第二章射影映射

1、第二章 射影映射本章將闡明一維射影變換、射影映射和二維射影變換的幾何意義；研究它們各有哪些類型；并對其中比較重要的幾種特殊類型進(jìn)行較深入的討論。1透視透視是一個很簡單但又最基本的射影映射。一般非透視的射影變換、射影映射可以用透視來表示。定義 如果一個點列與一個線束的元素之間建立了一一對應(yīng)且對應(yīng)元素是結(jié)合的,則這個對應(yīng)叫做透視對應(yīng),點列與線束叫做透視的,或配景。圖2.1記成定義 點和的對應(yīng)點的連線交于一點s,也就是這兩個點列與同一線束s成透視,則這兩個點列叫做透視點列,點s叫做透視中心，記作或圖2.2對偶定義：圖2.1線束s和s的對應(yīng)直線的交點在一直線上,也就是這兩個線束與同一點列透視,則這兩個

2、線束叫做透視線束。直線叫做透視軸。記作或圖2.3.圖2.3圖2.2兩個點列射影的,記作；兩個線束射影的,記作看圖2.2,如果是線束s的四條直線,分別與和交于a,b,c,d和a,b,c, d,則有R(a,b；c,d)=R()=R(a,b；c,d)所以透視對應(yīng)保持交比不變,又因透視是一一對應(yīng),所以透視是射影對應(yīng)(斯丹納定義)。顯然,透視對應(yīng)把點映射為自身。定理1 直線到的透視是射影對應(yīng),它把公共點映射為自身。反過來,又有定理2 直線到的一個射影對應(yīng),如果把公共點映射為自身,那么這個射影對應(yīng)是透視。(圖2.4)證明：設(shè)到的射影對應(yīng)由三對對應(yīng)點唯一確定：且令記作。與有三對點相同，是透視。圖2.4定理1

3、和定理2的對偶定理請讀者自行敘述。由上述定理,得結(jié)論：定理3 兩個射影點列(線束)成透視的充要條件是它們的公共點(直線)自身對應(yīng)。定理4如果那么定理5 兩條不同的直線之間的非透視的射影對應(yīng),是兩個透視變換的積,證明：設(shè)是直線到的射影對應(yīng), (圖2.5)但不是透視, (其中三對對應(yīng)點中沒有任何一點是),在直線aa上任取二點s和s,作點(sb)(s b)b0,(sc)(sc)c0,再作直線0b0c0, 0(aa)a0,于是有圖2.5推論：一直線到它自身上的射影變換,可分解為不多于三次透視的乘積。例1 設(shè)直線和上各有三個不相同的點x,y,z和x,y,z,這些點都與不同,那么三點：a=(yz)(yz)

4、,b=(zx)(zx),c=(xy)(xy)共線(pappus定理)證明 如圖2.6置=, u=(xz)(xy) v=(yz)(xz),。我們有可是y是點列(x,c,u,y)和點列(v,a,z,y)的公共點,而且自身對應(yīng),所以圖2.6 就是說三直線xv,ca,uz共點(透視中心),就是xz,ca,xz相交于一點(xz)(xz)=b所以a,b,c共線例2 設(shè)a,b,c是三點形的頂點,d,d；e,e；f, f依次是各邊bc,ca,ab上兩個頂點的調(diào)和共軛點,求證：ef,ef,bc共點；fd,fd,ca共點；de,de,ab共點。(圖(2.7)證明 因為R(b,c；d,d)=R(a,c；e,e)=-

5、1圖2.7所以 點列(b,c,d,d) 點列(a,c,e,e),c是公共點而且自對應(yīng),所以(b,c,d,d)(a,c,e,e)所以三直線：de,de,ab共點。其余部分用同樣的方法證明。例3 已知簡單n點形的頂點a1,a2,an分別沿著通過不動點s的直線1, 2, n滑動；而邊a1a2,a2a3,an-1an順次通過已知點x1,x2,xn-1,求證：邊ana1必定通過某個不動點。證明 簡單n點形的頂點ai在直線i上滑動時,就畫出了點列，這些點列記作i(ai),i=1,2,n。(圖2.8所示)。按假設(shè)我們有圖2.8圖2.8又由于上面所說的每一對透視點列的公共點S是自身對應(yīng)的,因而射影點列a1(a

6、1)和an(an)的公共點s也是自身對應(yīng),所以連結(jié)這兩個透視點列對應(yīng)點的直線,必定通過一個定點x(透視中心)。例4 設(shè)三角形ABC的邊BC、CA、AB繞同一直線上三點P、Q、R旋轉(zhuǎn)，頂點B、C在兩條定直線上。求證：頂點A也在一定直線上。（如圖2.9）證明：由圖，其中PR過QPR是自對應(yīng)元素圖2.9對應(yīng)直線交點共線，即共線。2 完全四點形的調(diào)和性質(zhì)本節(jié)將討論完全四點形(四線形)的調(diào)和性質(zhì)。簡單四點形：由四個點A,B,C,D(其中無任何三點共線)及它們順次兩兩的連線AB,BC,CD,DA所組成的平面圖形叫做簡單四點形。A,B,C,D叫做頂點,AB,BC,CD,DA叫做邊,不順次的頂點的連線AC,B

7、D叫做對角線。(圖2.10)圖2.10完全四點形：由四個點a,b,c,d(其中無任何三點共線)及連結(jié)其中任何兩點的六條直線組成的平面圖形叫做完全四點形。這四個點叫做頂點,六條直線叫做邊,通過同一個頂點的邊叫鄰邊,沒有公共頂點的兩邊叫做對邊,對邊的交點叫對角線點,連結(jié)對角線點的直線叫對角線,以對角線點為頂點的三點形叫對角線三點形(圖2.11)。圖2.11三對對邊：ab,與cd,ac與bd,bc與ad三條對角線：lm,mn,1n。對角線三點形為1mn。下面我們討論完全四點形的調(diào)和性質(zhì)。設(shè)，我們考察直線上四個點m,n,f和g的交比,因為(m,n,f,g)所以(m,n,f,g)R(m,n；f.g)=

8、R(n,m；f，g)= 這里R(m,n；f.g)0,(否則,fg,則a,b,c,d共線,與完全四點形定義矛盾。)因此,由上式得R(m,n；f,g)=1但R(m,n；f,g)1,(否則fg,也導(dǎo)致a,b,c,d共線。)所以,R(m,n；f, g)=-1。就是說,m,n,f,g組成調(diào)和點集,這一性質(zhì)可以寫成下面定理。定理6 在完全四點形的每一條對角線上有一個調(diào)和點集,它包括兩個對角線點m、n,和這條對角線與通過第三個對角線點l的一對對邊的兩個交點f,g。推論1 在完全四點形的每條邊上有一個調(diào)和點集。它包括兩個頂點,一個對角線點,和這條邊與通過另兩個對角線點的對角線的交點。推論2 完全四點形的兩條對

9、邊被通過這兩邊交點的兩條對角線調(diào)和分隔。圖2.12利用完全四點形的調(diào)和性質(zhì)可以作直線上三個已知點的第四調(diào)和點。整個作圖只用一根直尺完成。例1 已知平面上兩條不同的直線和,以及不屬于也不屬于的一個點f,由于某種原因與的交點不能到達(dá),試從點f引一條直線通過與的交點。作法：通過f任作一條直線,=k,=l,在上作k,1,f的第四調(diào)和點g,再過g任作一直線,連結(jié)fb,fb就是所求的直線(圖2.12)圖2.13例2 證明：梯形兩對角線的交點與兩腰延長線的交點的連線必過兩底的中點。證明 如圖2.13。AB|CD。M、N分別是直線EF與AB、CD的交點?？紤]完全四點形DECF的對角線AB及邊DC：R(A,B；

10、M,p)=-1M是AB的中點R(D,C；N,P)=-1N是CD的中點。3 直線(線束)到它自身的射影變換直線到它自身的射影變換中,自對應(yīng)的點(直線)稱為二重點(二重直線),或固定點(固定直線)。因為直線(線束)上的射影變換由按指定順序的三對對應(yīng)元素唯一確定,所以當(dāng)這個變換有三個二重點(直線)時,它的每一個點(直線)都是二重點(直線),那么這個變換是恒等變換。由此可知,一維射影空間的射影變換如果不是恒等變換,那么它可能有二個二重元素,一個二重元素,或者不沒有二重元素。分別稱它為雙曲型的,拋物型的或橢圓型的射影變換。設(shè)到自身的射影變換 或 下面我們用非齊次坐標(biāo)的方程來討論。如果點x()是二重點,則

11、,則有有兩個實二重點 雙曲型射影變換有一個實二重點 拋物型射影變換沒有實二重點 橢圓型射影變換對于雙曲型射影變換有下面性質(zhì)定理7 在直線到它自身上的雙曲型射影變換下,每對對應(yīng)點與兩個二重點組成的交比是常數(shù)。證明 設(shè)m,n是直線到它自身的雙曲型射影變換的兩個二重點,x和y是上不同于m,n的兩個點,x和y的對應(yīng)點分別是x和y,則R(x,y；m,n)=R(x,y；m,n)即故即 R(x,x；m,n)=R(y,y；m,n)=常數(shù)k(常數(shù)k稱為特征不變量)例 求直線到它自身射影變換的自對應(yīng)點，并判斷其類型 解：用非齊次坐標(biāo)表示射影變換式，得令 自對應(yīng)點的方程為： 或自對應(yīng)點齊次坐標(biāo)為（1，1），（5，2

12、）射影變換為雙曲型的。4對合對應(yīng)這一節(jié)討論直線到它自身上的射影變換的一種特殊情形如果是直線到自身的射影變換,x是的任一點,它的對應(yīng)點是x(xx),那么可能出現(xiàn)兩種情況：xx或者xx。如果xx,則I, 就是恒等變換：如果xx,那么I。在后一種情況下x”,一般說x” x,但是也有可能x”x。如果x”x,就有x”= （x）=（x）= =x，于是2I。這時I,而2I,這樣的直線到自身的射影變換叫做對合。定義直線到它自身的射影變換,如果不是恒等變換,而它的平方是恒等變換,那么射影變換稱為直線上的對合。因2=I就有-1,所以,如果直線到它自身上的射影變換I,而=-1,那么就是上的對合。定理8直線到自身上的

13、射影變換： , 是對合的充要條件是a11+a22=0證明 直線到它自身的射影變換的方程是： 2的系數(shù)矩陣是：如果這個矩陣是恒等變換的矩陣,那么假如a11+a22O,則a12=a21=0,且a11=a22,從而=I,因此, 若是對合,則必須a11+a22=0反之,如果a11+a22=0,則2=I,且I,所以是對合。直線上的對合常寫成下列形式 其非齊次形式為 也可寫成雙線性方程 , 直線上的對合可按二重點的個數(shù)進(jìn)行分類,（1）當(dāng)，有兩個二重點,稱為雙曲型對合,（2）當(dāng)0, 沒有二重點,稱為橢圓型對合,定理9 直線上沒有拋物型對合。定理10 雙曲型對合的兩個二重點調(diào)和分隔每一對對應(yīng)點。證明 設(shè)m,n

14、是雙曲型對合的兩個固定點,x是這個對合中任意一點,且x不是二重點，推論,直線上的雙曲型對合由兩個二重點唯一決定。如果是上的一個對合,對于上的任何一個點a,必然有a= a,且=a,即所有對應(yīng)點彼此對應(yīng)。反過來,若在下所有的對應(yīng)點對是彼此對應(yīng)的,那么便是一個對合,但實際上,只要有一對不同的對應(yīng)點彼此對應(yīng),那么必定是對合。定理11 如果是到它自身的射影變換,而且a= a, a=，那么必定是對合。證明 因為使a和a彼此對應(yīng), ,所以I。設(shè)b是上任意一點,那么把a,a,b,b變?yōu)閍,a,b, 。這表明2=I。定理12 直線上的對合由兩對對應(yīng)點唯一決定。證明 設(shè)兩對對應(yīng)點x,y,u,v中至少有一對不是二重

15、點,(例如x,y),這時上存在唯一的射影變換,使因x、y是一對對應(yīng)點,彼此對應(yīng),故是對合。若兩對點都是二重點,則由定理10的推論知對合唯一決定。關(guān)于直線上非對合的射影變換與對合之間的關(guān)系,有下面定理。定理13 如果直線到它自身的射影變換不是對合,那么它是兩個對合的乘積。證明 首先,假設(shè)I那么上總有一個對合1, 21I,由此I其次,假設(shè)I,也不是對合。那么直線上至少有一個點a,它不是二重點即并且那么我們就可以用三對對應(yīng)點：確定一個射影變換：和彼此對應(yīng),是對合。計算又因此乘積1使a和a彼此對應(yīng)。乘積1是射影變換,有一對點彼此對應(yīng),所以1是一個對合,設(shè)這個對合為2那么21,由此得到是兩個對合的乘積。

16、根據(jù)對偶原理,容易得到關(guān)于線束的相應(yīng)結(jié)論,這里不另討論。例1 求以5、2為二重元素的對合方程。 解 設(shè)是對合的任意一對對應(yīng)元素，于是： 即 展開后整理得所求對合方程為： 例2 試證：直線上雙曲型對合的任意兩對對應(yīng)點互相不分隔。證明 設(shè)y,z和u,v是雙曲型對合的任意兩對對應(yīng)點。在直線上以y,z,u為參考點建立射影坐標(biāo)系,設(shè)各點的非齊次坐標(biāo)為y(),z(O),u(1),v()對合方程得 所以對合方程為 即對于雙曲型對合,必有兩個二重點,因此例3 直線上有四個不同的點y,z,u,v,且,試證由y,z和u,v這兩個點對所決定的對合是雙曲型的。證明 在直線上以y,z,u為參考點建立坐標(biāo)系,它們的非齊次

17、坐標(biāo)依次為(),(0),(1),設(shè)v的非齊次坐標(biāo)為，因再利用確定在上對合的方程為是雙曲型對合。對合是一種很基本的射影變換,出現(xiàn)在很多圖形中,比如在完全四點形中我們有圖2.14定理14 (第二笛沙格定理也叫笛沙格對合定理) 任意一條不通過完全四點形頂點的直線與完全四點形的三對對邊的交點,是屬于同一個對合的三對對應(yīng)點。(圖2.14)證明 三對點在直線上決定一個射影變換。因于是由于a,a彼此對應(yīng),所以為對合。第二笛沙格定理的平面對偶定理是：圖2.15定理15 從平面上任意一個不在完全四線形邊上的點向完全四線形三對對頂點投射的三對直線,是屬于同一個對合的三個直線對。(圖2.15)利用笛沙格對合定理可以

18、解決對合的作圖問題例4 設(shè)已知直線上的對合由兩對對應(yīng)點a,a；b,b決定,c是一個已知點,求作這個對合中c的對應(yīng)點c。圖2.16作法 通過a,a分別作任意直線, ,通過c作任意直線,但, 不同于直線, ， ， ， 就是所求的點。(圖2.16)例2 已知兩個完全四點形的五對對應(yīng)邊的交點屬于一條直線,那么第六對對應(yīng)邊的交點也屬于這條直線圖2.17證明 如圖2.17，完全四點形k1l1m1n1和k2l2m2n2的五對對應(yīng)邊交點a,a,b,b和c屬于直線,而c是第六對對應(yīng)邊的交點,c(l1n1)(l2n2),我們來證明c屬于。假設(shè) (l1n1)c,那么完全四點形k1l1m1n1應(yīng)用第二笛沙格定理,a,

19、a；b,b,c,c屬于同一個對合,這個對合由a,a；b,b完全決定。記作。又假設(shè)(l2n2)c1,對完全四點形k2l2m2n2應(yīng)用第二笛沙格定理,有a,a；b,b,c,c1屬于同一個對合,這個對合也由a,a；b,b決定,所以這個對合就是。于是在對合下,c和c1都是c的對應(yīng)點,所以cc1。5 直射射影平面到它自身的射影變換叫直射,它的定義在第二章已經(jīng)講過,它的一個重要性質(zhì)是保持點和直線的結(jié)合關(guān)系；保持結(jié)合關(guān)系的一對一的點變換是射影變換?？梢姳３贮c和直線的結(jié)合關(guān)系是射影變換的特征性質(zhì),也就是它的幾何意義。我們還有一個重要問題就是研究直射變換有哪些類型,并討論其中起重要作用的那些特殊的直射。直射由兩

20、個對應(yīng)的四角形點集確定。如果平面到它自身的直射變換保持四角形點集的點P1,P2,P3,P4固定,那么這個直射就是恒等變換。由此可見,如果不是恒等變換,那么不共線的二重點至多有三個。對偶地說,如果不是恒等變換,那么不共點的二重直線至多有三條。5.1 平面到它自身的直射變換的二重元素設(shè)平面到自身的直射變換是 ( 2.5.1)如果點x(x1,x2,x3)是的一個二重點,則對于合適的0,有解(x1,x2,x3)(0,0,0)。把方程寫成齊次式,就是 ( 2.5.2)此方程的系數(shù)行列式是 ( 2.5.3)當(dāng)且僅當(dāng)()=0時,方程組( 2.5.2) 有非零解。但()=O是一個的實系數(shù)三次方程,至少有一個實

21、根,且此根不是“0”(因(0)=- 0),對應(yīng)于這個根,至少有一個二重點(至少有一條二重直線)。定理16 射影平面到它自身的直射至少有一個二重點和一條二重直線。這個定理說明了平面上直射變換總有二重元素存在。在證明的過程中,還指出了求二重元素的具體方法。為了闡明這一方法,并使計算過程盡可能簡單,我們介紹特征方程及其根的幾個簡單性質(zhì)。()=0稱為直射的特征方程,它的根稱為特征根。齊次線性方程組( 2.5.2) 的系數(shù)矩陣為： ( 2.5.4)對于特征根j。所得的矩陣的秩記為rj。有下面性質(zhì)：引理1 若rj=0,(j=1,2,3),則直射是恒等變換。證明 因為rj=O(j=1,2,3),所以矩陣的所

22、有元素都是零,于是所以=I引理2, 若直射I, j是()=0的單根(不是重根),則rj=2證明 由于 又 rj只有兩種可能rj=1或rj=2。假設(shè)rj1,那么矩陣的所有二階子式都是零。于是這表明j 是()=0的重根(至少二重),與j是單根矛盾。所以rj=2。如果把=I這個情形暫時除外,由引理1,2可知,rj要么等于2,要么等于1,因此解方程組 ( 2.5.2)時只有兩種情形：(1)rj=2,矩陣(3)中至少有一個二階子式不為零,例如,左上角的那個二階子式不為0,它對應(yīng)于方程組( 2.5.2)中的第一和第二兩個方程：根據(jù)解齊次線性方程組的知識,方程組( 2.5.2)與這兩個方程所構(gòu)成的方程組同解

23、,而這個方程組有一組成比例的非零解：這一組解正是( 2.5.4) 中矩陣第一行與第二行的外積。所以若rj=2時,只要在矩陣( 2.5.4)中找到不為零的一個二階子式所對應(yīng)的兩行,然后求這兩行的外積便是一個二重點的坐標(biāo)。(2)若rj=1,則矩陣( 2.5.4)中所有二階子式都為零,但至少有一個元素不為零,例如左上角那個元素j-a11不是零,它對應(yīng)于方程組 ( 2.5.2)中的第一個方程：那么方程組 ( 2.5.2)與這個方程同解,或者說滿足這一個方程的一切非零解都是 ( 2.5.2)的解。也就是說上面這個方程所表示的直線上所有的點都是二重點,可見這條直線是點態(tài)不變的。在這一情況下，只要找到矩陣(

24、 2.5.4)中不等于0的那個元素所在的行，這一行的元素就是的一條點態(tài)不變的直線的坐標(biāo)。至于二重直線的求法，只要把上述方法應(yīng)用到討論方法與上面相同。例1 求直射：的二重元素解 有三個單根1=3, 2=5, 3=6當(dāng)13時，得相關(guān)方程組：對應(yīng)二階子式對應(yīng)的二重點當(dāng)25時，得相關(guān)方程組： r=2，圖2.1836時，得相關(guān)方程組： r=2三個二重點不共線。三條二重直線是：二重點與二重直線的相關(guān)位置,如圖2.18所示。例2 求直射 的二重元素。解 有一個單根1=2,一個二重根2=3=4。當(dāng)1=2時,得相關(guān)方程組： r=2二重點 當(dāng)2=3=4時。得相關(guān)方程組 r=1二重點為x1+x3=0上的每一點。這是

25、一條點態(tài)不變的直線(1,0,1),且0。由對偶原則, 還有一個線態(tài)不變的線束。它的中心就是已經(jīng)求出的a。圖2.19事實上,點a不在上,通過點a(1,1,1)的任何一條直線必與相交于一點,這個交點必是二重點,那么直線上便有兩個二重點,因而是二重直線,顯然,線束a是線態(tài)不變的。相關(guān)位置如圖2.19。例3求直射: 的二重元素。解 有一個單根1=3和一個二重根2=3=2。當(dāng)1=3時,得相關(guān)方程組 r=2二重點x(1)=(1,0,O)(-6,1,1)=(0,1,-1)。當(dāng)2=3=2時,得相關(guān)方程組： r=2二重點現(xiàn)在來求二重直線,首先寫出 的特征方程有一個單根13，一個二重根222當(dāng)13時,得相關(guān)方程組

26、： r=2得一條二重直線圖2.20當(dāng)232時,得相關(guān)方程組： r=2兩條二重直線二重元素的相關(guān)位置如圖2.20所示。例4 求直射:的二重元素解 有一個三重根1= 2=3=1,相應(yīng)的相關(guān)方程組： r=1,x1=0上每點都是二重點,所以(1,0,O)是一條線態(tài)不變的直線。再求二重直線,圖2.21相關(guān)方程組只有一個方程： r=1,有一個線態(tài)不變的線束,以a(0,2,1)為中心,又=0,所以在上。它們的位置如圖2.21所示。例5 求直射: 的二重元素解 相關(guān)方程組為： r=2二重點再求二重直線 r=2二重直線是二重直線,它上面只有一個x(1)是二重點。它們的位置如圖2.22。圖2.22()=0的根jE

27、(aik)的秩rj二重元素配置圖名稱123r1=r2=r3=2三個重點,不共線；三條二重直線,不共點12=3r1=2r2=r3=1線態(tài)不變的線束a；點態(tài)不變的點列透射r1=2r2=r3=2兩個二重點,其中一個計算2次；兩條二重直線，其中一條計算2次1=2=3r1=r2=r3=1所有二重點屬于一條直線,所有二重直線屬于一點a合射r1r2r32一個二重點(計算3次),一條二重直線(計算3次)從上面五個例子可以看出,直射變換有五種不同的類型(恒等變換和有虛的特征根的情況不在內(nèi)),其中例2叫透射，例4叫合射,以后將起著重要的作用。5.2透射定義 射影平面到它自身的直射,如果不是恒等變換,但保持一條直線

28、上的每一個點和通過不在上的點a的每一條直線都不變,那么這個直射稱為透射或同調(diào)。這條直線和點a分別稱為透射軸和中心。如何確定一個透射? 有下面定理：定理17 已知一條直線和三個不相同的共線點a、z和z,這三個點沒有任何一個在上,那么恰有一個以a為中心, 為軸、z和z為一對對應(yīng)點的透射H。證明 如果b和c是屬于而不屬于 的任意兩點,并且四點組a,b,c,z和a,b,c,z都不含任何共線的三點,那么恰有一個直射H,把a,b,c,z按照所寫的這個順序變?yōu)閍,b,c,z。在直射H下a是二重點, bc是二重直線,并且把以a為中心的線束變?yōu)橐詀為中心的另一線束,就是說H在以a為中心的線束里誘導(dǎo)出線束a到它自

29、身的射影變換,不過在這個誘導(dǎo)出來的射影變換下,有三條直線ab,ac和是自身對應(yīng)的(即二重直線),所以是恒等變換。因為通過a的每一條直線是不變的,所以上每一點是不變的。于是H是透射。如果還有透射H也以a為中心、為軸、z、z為一對對應(yīng)點,那么H也把四角形點集a,b,c,z依次變?yōu)閍,b,c,z。然而四角形點集a,b,c,z和依次對應(yīng)的四角形點集a,b,c,z所確定的直射是唯一的。所以H=H,證畢。這個定理說明透射H由它的中心a、軸和一對對應(yīng)點z,z唯一確定,當(dāng)然a,z,z是不同的共線點,而且其中沒有任何一點在上。因此利用它可以作平面上任何一點在透射下的對應(yīng)點。如果平面到它自身的直射不是恒等變換,也

30、不是透射,那末直射必是兩個透射的乘積?，F(xiàn)在,我們考慮透射的特殊情形調(diào)和透射。定義 如果一個透射的任何對應(yīng)點z和z被中心a和點(zz)調(diào)和分隔,那么這個透射稱為調(diào)和透射。定理18 如果H是以a為中心, 為軸的透射變換,設(shè)H的一對對應(yīng)點為z,z,若四個點z,z,a和是調(diào)和點集,那么H是調(diào)和透射證明 由H在直線上導(dǎo)出的射影變換是以a和 為二重點的,所以這個射影變換是雙曲型的。(圖2.23)圖2.23設(shè)x是不在 上也不在上的任何一點, 令 , x與是上一對應(yīng)點。 ，所以H是調(diào)和透射定理19 如果已知一條直線和不屬于的一個點a,那么恰有一個以為軸,a為中心的調(diào)和透射。定理20 如果已知一條直線和不屬于的

31、兩個不同點z,z,那么恰有一個以為軸,以z,z為一對對應(yīng)點的調(diào)和透射。直線上的對合定義是I, 2=I,把這個概念推廣到射影平面上來：如果平面到它自身的直射不是恒等變換,而它的平方是恒等變換,那么直射稱為平面上對合的直射或上的對合。定理21 調(diào)和透射是平面上的對合。定理22 平面上的對合必是調(diào)和透射。事實上,設(shè)H是一個對合的直射,選這樣兩對對應(yīng)點a,a；b,b,這四點中無任何三點共線(圖2.24所示),那么H是把(a,a,b,b)(a,a,b,b)的唯一直射。這四點又構(gòu)成一完全四點形,圖2.24所以H是gh為軸,f為中心的調(diào)和透射。前面的例4中,直射有一條點態(tài)不變的直線和一個線態(tài)不變的點a,并且

32、a在a上,這個直射叫合射。定義 如果射影平面到它自身的直射不是恒等變換,它保持一條直線上每一個點以及通過一個點a的每一條直線都不變,且a屬于,那么這個直射稱為合射。點a和直線分別稱為合射的中心和軸。定理23 已知一條直線和不屬于的一對點z,z,那么恰有一個以為軸和z,z為一對對應(yīng)點的合射(z z)證明 令 ， ，如果x是不屬于 和的任意一點,作,。設(shè)b是上不同于y和a的任意一點,四點組a,b,z,x和a,b,z,x中沒有任何三點共線,那么恰有一個直射：(a,b,z,x)(a,b,z,x)圖2.25所示。圖2.25在直線上,有三個二重點：y,a,b,因此上每個點都變?yōu)樽约?。所以是點態(tài)不變的直線,

33、同樣, 使通過a的直線有以三條二重直線。所以線束a是線態(tài)不變的,且a屬于，所以是合射。定理24 一個直射不是恒等變換,但保持一條直線的所有的點不變。如果沒有其它二重點，那么是合射；否則,是透射。設(shè)a是的二重點,aO,那么以a為中心的線束里的每一條直線上有兩個二重點：a和。所以這個線束線態(tài)不變。是透射。如果除了的點以外,沒有二重點了。設(shè)z不屬于,則不在上,zz= (圖2.25) =a,則az=az,故 是二重直線,同樣可以證明不屬于的任意點x,使xx變?yōu)樽陨怼Ｓ谑蔷偷玫揭詀為中心, 為軸的合射。定理25 直射變換若保持x3=O(即 )的每一個點不變,它就有表達(dá)式 , ( 2.5.5)證明 設(shè)直射

34、的方程為 它保持x3=0上每一點不變,在x3=0上取點d1(1,0,0)，d2(0,1,0)和(1,1,O),它們都是不變點,代入上式得到a21=a31=0,a12=a32=0,a11=a22=b此時得： 定理26 當(dāng)直射變換( 2.5.5)不是恒等變換時,若b1,它表示以(a1,a2,1-b) 為中心,以 為軸的透射。證明 如果直射( 2.5.5)是透射,則它必須有一個不在 上的二重點,這個二重點的坐標(biāo)可以寫作(y1,y2,1),代入( 2.5.5) ,得 這方程組必須有解。若b=1,且當(dāng)a1=a2=0時,有解,但此時=I。若b1時,方程組總有解： 因而 ( 2.5.5)是以(a1,a2,1

35、-b)為中心, 為軸的透射。如果( 2.5.5) 中不是恒等變換,它的平方是恒等變換,那么它是調(diào)和透射。的充要條件是：若 所以 上面條件皆被滿足,因而上述條件與b=-1是等價的,所以當(dāng)且僅當(dāng)b=-1時,直射( 2.5.5) 是調(diào)和透射。所以有定理27 以 為軸,(a1,a2,2)為中心的調(diào)和透射的方程是 ( 2.5.6) 定理28 代數(shù)式為 不全為零 ( 2.5.7)的直射,是以(a1,a2,0)為中心,。為軸的合射。證明 在( 2.5.5) 中, 的每一個點都是二重點,如果它還滿足條件：(1)它不是恒等變換；(2) 以外無二重點；那么它就是合射。對于條件(2)就是把不屬于 的點(y1,y2,

36、1)代入：必定無解,反過來也對。此方程組無解的充要條件是b=1,a1,a2不全為0,在此條件下, I。容易驗證,通過(a1,a2,0)的所有直線都是二重直線 ,把b=1,a1,a2不全為零這個條件代入 ( 2.5.5),便得到( 2.5.7) 。6 初等幾何中的應(yīng)用我們應(yīng)用一般的射影變換來解釋初等幾何中的一些變換,以便在較高的觀點上理解那些變換。1、實軸上的平移變換是： ( 2.6.1) a=0時,它是恒等變換。aO時,在歐氏平面上它沒有二重點。如果把實軸看成射影直線,則這個變換的非齊次方程與 比較,a11=a22=1,a12=a,a21=0,a11+a22=20,所以這個變換是非對合的射影變

37、換, ，( 2.6.1)是直線到它自身的拋物型射影變換,有一個二重點無窮遠(yuǎn)點。2、實軸上x關(guān)于a點的反射是： ( 2.6.2) 在歐氏平面上a=0時,是關(guān)于原點的反射；aO時,它有一個二重點a點。如果把它看作射影直線到它自的射影變換,是雙曲型對合,有兩個二重點：a和無窮遠(yuǎn)點。3、歐氏平面上的平移變換： ( 2.6.3) 在歐氏平面上它沒有二重點和二重直線。如果把它看作射影平面的射影變換, ( 2.6.3) 就成為：特征多項式：1三重根,相關(guān)方程組的r1,有一條點態(tài)不變的直線x3=O(即 ),對偶可求得有一個線態(tài)不變的線束a(a,b,O),且 ,所以(11I)是以 為軸,a(a,b,0)為中心的

38、合射。4、歐氏平面上關(guān)于原點的中心對稱： ( 2.6.4) 在歐氏平面上,原點是二重點,通過原點的直線都是二重直線。如果把它看射影變換,它的齊次方程是其逆變換是所以是對合,由定理27,是以 為軸,(0,0,1)為中心的調(diào)和透射5、歐氏平面上以原點為位似中心,k為位似常數(shù)的位似變換： ( 2.6.5) 歐氏平面上它以原點為一個二重點,通過原點的所有直線是二重直線把它化為齊次方程：由定理26，它是以 為軸,(0,0,1)為中心的透射變換,它不是對合。6、歐氏平面上關(guān)于橫軸的反射： ( 2.6.6)在歐氏平面上,x軸是對稱軸,x軸上的點都是二重點。把它看作射影平面到自身的直射：因為=-1,它是平面上

39、對合調(diào)和透射。現(xiàn)在來求這個對合的中心和軸。特征根1=-1(單根) 2=3=1(二重根)當(dāng)1=-1時,相對應(yīng)的二重點是a=(0,1,O)。當(dāng)2=3=1時,相對應(yīng)的二重點是x2=O,這是一條點態(tài)不變的直線,且 ,所以關(guān)于橫軸的反射是以直線x2=0(即 )為軸,無窮遠(yuǎn)點(0,1,0)為中心的合射。7、歐氏平面上繞原點的旋轉(zhuǎn)變換： ( 2.6.7)在歐氏平面上,原點是二重點。把它看成射影變換特征多項式是特征根1=1；另二特征根滿足 ,但這個二次方程的判別式 ,若 ,則 0或 ,于是旋轉(zhuǎn)變換成為恒等變換或者是關(guān)于原點的中心對稱，若 ,則2, 3為共軛虛數(shù)(不在討論之列),所以 時,僅有一個實特征根11,

40、此時的相關(guān)方程組為：r2,一個二重點關(guān)于二重直線討論方法同上面相同,當(dāng) 時,有一條二重直線(0,0,1) 。所以,這個變換是僅有一個二重點(0,0,1)和一條二重直線 (0,0,1)的一般的直射。下面舉幾個例子,說明本章知識在初等幾何中的應(yīng)用例1 設(shè)一直線 截三點形k1m的三邊1m,mk,k1于點a,b,c；再以不在這三邊上的任意點n為中心,把k,l,m分別投影到它的對邊上,象點為u,v,w,求證三點形每一邊上的四個點所成交比的乘積為-1,就是：圖2.26證明 點列點列(m,k,v,b)點列(k,1,w,c)而a,a,b,b和c,c是完全四點形klmn的三對對邊與直線 的交點,根據(jù)第二笛沙格定

41、理,它們同屬于一個對合。所以 =例2 一直線順次交三點形p1p2p3的三邊p2p3,p3p1,p1p2于q1,q2,q3,在此三邊上順次取q1,q2,q3,使R(p2,p3；q1 ,q1)=k1,R(p3,p1；q2,q2)=k2。R(p1,p2；q3,q3)= k3求證：(1) q1,q2,q3 共線的充要條件是k1k2k3=1；(2) 共點的充要條件是 。證 (1)(圖2.27)以直線p2p3,p3p1,p2p1為 ，q1q2為單為直線 建立線坐標(biāo)糸,圖2.27所以共線的充要條件是即 圖2.28(2)圖2.28仍以 為單位直線 建立坐標(biāo)系,則 共線的充要條件是=即若q1,q2,q3是無窮遠(yuǎn)

42、點,則同理所以故q1,q2,q3三點共線的充要條件是(美耐勞斯定理)三線共點的充要條件是(塞瓦定理)美耐勞斯定理和塞瓦定理可以看作是射影幾何中上述命題的特殊情況,在證明共點、共線時非常有用,三角形的三條中線共點,三條高共點,三條內(nèi)角平分線共點等性質(zhì)都可應(yīng)用塞瓦定理來證明。美耐勞斯定理和塞瓦定理可以寫成統(tǒng)一形式：ABC各邊BC,CA,AB上各取一點D、E、F,如果那么,當(dāng)D,E,F三點中在邊的延長線上的個數(shù)n是：(1)奇數(shù)(n=1,3)時,D,E,F三點共線。(2)偶數(shù)(n=0,2)時,AD,BE,CF三線共點。例3 是平行四邊形，是其內(nèi)任意一點，過作的平行線交于，作的平行線交于，則、三線共點。圖2.29證明：如圖，設(shè)、和交于，、和交于?？紤]兩組共線點列、和、，由巴普斯定理可得：，三點共線，即、三線共點。習(xí)題二1.1 敘述并證明：第二章1透視中定理5的對偶定理。1.2已知兩個射影點列的三對對應(yīng)點,試作這兩個點列的公共點所對應(yīng)的點。首先把這個公共點看作第一個點列的點,然后看作第二個點列的點。再就線束研究類似的問題。1.3 敘述并證明巴普斯定理的對偶定理。2.1 已知線束x里三條直線 和 ,求作直線 關(guān)于和 的調(diào)和共軛直線。2.2 過三點形abc的頂點各作一直線aa,bb,cc,使它們相交于一點d,并分別交對邊于a,b,c；又(b c)(bc)=a”, (ca)(ca)=b”,