.二等角判別法一動點(diǎn)與

6、兩定點(diǎn)所構(gòu)成的角的度數(shù)為定值.其原理為圓周角定理：同弧或等弧所對的圓周角相等.反之,假設(shè)一個動點(diǎn)P能使得以其為頂點(diǎn)的/APB大小不變,且AB為固定線段,那么點(diǎn)P就在以AB為一條弦且過點(diǎn)P的圓上運(yùn)動如圖6.例2如圖7,半徑為4的00中,CD為直徑,弦ABLCD且過半徑OD的中點(diǎn),點(diǎn)E為00上一動點(diǎn),CF,AE于點(diǎn)F.當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時針運(yùn)動到點(diǎn)D時,點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長為答案解析如圖8,聯(lián)結(jié)ACAO由AB!CD利用垂徑定理得到G為AB的中點(diǎn),由中點(diǎn)的定義確定出OG勺長,在直角三角形AOGK由AO與OG的長,利用勾股定理求出AG的長,進(jìn)而確定出AB的長,由CO+GO：出CG的長,在直角三角形AGB

7、,利用勾股定理求出AC的長,由CF垂直于AE,得到三角形ACF始終為直角三角形,點(diǎn)F的運(yùn)動軌跡為以AC為直徑的半徑,當(dāng)E位于點(diǎn)B時,CGLAE,此時F與G重合；當(dāng)E位于D時,CALAE,此時F與A重合,可得出當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時針運(yùn)動到點(diǎn)D時,點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長AG,在直角三角形AC5,利用銳角三角函數(shù)定義求出/ACG的度數(shù),進(jìn)而確定出AG所對圓心角的度數(shù),再由AC的長求出半徑,利用弧長公式即可求出AG的長,即可求出點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長為233兀.功能分析此題的解決,意在讓學(xué)生理解當(dāng)一動點(diǎn)與兩定點(diǎn)所構(gòu)成的角的度數(shù)為定值時,動點(diǎn)軌跡為圓弧.為后面的練習(xí)做鋪墊.教學(xué)建議師生共同分析,教師可以引導(dǎo)學(xué)生

8、發(fā)現(xiàn)動點(diǎn)F與定點(diǎn)A,C所構(gòu)成的角的度數(shù)為定值即/AFC=90,故動點(diǎn)F的運(yùn)動軌跡是圓弧,線段AC是直徑,因此只要知道點(diǎn)F運(yùn)動的起點(diǎn)與終點(diǎn)便可得出答案.練習(xí)2如圖9,直線y=-x+4與兩坐標(biāo)軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P為線段OA上的動點(diǎn),聯(lián)結(jié)BP,過點(diǎn)A作AM垂直于直線BP,垂足為M,當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)A時,那么點(diǎn)M運(yùn)動路徑的長為.答案解析根據(jù)直線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)可得A,B兩點(diǎn)坐標(biāo),由題意可得點(diǎn)M運(yùn)動的路徑是以AB的中點(diǎn)N為圓心,AB長的一半為半徑的OA,易得OA的長度為2兀.功能分析此題的解決,意在穩(wěn)固學(xué)生對當(dāng)一動點(diǎn)與兩定點(diǎn)所構(gòu)成的角的度數(shù)為定值時,動點(diǎn)軌跡為圓弧的理解.教學(xué)建議學(xué)生獨(dú)立完

9、成,師生共同訂正答案.教師小結(jié),等角判別法：動點(diǎn)與兩定點(diǎn)所構(gòu)成的角的度數(shù)為定值時,動點(diǎn)軌跡為圓弧.當(dāng)動點(diǎn)M與定點(diǎn)A,B所構(gòu)成的角的度數(shù)為定值即/AMB=90,動點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡是圓弧,線段AB是直徑.變式2如圖10,在邊長為4的等邊三角形ABC中,點(diǎn)D和點(diǎn)E分別是邊AB和BC上的兩個動點(diǎn),且BD=CEAE與CD相交于點(diǎn)P,那么BP長度的最小值是.答案解析由BCgACE全等可以彳4到動點(diǎn)P與定點(diǎn)A,C所構(gòu)成的角的度數(shù)為定值/APC=120,故動點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是圓弧,線段AC是弦.如圖11,易得BP=433.功能分析拓展題.培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用動點(diǎn)軌跡為圓弧的知識解決其他類型的題目,拓寬學(xué)生的思維,培養(yǎng)學(xué)生

10、對知識點(diǎn)的運(yùn)用水平.教學(xué)建議師生共同分析,教師可以先引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖中BCD與4ACE全等,再引導(dǎo)學(xué)生判別動點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡,最后讓局部學(xué)生發(fā)表自己的見解,抓住時機(jī)點(diǎn)撥,表揚(yáng)他們,也可以鼓勵其他學(xué)生積極答復(fù).設(shè)計(jì)小結(jié)確定動點(diǎn)軌跡為圓的一般方法有兩種,等長判別法和等角判別法.幾何動點(diǎn)路徑問題需要挖掘隱含條件和潛在信息,理性分析運(yùn)動過程中所保持的不變性質(zhì),在此過程可通過畫圖(起點(diǎn)、終點(diǎn)、中間關(guān)鍵點(diǎn))判斷路徑形狀和范圍,然后通過數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析驗(yàn)證及幾何建構(gòu)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.二、點(diǎn)動成線坐標(biāo)判別法：當(dāng)動點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)都能用同一個變量x(指數(shù)為1)表達(dá)時,那么動點(diǎn)軌跡為一直線.例1如圖12,在平面直角坐標(biāo)系中,A

11、(2,0),B(0,3),過點(diǎn)B作直線/x軸,點(diǎn)P(a,3)是直線上的動點(diǎn),以AP為邊在AP右側(cè)作等腰RtAAPCQ/APQ=Rf,直線AQ交y軸于點(diǎn)C.當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動時,點(diǎn)Q也隨之運(yùn)動,那么點(diǎn)Q運(yùn)動路線的函數(shù)表達(dá)式為.答案解析過點(diǎn)P作EF,OA垂足為E,過點(diǎn)Q作Q吐EF,垂足為F,如圖13.易得PEHAQFP. .PE=QFEA=PF.假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為a,3,貝UPE=QF=3EA=PF=|2-a|. 點(diǎn)Q的坐標(biāo)為a+3,5-a.;無論a為何值,點(diǎn)Q的坐標(biāo)a+3,5-a都滿足一次函數(shù)解析式y(tǒng)=-x+8, 點(diǎn)Q始終在直線y=-x+8上運(yùn)動.功能分析培養(yǎng)學(xué)生利用求出動點(diǎn)的坐標(biāo)從而得知動點(diǎn)軌跡

12、的判別方法.理解坐標(biāo)判別法：當(dāng)動點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)都能用同一個變量x指數(shù)為1表達(dá)時,那么動點(diǎn)軌跡為一直線.教學(xué)建議師生共同分析,教師可以先引導(dǎo)學(xué)生在直角坐標(biāo)系中,根據(jù)條件求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),再提示可以用K形圖來解決這個問題,然后請學(xué)生答復(fù)解題步？E.最后再引導(dǎo)學(xué)生判別動點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡為一次函數(shù)即直線,最后師生一起解出最后答案.例2如圖14,AB=10,P是線段AB上的動點(diǎn),分別以AP,PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊ACP和4PDB聯(lián)結(jié)CD設(shè)CD的中點(diǎn)為G,當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B時,那么點(diǎn)G移動路徑的長是.功能分析拓展題.加深學(xué)生對點(diǎn)動成線問題的理解.教學(xué)建議師生共同分析,教師可以先引導(dǎo)設(shè)出動點(diǎn)P與定點(diǎn)A的坐標(biāo),再引導(dǎo)學(xué)生利用K形圖解出點(diǎn)B的坐標(biāo),最后再引導(dǎo)學(xué)生判別動點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡為直線,只需要求出它的起點(diǎn)與終點(diǎn),就能求出路徑長.教師