概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章jxhd

1、 一、一、離散型隨機(jī)變量的定義離散型隨機(jī)變量的定義二、二、離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布 三、三、幾種常用分布幾種常用分布2.2 2.2 離散型隨機(jī)變量及概率分布離散型隨機(jī)變量及概率分布 一一離離散散型型vr的的定定義義 若若vr的的所所有有可可能能取取值值為為有有限限個(gè)個(gè)或或可可列列個(gè)個(gè)，我我們們稱稱這這類類隨隨機(jī)機(jī)變變量量為為離離散散型型vr。例如：例如： X：“擲擲一一顆顆骰骰子子所所出出現(xiàn)現(xiàn)的的點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)”（有有限限）；本節(jié)只討論離散型本節(jié)只討論離散型vr。Discrete type 二二. . 離散型離散型vr的概率分布的概率分布（分布律）（分布律） 由實(shí)踐知，對(duì)于不

2、同的射手，如乙射手取各個(gè)值由實(shí)踐知，對(duì)于不同的射手，如乙射手取各個(gè)值的概率由下表給出：的概率由下表給出：Probability Distribution X 0 0 1 1 2 2 P 0.6 0.3 0.10.6 0.3 0.1 定定義義 2 2- -3 3 設(shè)設(shè)X為為離離散散型型vr ，所所有有可可能能取取值值為為kx), 2 , 1(k, ,且且 kkpxXP ），（21k （2 2- -2 2）則則稱稱kp), 2 , 1(k為為X的的概概率率分分布布（分分布布律律）簡(jiǎn)簡(jiǎn)記記為為1kp。 顯顯然然概概率率分分布布1kp滿滿足足（1 1）0kp），（21k；（2 2）11kkp。Dist

3、ribution law注注 意意 點(diǎn)點(diǎn) (1)求求離散隨機(jī)變量的離散隨機(jī)變量的分布列分布列應(yīng)注意應(yīng)注意： (1) 確定隨機(jī)變量的所有可能取值確定隨機(jī)變量的所有可能取值; ; (2) 計(jì)算每個(gè)取值點(diǎn)的概率計(jì)算每個(gè)取值點(diǎn)的概率. 注注 意意 點(diǎn)點(diǎn) (2) 對(duì)對(duì)離散隨機(jī)變量的離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)分布函數(shù)應(yīng)注意應(yīng)注意： (1) F(x)是遞增的是遞增的階梯函數(shù)階梯函數(shù); ; (2) 其間斷點(diǎn)均為右連續(xù)的其間斷點(diǎn)均為右連續(xù)的; ; (3) 其間斷點(diǎn)即為其間斷點(diǎn)即為X的可能取值點(diǎn)的可能取值點(diǎn); ; (4) 其間斷點(diǎn)的其間斷點(diǎn)的跳躍高度跳躍高度是對(duì)應(yīng)的概率值是對(duì)應(yīng)的概率值.; 3/1( )kkxxF x

4、P Xxp; 2/16/13/1所以所以001/301( )1/21212xxF xP Xxxx，111( )223P XF312PX231 XP11066312P XP X110223112PXP X1322PX思思考考：？001/301( )1/21212xxF xP Xxxx，X 0 1 2P 0.4 0.4 0.2解：解：000 4010 8122, . , ( ). , 1, xxF xxx 例例2.1.2已知已知 X 的分布函數(shù)如下的分布函數(shù)如下, ,求求 X 的分布列的分布列. . 分析：分析：先看先看X的可能取值，的可能取值， 若第一次試驗(yàn)雷管發(fā)若第一次試驗(yàn)雷管發(fā)火，則火，則1

5、X； 若第一次試驗(yàn)雷管不發(fā)火，第二次試驗(yàn)若第一次試驗(yàn)雷管不發(fā)火，第二次試驗(yàn)雷管發(fā)火，則雷管發(fā)火，則2X；依次類推。；依次類推。 解：解：X的可能取值為的可能取值為 1 1，2 2，3 3。pAPXPp)(111qpAPAPAAPXPp)()()(221212 pAPXPp)(111 qpXPp22 pqAPAPAPAAAPXPp23213213)()()()(3pqAAAAPkXPpkkkk1121)(依次類推，得消耗的雷管數(shù)依次類推，得消耗的雷管數(shù)X的概率分布為的概率分布為 ），（3211kpqkXPk其其分分布布列列為為 X 1 1 2 2 3 3 k pk p pq pq2 1kpq通通

6、常常稱稱X服服從從幾幾何何分分布布。Geometric Distribution 三幾種常用分布三幾種常用分布 （0 01 1）分布）分布（兩點(diǎn)分布）（兩點(diǎn)分布） 若若X的分布列為的分布列為 X 0 10 1 pk 1 p p即即 ），（10)1 (1kppkXPkk則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為p的的( (0 01)1)分布分布, ,記為記為), 1 (pBX。 只只是是對(duì)對(duì)不不同同的的問問題題，參參數(shù)數(shù)p不不同同罷罷了了。對(duì)對(duì)只只含含兩兩個(gè)個(gè)樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)的的樣樣本本空空間間,21ee總總可可定定義義 2101)(eeeeeXX，Two-point Distribution 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布

7、 它是它是“在同樣條件下進(jìn)行重復(fù)試“在同樣條件下進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)”的一種數(shù)學(xué)模型，我們稱這種模型為貝努利概型。驗(yàn)”的一種數(shù)學(xué)模型，我們稱這種模型為貝努利概型。 以以X表表示示n重重貝貝努努利利試試驗(yàn)驗(yàn)中中事事件件A發(fā)發(fā)生生的的次次數(shù)數(shù)， 則則X是是一一隨隨機(jī)機(jī)變變量量， A出現(xiàn)出現(xiàn)k次的概率為次的概率為)(kPkXPn, ,下面求下面求)(kPn：Binomial Distribution 則則事事件件nkkAAAAA121的的概概率率為為 knkknkppppppp)1 ()1 ()1 ( 個(gè)個(gè)并且是兩兩互不相容的，并且是兩兩互不相容的，因因此此在在n次次試試驗(yàn)驗(yàn)中中A出出現(xiàn)現(xiàn) k次次的的概概率

8、率為為 )(kPn= =）（nkqpCkXPknkkn, 2 , 1 , 0（2-42-4）顯然顯然 ）（nkkPn, 2 , 1 , 00)( nknnkknkknnqpqpCkP001)()()(kPn= =）（nkqpCkXPknkkn, 2 , 1 , 0（2-42-4）由于由于knkknqpCkXP 恰好是二項(xiàng)式恰好是二項(xiàng)式nqp)(的展的展開式的第開式的第1k項(xiàng)，所以稱項(xiàng)，所以稱（2-42-4）式為二項(xiàng)概率公式，）式為二項(xiàng)概率公式，并稱隨機(jī)變量并稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為服從參數(shù)為pn、的二項(xiàng)分布，記為的二項(xiàng)分布，記為),(pnBX。易知易知），（，210010kkXPkXPk。 如如

9、電電話話交交換換臺(tái)臺(tái)在在一一分分鐘鐘內(nèi)內(nèi)收收到到的的電電話話呼呼叫叫次次數(shù)數(shù); ;放放射射性性物物質(zhì)質(zhì)在在某某段段時(shí)時(shí)間間內(nèi)內(nèi)釋釋放放的的粒粒子子數(shù)數(shù)都都服服從從泊泊松松分分布布. .Poisson Distribution 例例2 2- -3 3 某某人人進(jìn)進(jìn)行行射射擊擊, ,每每次次射射擊擊命命中中率率為為0 0. .0 01 1，今今獨(dú)獨(dú)立立射射擊擊4 40 00 0 次次, ,求求擊擊中中次次數(shù)數(shù)大大于于等等于于1 1 的的概概率率。 解：解：設(shè)設(shè)X為擊中次數(shù)，為擊中次數(shù)，則則X服從參數(shù)為服從參數(shù)為，400n01. 0p的二項(xiàng)分布，的二項(xiàng)分布，其分布律為其分布律為)400, 2 , 1

10、 , 0)99. 0()01. 0()(400400kCkXPkkk（于是所求概率為于是所求概率為111XPXP01XP982. 0)99. 0(1400 直直接接計(jì)計(jì)算算上上式式顯顯然然是是麻麻煩煩的的，下下面面給給出出一一個(gè)個(gè)當(dāng)當(dāng)n很很大大，p很很小小時(shí)時(shí)的的近近似似公公式式。 泊松泊松（PoissonPoisson）定理）定理 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量），（21nXn服從二項(xiàng)分布，其分布律為服從二項(xiàng)分布，其分布律為 ），（nkppCkXPknnknknn210)1 (其中其中np為與為與n有關(guān)的數(shù)，如果有關(guān)的數(shù)，如果)(nnpn，則有，則有 !limkekXPknn （2-52-5）在實(shí)際應(yīng)

11、用中，一般當(dāng)在實(shí)際應(yīng)用中，一般當(dāng)1 . 010npn，時(shí)上述公式就有時(shí)上述公式就有較好的近似程度。較好的近似程度。! kek的值可查附錄的值可查附錄 2 2。 例例 2-42-4（續(xù)例（續(xù)例 2-32-3）利用近似公式）利用近似公式（2-62-6）來）來計(jì)算例計(jì)算例 2-32-3 中的概率中的概率1XP。 解解: :此時(shí)此時(shí)401. 0400,01. 0,400nnnppn, ,由由（2-62-6）式知）式知!4)1 (4keppCkXPkknnknkn于于是是 40eXP982. 0114eXP或由附表或由附表 2 2 得得 982. 0!4!1141kkkkkekeXP 例例 2 2- -

12、5 5 若若有有彼彼此此獨(dú)獨(dú)立立工工作作的的同同類類設(shè)設(shè)備備 9 90 0 臺(tái)臺(tái)，每每臺(tái)臺(tái)發(fā)發(fā)生生故故障障的的概概率率為為 0 0. .0 01 1, ,現(xiàn)現(xiàn)配配備備三三名名修修理理工工，每每人人負(fù)負(fù)責(zé)責(zé)包包修修3 30 0 臺(tái)臺(tái)。求求設(shè)設(shè)備備發(fā)發(fā)生生故故障障無無人人修修理理的的概概率率；若若三三人人共共同同負(fù)負(fù)責(zé)責(zé) 9 90 0 臺(tái)臺(tái)，這這時(shí)時(shí)設(shè)設(shè)備備發(fā)發(fā)生生故故障障無無人人修修理理的的概概率率是是多多少少？ 3 . 001. 030 np，可見可見)01. 030(，BXi，由泊松定理由泊松定理0369. 0!3 . 02)(23 . 0kkiiekXPAP（查表）（查表）而而 9090 臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障無人修理的概率為臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障無人修理的概率為)(1)(321321AAAPAAAP)(1321AAAP)()()(1321APAPAP1067. 0)0369. 01 (13 若三人共同負(fù)責(zé)若三人共同負(fù)責(zé) 9090 臺(tái)，可設(shè)臺(tái)，可設(shè)X為為 9090 臺(tái)設(shè)備同時(shí)臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，則發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，則)01. 090(，BX，由泊松定理知由泊松定理知9 .