高一數(shù)學(xué)函數(shù)經(jīng)典題目及答案

1、1函數(shù)解析式的特殊求法例1f(x)是一次函數(shù),且ff(x)=4x1,求f(x)的解析式.例2假設(shè)fQ又+1)=x+2«,求f(x).例3f(6+1)=x+2jx,求f(x+1)例4：函數(shù)y=x2+x與y=g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-2,3)對稱,求g(x)的解析式例5f(x)滿足2f(x)+f(1)=3x,求f(x)x2函數(shù)值域的特殊求法2例1,求函數(shù)V=x-2x5,x=-1,2的值域.1 xx2,一,一,y=；2-例2,求函數(shù)1+x的值域.例3求函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的值域ex-1y二例4,求函數(shù)ex+1的值域.例1以下各組中的兩個(gè)函數(shù)是否為相同的函數(shù)(x3)(x-5) y1二

2、y2=x-5x3 y=.x1.x-1y2-：/(x1)(x-1) f(x)=(.2x-5)2f2(x)=2x-52假設(shè)函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(0,-1),那么f(x+4)的反函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(A)(4,-1)(B)(-1,-4)(C)(-4,-1)(D)(1,-4)例3函數(shù)f(x)對任意的a、bwR滿足：f(a+b)=f(a)+f(b)_6,當(dāng)a>01,f(a)<6;f(-2)=12.(1)求：f(2)的值；(2)求證：f(x)是R上的減函數(shù)；(3)假設(shè)f(k-2)<f(2k)-3,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.例4A=(x,y)|x=n,y=an+b,nwZ),B=(x,y)|x=m,

3、y=3m2+15,mwZ,C=(x,y)|x2+y2W14,問是否存在實(shí)數(shù)a,b,使得(1) AplB#.,(2)(a,b)wC同時(shí)成立.證實(shí)題1 .二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c對于x1、xzWR,且x1<x2時(shí)1f(x1)#f(x2),求證：萬程"刈="七)十"*2)有不等實(shí)根,且必有一根屬于區(qū)間x1,x2)2答案1解：設(shè)f(x)=kx+b貝k(kx+b)+b=4xk2=4(k1)b一rk=2二1或db=3一一1.、.f(x)=2x或f(x)=-2x+132換元法：復(fù)合函數(shù)fg(x)的表達(dá)式時(shí),還可以用換元法求f(x)的解析式.與配湊法一樣,要注意所

4、換元的定義域的變化.解法一(換元法)：令t=4+1那么x=t21,t>1代入原式有f(t)=(t-1)22(t1)=t2-1.f(x)=x2-1(x>1)解法二(定義法)：x+2=h/x+1)2-1f(Jx+1)=(6+1)2-1Vx+1>12,.f(x)=x-1(x>1)4代入法：求函數(shù)關(guān)于某點(diǎn)或者某條直線的對稱函數(shù)時(shí),一般用代入法.xx二-2解：設(shè)區(qū)丫)為丫=9(刈上任一點(diǎn),且M,(x：y)為M(x,y)關(guān)于點(diǎn)(-2的對稱點(diǎn)x=-x-4y'=6-y丁點(diǎn)m(x：y)在y=g(x)上2,y=xxx=-x-4=把H=6-v代入得：整理得y=-X2-7x-62rcg

5、(x)=-x-7x-6例5構(gòu)造方程組法：假設(shè)的函數(shù)關(guān)系較為抽象簡約,那么可以對變量進(jìn)行置換,設(shè)法構(gòu)造方程組,通過解方程組求得函數(shù)解析式.,2f(x)+f(1)=3x,x將中x換成1得2f(1)+f(x)=3,xxxX2-得3f(x)=6x-3f(x)=2x-xx值域求法2例i解：將函數(shù)配方得：y=(x1)+4xq-1,2由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=1時(shí),y而=4,當(dāng)x=1時(shí),ye=8故函數(shù)的值或是：4,82.判別式法J2.解：原函數(shù)化為關(guān)于x的一元二次方程2(y-1)x(y-1)x=0(i)當(dāng)y#1時(shí),xwr=()2_4(y-1)(y-1),013y<解得：22當(dāng)y=1時(shí),x=0,而2萬

6、故函數(shù)的值域?yàn)?萬當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時(shí),那么其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域.例3求函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的值域.點(diǎn)撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù),再求出其定義域.解：顯然函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的反函數(shù)為:x=(12y)/(y1),其定義域?yàn)閥w1的實(shí)數(shù),故函數(shù)y的值域?yàn)閥Iyw1,yCR.點(diǎn)評：利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù).這種方法表達(dá)逆向思維的思想,是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一.練習(xí)：求函數(shù)y=(10x+10-x)/(10x10-x)的值域.(答案：函數(shù)的值域?yàn)閥Iy<1或y>15.函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時(shí),可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性

7、,反客為主來確定函數(shù)的值域.ex-1xye例4.求函數(shù)ex+1的值域.解：由原函數(shù)式可得：/ex0y10/.y-1解得:-1：*1故所求函數(shù)的伯域?yàn)?-1,1)例1(定義域不同)(定義域不同)(定義域、值域都不同)例3解：(1)f(a+b)=f(a)+f(b)6,令a=b=0,得f(0)=6令a=2,b=-2,得f(2)=0證實(shí)：設(shè)x1,x2是R上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且x1<x2,即x2-x1A0,從而有f(x2-x1)<6,那么f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)x1-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-6-f(x1)=f(X2Xi)6<0f(X2)<f(Xi)即

8、f(x)是R上的減函數(shù)(3) 2十13)=£(2)十£(13)6,令2=1,13=1,得f(1)=3f(k-2)<f(2k)-3f(k-2)+3<f(2k),又f(i)=3,f(2)=0即有f(k-2)f(i)；f(2k)f(2) .f(k-2)f(1)-6:二f(2k)f(2)-6 f(k-2)1:二f(2k)2又f(x)是R上的減函數(shù)(k2)十1A(2k)+2即k<-3(A)實(shí)數(shù)k的取值范圍是k<-3例4分析：假設(shè)存在a,b使得(1)成立,得到a與b的關(guān)系后與x2+y2021聯(lián)立,然后討論聯(lián)立的不等式組.解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,b,使得AplB=0,

9、(a,b)eC同時(shí)成立,那么集合A=(x,y)|x=n,y=an+b,nWZ)與集合B=(x,y)*m守23m1小分別對應(yīng)集合2A=(x,y)|y=ax+b,xwZ)與B=(x,y)|y=3x+15,x=Z,A與B對應(yīng)的直線y=ax+b與拋物線產(chǎn)c一v=ax+b.,一一、一cy=3x+15至少有一個(gè)公共點(diǎn),所以方程組?有斛,即方程3x+15=ax+b必有解.y=3x215因止匕=a212(15b)?0n-a2<12b-180,又a2+b2W14由相加,b2得012b36,即(b6)200.b=6.將b=6代入得a2>108,再將b=6代入得a20108,因止匕a=±6,3

10、,將a=給打,b=6代入方程3x2+15=ax+b得3x2±6s/3x+9=0,解得x=_、,3z.所以不存在實(shí)數(shù)a,b,使得(1),(2)同時(shí)成立.證實(shí)題111解：設(shè)F(x)=f(x)-不打+,1 -那么萬程f(x)=f(x)+f(x2)2與方程F(x)=0等價(jià)1一一1一一F(Xi)=f(xi)-f(Xi)+f=-f(%)f(X2)221 1F(X2)=f(X2)f(X1)+f(X2)=f(X1)+f(X2)2 2一,、一,、1一一2一一一F(X.F(X2)=f(X1)-f(x2),又f(X1)¥f(X2)4F(X.F(X2)<0故方程必有一根在區(qū)間(X1,X2)內(nèi).由于拋物線y=F(X)在X軸上、下方均有分布,所以此拋物線與X軸相交于兩個(gè)不同的交點(diǎn),即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根,從而方程有兩個(gè)不等的實(shí)根,且必有一根屬于區(qū)間(X1,X2).1點(diǎn)評：此題由于萬程是f(X)=-f