第八章 卡方分析教學(xué)版

1、第八章 2檢驗(yàn) 孫海龍內(nèi)容 一、2檢驗(yàn)概述 二、總體分布的假設(shè)檢驗(yàn) 三 、獨(dú)立性檢驗(yàn)引言推斷統(tǒng)計(jì)參數(shù)檢驗(yàn)正態(tài)分布和方差同質(zhì)非參數(shù)檢驗(yàn)對分布較少有要求，也叫用于名義/順序型數(shù)據(jù)均值檢驗(yàn)方差分析2檢驗(yàn)其他非參數(shù)檢驗(yàn)參數(shù)統(tǒng)計(jì)和非參數(shù)統(tǒng)計(jì)優(yōu)缺點(diǎn) 參數(shù)統(tǒng)計(jì)優(yōu)點(diǎn)： 對資料的分析利用充分 統(tǒng)計(jì)分析的效率高缺點(diǎn)： 對資料的要求高 適用范圍有限 非參數(shù)統(tǒng)計(jì)優(yōu)點(diǎn)：對資料的沒有特殊要求 不受分布的影響（偏態(tài)、分布不明的資料） 不受方差齊性的限制 不受變量類型的影響 不受樣本量的影響缺點(diǎn)： 檢驗(yàn)效率低（易犯型錯(cuò)誤） 對信息的利用不充分。因此在二者都可用時(shí)，總是用參數(shù)檢驗(yàn)因此在二者都可用時(shí)，總是用參數(shù)檢驗(yàn)引言 實(shí)際應(yīng)用

2、情況：調(diào)查、問卷、訪談等方法中，按性質(zhì)劃分類別，然后將結(jié)果按類計(jì)點(diǎn)人數(shù)或個(gè)數(shù)，得到計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)。 類別變量（1）只能劃分為類別，如性別、民族；（2）人為劃分類別，如學(xué)習(xí)成績（連續(xù)數(shù)據(jù)）分成優(yōu)、良、中、差。 這些計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)不能使用前幾章所講的統(tǒng)計(jì)方法，需要用到計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)專用的統(tǒng)計(jì)方法，這些分析方法主要是根據(jù)2（卡方）分布進(jìn)行的，故稱為卡方檢驗(yàn)。這類數(shù)據(jù)大都以表格形式表示，所以又稱列聯(lián)表分析。一、2檢驗(yàn)概述1.單變量的卡方檢驗(yàn)：同時(shí)檢驗(yàn)一個(gè)因素兩項(xiàng)或多項(xiàng)分類的實(shí)際觀察數(shù)與某理論次數(shù)分布是否相一致的問題，或說有無顯著差異的問題。這種檢驗(yàn)又稱為擬合度檢驗(yàn)。理論次數(shù)是指根據(jù)概率原理、某種理論、某種理論次數(shù)分布或

3、經(jīng)驗(yàn)次數(shù)分布所計(jì)算出來的次數(shù)。3獨(dú)立類別的卡方檢驗(yàn)：用于檢驗(yàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上因素（變量）各有多項(xiàng)分類之間是否有關(guān)聯(lián)或是否具有獨(dú)立性的問題。如不同性別的人在態(tài)度上是否有差異。這類檢驗(yàn)又稱獨(dú)立性檢驗(yàn)。一、2檢驗(yàn)概述卡方檢驗(yàn)的基本公式實(shí)際觀察次數(shù)與某理論次數(shù)之差的平方再除以理論次數(shù)，即 f0：觀察次數(shù) f e ：期望次數(shù)其中，f e 期望次數(shù)越大（大于5），分布越接近卡方分布。 keefff20一、2檢驗(yàn)概述 指用樣本數(shù)據(jù)檢驗(yàn)總體分布的形狀或比率，以確定與假設(shè)的總體性質(zhì)的匹配度，是對次數(shù)分布的檢驗(yàn)。（一）研究情境主要用于實(shí)際觀察次數(shù)(f0）與某理論次數(shù)（fe）是否有差別的分析。例如，在醫(yī)生職業(yè)中，男的

4、多還是女的多？在三種咖啡中，哪種被國人最喜歡？在北京大學(xué)中，各國留學(xué)生的比例有代表性嗎？二、總體分布的擬合檢驗(yàn)（一）定義（二）統(tǒng)計(jì)假設(shè)及相關(guān)計(jì)算 H0: f0 = fe H1: f0 fe 運(yùn)用基本公式計(jì)算出卡方值查表，比較其與臨界卡方值的大小，如果注意注意：卡方值分布全部為正值，但f0-f e可能是負(fù)值，因此，卡方檢驗(yàn)是雙側(cè)檢驗(yàn)，0.05和0.01是指雙側(cè)概率而言。擬合度檢驗(yàn)需要先計(jì)算理論次數(shù)，這是計(jì)算卡方值的關(guān)鍵性步驟。（一般根據(jù)某種理論或經(jīng)驗(yàn)）二、總體分布的擬合檢驗(yàn)實(shí)際觀察次數(shù)與某理論次數(shù)之差的平方再除以理論次數(shù)，即 f0：觀察次數(shù) f e ：期望次數(shù)其中，f e 期望次數(shù)（大于5）。

5、keefff20二、總體分布的擬合檢驗(yàn)（三）擬合檢驗(yàn)公式例1 某項(xiàng)民意測驗(yàn)，答案有同意、不置可否和不同意三種，調(diào)查結(jié)果如下表：同意不置可否不同意Nfi24121248問：三種意見的人數(shù)是否有顯著不同？有顯著差異。即此項(xiàng)民意測驗(yàn)的態(tài)度所以，推翻原假設(shè)，）（查表理論次數(shù)所以各類別概率皆為分類數(shù)是各分類的概率相等該題為檢驗(yàn)無差假設(shè)解 ,02. 0p , 99. 52 , 213df, 6161612161612161624,163148e , 1/3, 3,:H ,:205. 02205. 02222i0二、總體分布的擬合檢驗(yàn)例2 某班學(xué)生50人,體檢結(jié)果按一定標(biāo)準(zhǔn)劃分為甲、乙、丙三類，各類人數(shù)分別

6、為：甲類16人，乙類24人，丙類10人，問該班學(xué)生的身體狀況是否符合正態(tài)分布？正態(tài)分布。不符合，該班學(xué)生的身體狀態(tài)推翻，查表，各類別的理論次數(shù)為：。曲線下的面積應(yīng)為：之間，丙類：為：之間，曲線下的面積應(yīng)乙類：，曲線下的面積應(yīng)為：之間，甲類：為故各類人數(shù)應(yīng)占的比例。應(yīng)該相同，即且各類別所占的橫坐標(biāo)全體數(shù)據(jù)，包括了在正態(tài)分布中可以認(rèn)為算。理論次數(shù)按正態(tài)分布計(jì)合正態(tài)分布該班學(xué)生的身體狀況符解丙乙甲02005. 022005. 031i222i2ii20H ,005. 0p , 6 .10 , 21-3df,44.1188103434248816ee-f 8500.1587e 34,500.6826e

7、 8,500.1587e0.15870.3413-0.50 -3-1- 6826. 023413. 0 11 1587. 03413. 050. 0 13 236 3 :H :例3 下表所列資料是552名中學(xué)生的身高次數(shù)分布，問這些學(xué)生的身高分布是否符合正態(tài)分布。身高分組組中值 Xc實(shí)際次數(shù)fiXc-X=xZ=x/S查正態(tài)分布表求yPi=y(組距) Sei=yN169-166-163-160-157-154-151-148-145-142-139-17016716416115815515214914614314027225711012411280258415.3812.389.386.383.

8、380.38-2.62-5.62-8.62-11.62-14.623.032.441.851.260.670.07-0.52-1.11-1.70-2.29-2.880.00400.00200.07200.18400.31870.39790.34840.21540.09400.02890.00670.002370.012010.042600.108880.188580.235440.206150.127460.055620.017100.003961724601041301147031920.1250.1670.1500.4710.2770.0351.4291.1610.090N=552, X=

9、154.62, S=5.072=3.905iiieef2ccciiiii29ii2i 1i:(1) XXx, xX -X;X -Xx(2) Z;SS(3) Zy(4) py;S(5) epN5 9f -e3.905,e解 計(jì)算理論次數(shù)的步驟求各組組中值與平均數(shù) 的離差即求各離差的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)根據(jù)各 分?jǐn)?shù)查正態(tài)分布表求相應(yīng)的值；組距求 各分組的概率求各組的理論次數(shù)由于第一組和最后一組的理論次數(shù)， 所以第一、二組合并，最后一組和前一組合并，總組數(shù)為 。20.05220.05 df9-36 (6)12.6, p0.05, 552在計(jì)算理論次數(shù)的過程中共用到平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差和總數(shù)三個(gè)統(tǒng)計(jì)量，故本題的自由度為

10、 ，查卡方分布表，故差異不顯著，即名中學(xué)生的身高分布符合正態(tài)分布。二、總體分布的擬合檢驗(yàn)三、獨(dú)立性檢驗(yàn) 主要用于兩個(gè)或兩個(gè)以上因素多項(xiàng)分類的計(jì)數(shù)資料分析。如果要研究的兩個(gè)自變量之間是否具有獨(dú)立性或有無關(guān)聯(lián)或有無“交互作用”的存在，就要應(yīng)用卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)。 如果兩個(gè)子變量是獨(dú)立的，無關(guān)聯(lián)的，就意味著對其中一個(gè)自變量來說，另一個(gè)自變量的多項(xiàng)分類次數(shù)上的變化是在取樣誤差的范圍之內(nèi)。假如兩個(gè)因素是非獨(dú)立，則稱兩變量有交互作用。（一）適用材料虛無假設(shè):兩變量（或多變量）之間是獨(dú)立的或無關(guān)聯(lián)的備擇假設(shè)：兩變量之間有關(guān)聯(lián)或差異顯著，一般用文字?jǐn)⑹?，不用統(tǒng)計(jì)符號。例4：某學(xué)校對學(xué)生的課外活動內(nèi)容進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果

11、整理成下表： 三、獨(dú)立性檢驗(yàn)（二）統(tǒng)計(jì)假設(shè) 虛無假設(shè)：體重自我知覺與性別無關(guān)自我知覺總和過輕過重女性419（786.78）1995 （1627.22）2414男性959 （591.22）855 （1222.78）1814總和137828504228（二）統(tǒng)計(jì)假設(shè)三、獨(dú)立性檢驗(yàn)計(jì)算自我知覺過輕過重女性（419-786.78）2/786.78=171.92（ 1995 -1627.22） 2 /1672.22=83.12男性228.78110.622 2 (1)=594.44 df=1 a= 0.05 臨界值臨界值3.84 因素Y因 素 X分類1分類2分類1aba+b分類2cdc+da+cb+dn

12、 1222dbcadcbabcadn（三） 22 列聯(lián)表 檢驗(yàn) 三、獨(dú)立性檢驗(yàn)2 觀察頻數(shù)觀察頻數(shù)a a對應(yīng)的理論頻數(shù)為：對應(yīng)的理論頻數(shù)為： 式中TRC為第R（row）行、第C（column）列的理論頻數(shù),nR為相應(yīng)行的合計(jì)，nc為相應(yīng)列的合計(jì)，n為總例數(shù).ncabaBAnPT)()(1111nnnTCRRC.三、獨(dú)立性檢驗(yàn)（三） 22 列聯(lián)表 檢驗(yàn) 2 檢驗(yàn)的自由度取決于可以自由取值的格子數(shù)目，而不是樣本含量n。四格表資料只有兩行兩列，自由度(df)=1，即在周邊合計(jì)數(shù)固定的情況下，4個(gè)基本數(shù)據(jù)當(dāng)中只有一個(gè)可以自由取值. 自由度=(行數(shù)-1)(列數(shù)-1) 自由度自由度三、獨(dú)立性檢驗(yàn)（三） 2

13、2 列聯(lián)表 檢驗(yàn) 2（三） 22 列聯(lián)表 檢驗(yàn) 1 、 當(dāng)n40, Tij 5的條件下 可用下列簡化公式21f ,)(22ddbcadcbabcadn三、獨(dú)立性檢驗(yàn) 例例5 工農(nóng)業(yè)高血壓患病率的比較(50歲以上男性)，首鋼調(diào)查50-59歲男性工人1281人、高血壓患者386人，患病率為30.13%。石景山區(qū)農(nóng)民387人，血壓血患者65人，患病率為16.80%，從事工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的男性患病率有無差別。（三） 22 列聯(lián)表 檢驗(yàn) 三、獨(dú)立性檢驗(yàn)2患病未患病小計(jì)工人3868951281農(nóng)民65322387小計(jì)45112171668解： 建立檢驗(yàn)假設(shè) H0：1 =2 (工人與農(nóng)民的總體患病率相同) =0.

14、05 估計(jì)總體某現(xiàn)象的發(fā)生或存在的概率，假定高血壓的發(fā)生和這兩種工種眾彼此獨(dú)立無關(guān)，因此，這兩組資料是一總體中的兩個(gè)隨機(jī)樣本，估計(jì) 總體患病率= 451/1668 =0.2704 未患率= 1217/1668=0.7296三、獨(dú)立性檢驗(yàn)（三） 22 列聯(lián)表 檢驗(yàn) 2 50-59 歲男性工人與農(nóng)民高血壓患病比較歲男性工人與農(nóng)民高血壓患病比較患高血壓人數(shù)患高血壓人數(shù) 合 計(jì)觀察數(shù)理論數(shù)觀察數(shù)理論數(shù)首鋼工人386346.4895934.61281石景山區(qū)農(nóng)民65104.6322282.4387合計(jì)451451121712171668（三） 22 列聯(lián)表 檢驗(yàn) 三、獨(dú)立性檢驗(yàn)2 計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 2 值

15、 查 2 分布界值表，作出統(tǒng)計(jì)結(jié)論。 df = (r-1)(c-1)=1； 故按 p0.01 水平拒絕Ho 接受H1 。 結(jié)合具體問題作出專業(yè)結(jié)論：不同職業(yè)的高血壓患病率極顯著意義，工人的高血壓患病率顯著高于農(nóng)民。26.7505.55314.9921.6784.5274 .2824 .2823226 .1046 .104656 .9346 .9348954 .3464 .34638622222 843 21050 6.63 21010（三）（三） 22 列聯(lián)表列聯(lián)表 檢驗(yàn)檢驗(yàn) 三、獨(dú)立性檢驗(yàn)（三） 22 列聯(lián)表 檢驗(yàn) 2應(yīng)用簡化公式計(jì)算:75.2612174513871281)65895322386(1668)(222dbcadcbabcadn（三） 22 列聯(lián)表 檢驗(yàn) 三、獨(dú)立性檢驗(yàn)2 2 n 40, 但有但有1 Tij 5時(shí)，時(shí)，需對上述公式進(jìn)行校正。需對上述公式進(jìn)行校正。dbcadcbanbcadn25 . 02（三） 22 列聯(lián)表 檢驗(yàn) 三、獨(dú)立性檢驗(yàn)2(四） 與 r系數(shù)(phi coeffi