全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(初2)第26講_含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)根問題

1、第二十六講 含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)根問題對于一元二次方程ax2bxc=0(a0)的實根情況，可以用判別式=b2-4ac來判別，但是對于一個含參數(shù)的一元二次方程來說，要判斷它是否有整數(shù)根或有理根，那么就沒有統(tǒng)一的方法了，只能具體問題具體分析求解，當(dāng)然，經(jīng)常要用到一些整除性的性質(zhì)本講結(jié)合例題來講解一些主要的方法例1 m是什么整數(shù)時，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x720有兩個不相等的正整數(shù)根解法1 首先，m2-10，m1=36(m-3)20，所以m3用求根公式可得由于x1，x2是正整數(shù)，所以m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，解得m=2這時x1=6，x2=4解法2

2、首先，m2-10，m1設(shè)兩個不相等的正整數(shù)根為x1，x2，則由根與系數(shù)的關(guān)系知所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即m23，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有m2=4，9，25才有可能，即m=2，3，5經(jīng)檢驗，只有m=2時方程才有兩個不同的正整數(shù)根說明 一般來說，可以先把方程的根求出來(如果比較容易求的話)，然后利用整數(shù)的性質(zhì)以及整除性理論，就比較容易求解問題，解法1就是這樣做的有時候也可以利用韋達(dá)定理，得到兩個整數(shù)，再利用整除性質(zhì)求解，解法2就是如此，這些都是最自然的做法例2 已知關(guān)于x的方程a2x2-(3a2-8a)x2a2-13a15

3、=0(其中a是非負(fù)整數(shù))至少有一個整數(shù)根，求a的值分析 “至少有一個整數(shù)根”應(yīng)分兩種情況：一是兩個都是整數(shù)根，另一種是一個是整數(shù)根，一個不是整數(shù)根我們也可以像上題一樣，把它的兩個根解出來解 因為a0，所以所以所以只要a是3或5的約數(shù)即可，即a=1，3，5例3 設(shè)m是不為零的整數(shù)，關(guān)于x的二次方程mx2-(m-1)x10有有理根，求m的值解 一個整系數(shù)的一元二次方程有有理根，那么它的判別式一定是完全平方數(shù)令=(m-1)2-4mn2，其中n是非負(fù)整數(shù)，于是m2-6m+1=n2，所以 (m-3)2-n2=8，(m-3n)(m-3-n)8由于m-3nm-3-n，并且(m-3n)+(m-3-n)=2(m

4、-3)是偶數(shù)，所以m-3n與m-3-n同奇偶，所以說明 一個整系數(shù)的一元二次方程如果有整數(shù)根或有理根，那么它的判別式一定是完全平方數(shù)，然后利用平方數(shù)的性質(zhì)、解不定方程等手段可以將問題解決例4 關(guān)于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一個整數(shù)解，且a是整數(shù)，求a的值解 當(dāng)a=0時，原方程變成-6x-2=0，無整數(shù)解當(dāng)a0時，方程是一元二次方程，它至少有一個整數(shù)根，說明判別式4(a-3)2-4a(a-2)4(9-4a)為完全平方數(shù)，從而9-4a是完全平方數(shù)令9-4a=n2，則n是正奇數(shù)，要使x1為整數(shù)，而n為正奇數(shù)，只能n=1，從而a=2要使x2為整數(shù)，即n-34，n可取1，5，7

5、，從而a=2，-4，-10綜上所述，a的值為2，-4，-10說明 本題是前面兩種方法的“綜合”既要用判別式是平方數(shù)，又要用直接求根有時候，往往是幾種方法一同使用例5 已知關(guān)于x的方程x2(a-6)xa=0的兩根都是整數(shù)，求a的值解 設(shè)兩個根為x1x2，由韋達(dá)定理得從上面兩式中消去a得x1x2+x1+x26，所以 (x11)(x2+1)=7，所以a=x1x2=0或16說明 利用韋達(dá)定理，然后把參數(shù)消去，得到的是關(guān)于x1，x2的不定方程，而求解這個對稱的不定方程往往是容易入手的例6 求所有有理數(shù)r，使得方程rx2+(r+1)x(r-1)=0的所有根是整數(shù)分析 首先對r=0和r0進(jìn)行討論r=0時，是

6、關(guān)于x的一次方程；r0時，是關(guān)于x的二次方程，由于r是有理數(shù)，處理起來有些困難，這時用直接求根或用判別式來做，均不能奏效可用韋達(dá)定理，先把這個有理數(shù)r消去解 當(dāng)r=0時，原方程為x-1=0，所以x=1當(dāng)r0時，原方程是關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)它的兩個整數(shù)根為x1，x2，且x1x2，則消去r得x1x2-x1-x22，所以(x1-1)(x2-1)=3例7 已知a是正整數(shù)，且使得關(guān)于x的一元二次方程ax22(2a-1)x4(a-3)=0至少有一個整數(shù)根，求a的值解 將原方程變形為(x2)2a= 2(x6)顯然x20，于是由于a是正整數(shù)，所以a1，即所以 x2+2x-80，(x4)(x-2)0，所以

7、-4x2(x-2)當(dāng)x=-4，-3，-1，0，1，2時，得a的值為1，6，10，3，說明 從解題過程中知，當(dāng)a=1時，有兩個整數(shù)根-4，2；當(dāng)a=3，6，10時，方程只有一個整數(shù)根有時候，在關(guān)于x的一元二次方程中，如果參數(shù)是一次的，可以先對這個參數(shù)來求解例8 已知方程x2+bx+c=0與x2+cxb=0各有兩個整數(shù)根x1，x2(2)求證：b-1cb1；(3)求b，c的所有可能的值解 (1)由x1x20知，x1與x2同號若x10，則x20，(2)由(1)知，x10，x20，所以x1-1，x2-1由韋達(dá)定理c-(b-1)=x1x2x1x21=(x11)(x2+1)0，所以 cb-1同理有所以 cb

8、+1，所以 b-1cb+1(3)由(2)可知，b與c的關(guān)系有如下三種情況：(i)c=b1由韋達(dá)定理知x1x2=-(x1x2)1，所以 (x11)(x21)=2，解得x1x2=-5，x1x2=6，所以b=5，c=6(ii)c=b由韋達(dá)定理知x1x2=-(x1x2)，所以 (x1+1)(x21)=1，所以x1=x2=-2，從而b=4，c=4(iii)c=b-1由韋達(dá)定理知所以綜上所述，共有三組解：(b，c)=(5，6)，(4，4)，(6，5)練習(xí)二十六1填空：(1)方程x2+px+1997=0恰有兩個正整數(shù)根x1，x2，(2)已知k為整數(shù)，且關(guān)于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x18=0有兩個不相同的正整數(shù)根，則k=_(3)兩個質(zhì)數(shù)a，b恰好是關(guān)于x的方程x2-21xt=0的兩個根，(4)方程x2+pxq=0的兩個根都是正整數(shù)，并且p+q=1992，則方程較大根與較小根的比等于_(5)已知方程(a2-1)x2-2(5a+1)x24=0有兩個不相等的負(fù)整數(shù)根，則整數(shù)a的值是_2設(shè)m為整數(shù)，且4m40，又方程(x2-2(2m-3)x+4m2-14m+