解三角形完整講義

1、正余弦定理知識要點:1、a正弦定理：sin Absin Bsin C2R或變形:a:b: c sin A:sin B :sin C .2、余弦定理:2.22a b c 2bccosA.2_22b a c 2accosB 或c2 b2 a2 2bacosCcos AcosBcosC,222b c a2bc22,2a c b2ac,222b a c2ab3、解斜三角形的常規(guī)思維方法是:(1)已知兩角和一邊(如A、RC),由A+B+C=兀求C,由正弦定理求a、b；(2)已知兩邊和夾角(如a、b、c),應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C=Tt,求另一角；(3)已知

2、兩邊和其中一邊的對角(如a、b、A),應(yīng)用正弦定理求B,由A+B+C=兀求C,再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況；(4)已知三邊a、b、c,應(yīng)余弦定理求A、B,再由A+B+C=為求角C。4、判定三角形形狀時，可利用正余弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式5、解三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助理解”。6、已知三角形兩邊a,b,這兩邊夾角C,則S=1/2*absinC7、三角學(xué)中的射影定理：在ABC中，bacosCccosA,8、兩內(nèi)角與其正弦值：在ABC中，ABsinAsinB,【例題】在銳角三角形ABC中，有

3、(B)A. cosA>sinB且cosB>sinAB. cosA<sinB且cosB<sinAC. cosA>sinB且cosB<sinAD. cosA<sinB且cosB>sinA9、三角形內(nèi)切圓的半徑:2S，特別地,專題：公式的直接應(yīng)用正弦定理1、已知ABC中，aJ2，b邪，B60°,那么角A等于（A.135oB.90oC.45oD.30o2、在ABC中，a=2<3,b=2J2，B=45。，則A等于（CA.30°B.60°C.60°或120°D.30°或150°3、A

4、ABC的內(nèi)角AB,C的對邊分別為a,b,-2,bB120°，則a4、5、6、B.D.22已知ABC中,A30°,C105o則a等于A.4B.4.2C.4.3D.4.5在AABC中，a=10,B=60°,C=45°，則C等于（BA.103B.10.31D.10。3已知ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,bV3sinB，則a等于噌）7、MBC中，B45°，C60°,C1,則最短邊的邊長等于（AAa!.3R、6B.2D.-38、ABC中，A:B1:2,C的平分線CD把三角形面積分成3:2兩部分，則cosA(C)1A .31B .23

5、C .4D.09、在 ABC 中,證明:cos2A2acos2Bb2cos2A 證明：2 - acos2Bb221 2sin2 A22sin2 Bb2sin2 Asin2 Bb2由正弦定理得:.2 、sin A.2 >sin Bb2cos 2 A2- acos2Bb21b23、在 ABC中，根據(jù)下列條件解三角形，則其中有兩個解的是(D )專題：兩邊之和1、在 ABC 中，A=60° , B=45° ,12,a=(3612d6,12訴24)2、已知 ABC的周長為J2 1,且sin Asin B &sinC (1)求邊AB的長;(2)若ABC的面積為sinC求角

6、C的度數(shù).6專題：三角形個數(shù)1、ABC中，/A=60°,a=V6,b=4,那么滿足條件的ABC(C)A.有一個解B.有兩個解C.無解D.不能確定2、AABC中,a=1,b=V3,ZA=30°，則/B等于(B)A.60°B,60°或120°C,30°或150°D.120°A. b=10,A=45°,B=70B. a=60,c=48,B=100C. a=7,b=5,A=80°D. a=14,b=16,A=45°4、符合下列條件的三角形有且只有一個的是A, a=1,b=2 ,c=3B, a=

7、1,b=j2 ，/A=30°C, a=1,b=2,Z A=100°C. b=c=1, /B=45°5、在ABC中，a=12,b=13,C=60。，此三角形的解的情況是（A.無解B. 一解C.二解D.不能確定6、滿足A=45,a=2的 ABC的個數(shù)記為 m,則a m的值為（ A ）A. 4B. 2C. 1D.不定7、已知 ABC中，a181,b209, A121,則此三角形解的情況是無解8、在 ABC中，已知b50 . 3c 150。10073 或 5073專題：等比疊加1、4ABC 中，若 A 60o，a73,貝 usin A0_A等于sin B sin CA .

8、2C3D/2、在 4ABC 中,A=60 °, b=1,面積為 J3 ,則sin A sin B sin C專題：變式應(yīng)用1、在ABC中，若/A:/B:/C=1:2:3JHJa：b：C1：石：22、已知4ABC中，a：b：c=1：J3：2,則A：B：C等于（A）B. 2 ： 3 ： 1A.1：2：3C. 1: 3: 2D.3:1:23、在ABC中，周長為，且sinA:sinB：sinC=4：5：6,下列結(jié)論：a:b:c4:5:6 A:B:C 4:5: 6 其中( C )a:b：c2:5:<6a2cm,b2.5cm,c3cm成立的個數(shù)是A. 0個D. 3個B. 1個C. 2個co

9、sA4、在ABC中，已知邊c10,cosB解:cos AcosBb sinBa ' sinAbcos A sin B一,可得acosBsin A變形為sinAcosA=sinBcosB,/.sin2A=sin2B,又.awb,，2人=兀2B,.-A+B=,，ABC為直角三角形.,一一一一b4由a2+b2=102和，解得a=6,b=8。a35、在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若J3bccosAacosC,則cosA。6、設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角AB,C的對邊分別為a,b,c,a2bsinA.(1)求B的大??；(2)求cosAsinC的取值范圍.1、4ABC中，已知 a

10、x,b 2, B專題：求取值范圍60°,如果ABC兩組解，則x的取值范圍(C)A.x2B.x2C.2x；332、已知銳角三角形的邊長分別為2、3、x,則x的取值范圍是(A. 1 x 5B.5x13C.0x.5D.13x53、在銳角ABC中，BC1,B2A,則AC的值等于.2(,2,.3)答案：由銳角ABC得002cosAAC的取值范圍又001800390o專題：公式應(yīng)用1、在ABC中,a=3,A.30°-AC2.由正弦定理得一ACsin2BCsinAC2cos&2cos90030oB.45°2、在三角形ABC中，AB5,2A.35B.一60o45°

11、;,60o，故30o余弦定理c=2,那么B等于C.60°AC3,BC7,3、長為5、7、8的三角形的最大角與最小角之和為A.90°B.120°C.1354、在ABC中,3.3,c2,B1505、在ABC中,(ac)(ac)b(bA.900B.60045o6、(在ABC中，三邊長分別為D）3,b7、A.38B.37在ABC中，已知a2b2bc，工cos2D.120°BAC的大小為（D.3D.150°C.1200D.5,c6,則bccosAC.361500cacosB35則角A為（C）abcosC的值為A.銳角三角形B.鈍角三角形 C.等腰三角形D

12、.等邊三角形A-3B- 62C-38、在鈍角4ABC中,c的取值范圍是0,5c39、設(shè)a、b、c是ABC的三邊長,對任意實數(shù)x,f(x)b2x2(b2c2a2)xc2有A. f(x) 0B.f (X)C.f(X)D.f(X)9、三角形的兩邊分別為5和3,它們夾角的余弦是方程25x7x60的根，則三角形的另一邊長為(BA. 52B. 2 13C. 16D. 410、在 ABC 中,已知AB=4, AC=7, BC 邊的中線 AD7一,那么BC=211、設(shè)A、B>C為三角形的三內(nèi)角，且方程(sinBsinA)x2+(sinAsinC)x+(sinCsinB)=0有等根，那么角B(D)A.B&

13、gt;60°B,B>60°C,B<60°D,B<60°(sinA-sinC)2-4(sinB-sinA)(sinC-sinB)=sin2-2sinAsinC+sin2C-4(sinBsinC-sinAsinC-sinB+sinAsinB)=(sinA+sinC)24sinB(sinA+sinC)+4sin23=(sinA+sinC-2sinB)2專題：判斷三角形1、若tanAtanB>1,則ABC(A)A.一定是銳角三角形B.可能是鈍角三角形C.一定是等腰三角形D.可能是直角三角形2、在ABC中，角A,B均為銳角，且cosAsin

14、BJ則ABC的形狀是(C)A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形3、ABC中，B600，b2ac，則ABC一定是(D)4、如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長度,則這個新的三角形的形狀為A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.由增加的長度決定,abc5、ABC中，則4ABC一定是cosAcosBcosC6、A.直角三角形B.鈍角三角形 C.等腰三角形D.等邊三角形在 ABC中，若cosAcosBsinCc則 ABC是(A.有一內(nèi)角為30°的直角三角形B.等腰直角三角形C.有一內(nèi)角為30°的等腰三角形D.等邊三角形7、若4ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分

15、別為a、bc,且acosAbcosB,則()A.zXABC為等腰三角形B.zABC為直角三角形C.ABC為等腰直角三角形D.ABC為等腰三角形或直角三角形8、zXABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、Bc,根據(jù)下列條件判斷三角形形狀：(1) .(abc)(bca)3bc,且sinA2sinBcosC,則ABC是(2) .(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB),則ABC是.9、若(a+b+c)(b+ca)=3abc,且sinA=2sinBcosC,那么AABC是(B)A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形10、在ABC中，已知2sinAcosBsinC,那么A

16、BC一定是(B)A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D,正三角形11、在ABC中，若acosAbcosB,則ABC的形狀是(D)A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形12在ABC中，a,b,c分別為角A,B,C所對邊，若a2bcosC,則此三角形一定是(C)A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形213、tanAa在ABC中，若-于，則4ABC的形狀是(B)tanBbA.直角三角形B.等腰或直角三角形C.不能確定D.等腰三角形14、已知銳角三角形的邊長分別為1,3,a,則a的范圍是(B)A.8,10B.V8,10C.<8,1

17、0D.祈0,815、A為AABC的一個內(nèi)角，且sinA+cosA=Z,則AABC是三角形.鈍角1216、在ABC中，已知2abc,sin2AsinBsinC，試判斷ABC的形狀。",、一abc_ab-c解：由正弦te理2R得：sinA,sinB,sinCsinAsinBsinC2R2R2R所以由sin2AsinBsinC可得：(啜)2去，即：a2bc°2R2R2R又已知2abc,所以4a2(bc)2,所以4bc(bc)2,即(bc)20,因而bc。故由2abc得：2abb2b,ab。所以abc,ABC為等邊三角形。ir17、已知ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b

18、、c,向量m(4,1),r,2ALrrn(cosy,cos2A),且mn(1)求角A的大小;(2)若aJ3,試求當(dāng)bc取得最大值時ABC的形狀.irr9.解：(1)由 m (4, 1),n,2 A(cos ,cos 2A) 2mm n 4cos2 A cos2A2_2(2cos A 1)2.2cosA2cosA3irr727又因為mn,所以-2cosA2cosA3一22Q0 A , A -31解得cosA一分2(n)在ABC中，a2b2c22bccosA,且aJ3,22_22_b2c2bc.Qbc2bc,32bcbc,即bc3,當(dāng)且僅當(dāng)bc又由(I)知A -, B C ,所以, 33ABC為正

19、三角形2bc2ac18、在AABC中，求分別滿足下列條件的三角形形狀:B=60°,b2=ac；由余弦定理cos6022.2a c b2ac22, 2a c b2ac222a c ac ac (a c)0,a c.由a=c及B=60°可知 ABC為等邊三角形22 ,b2tanA=a2tanB ；由 b tan A a tan Bb2 sin AcosA22.2、a sin Bsin B cos AbsinB.八 八 . -2 2sin Acos A sin BcosB, sin 2A cosBsin AcosBasinA從=3或 A+B=90。，ABC為等腰或 RtA .si

20、n2B,否sin A sin B 石 sinC=dcosBsinCsin A sin BcosAcosAcosB '由正弦定理： c(cosAcosB)a b,再由余弦定理：c222222.一(ab)(cab)0,cab,ABC為Rt(a2b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(AB).由條件變形為sin(AB)a2b2sin(AB)a2b2_2sin(AB)sin(AB)aZz-2sin(AB)sin(AB)b22sinAcosBsinA；-2-ZcosAsinBsinBsin2Asin2B,AB或AB90.ABC是等腰或RtA.專題:1、在ABC中，如果sinA:sinB:s

21、inC2:3:4,那么cosC等于2、在ABC中,已知sinA:sinB:sinC6:5:4,則cosA3、在ABC中,4:5:6,則ABC的最大內(nèi)角的度數(shù)是4、在ABC中,10cosC是方程2x23x值。解:2x23xXi2,x2cosC由余弦定理可得:則:10010aa527512020的一個根，求ABC周長的最小2cosC是萬程2xb22ab?5時，c最小且c10ABC周長的最小值為105d33x0的一個2ab.75573此時2 5 uuu uur，AB AC53-A5、在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足cos一2(I)求ABC的面積;(II)若bc6,求a的值.1

22、5 r ra 3, b 5 ,則(4A. 30oB . 150oC. 1500D.30o 或 1500A252A34uuruur斛(1)因為cos'一,cosA2cos1-,sinA,又由ABAC3252551得bccosA3,bc5,SabcbcsinA22對于bc5,又bc6,b5,c1或b1,c5,由余弦定理得a2b2c22bccosA20,a2匹專題：已知面積3口.1、已知ABC的面積為一，且b2A.30°B,30°或150°C,60°D.60°或120°2、在ABC中，已知角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,邊cg

23、,且C60,又4ABC的面積為還，則ab1122uuuruuir3、已知ABC中，ABa，AC4、若 ABC的周長等于20,面積是10J3,A=60。，則BC邊的長是（A.5B,6C,7D,815、在AABC中，若SAABC=-(a2+b2c2),那么角/C=-6、在ABC中，BC=a,AC=b,a,b是方程x22區(qū)20的兩個根，且2cosAB1。求：（1）角C的度數(shù)；（2）AB的長度。1解：(1)cosCcosABcosABC=1202ab2.3(2)由題設(shè)：ab222222AB2AC2BC22AC?BCcosCa2b22abcos120a2b2abab2ab232210AB.107、在AB

24、C中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c,已知a2c22b,且sinAcosC3cosAsinC,求b解法一：在ABC中QsinAcosC3cosAsinC,則由正弦定理及余弦定理222上 a b c有：ag2ab222一 ，22、 . 22(a c ) b .又由已知3bca化簡并整理得:2bca2 c2 2b 4bb2.解得b 4或b 0（舍）.解法二：由余弦定理得：a2c2b22bccosA.又a2c22b,b0.所以b2ccosA2又 sin AcosC 3cos Asin C ,sinAcosCcosAsinC4cosAsinC4cosAsin Csin(AC)4cosAsinC

25、,即sinBb.一由正弦定理得sinBsinC,故b4ccosAc由，解得b4.專題：求三角形面積1、在ABC中，AB、3,AC1,/A=30°,則ABC面積為(B)2、3、B3B.4C.已知ABC的三邊長a3,b則ABC的面積為A.14B.214C.,15三角形的一邊長為14,這條邊所對的角為之比為8:5,則這個三角形的面積為4、在ABC中,sin10,bsin505、6、D.21560°,另兩邊。40.3,ZC=70°,那么ABC的面積為1A64ABC中,面積.7、A、B.132c.1161D.一88,c83SVABC1673,則A等于30°60&#

26、176;30°或150°D60°或120°ABC中,sin(CA)1,1sinB=-.3(I)求sinA的值；(II)設(shè)AC=J6,ABC的ABC的三內(nèi)角,41對邊分別為a、b、c,右c0sBc°sCsinBsinC一2(I)求A;(n)若a23,bc4,求ABC的面積.解：(I)cosBcosCsinBsinC-1cos(BC)-BC-ABC,A(n)由余弦定理a2b2222c22bccosA得(24)2(bc)22bc2bccos-1、11.3即：12162bc2bc(一),bc4SABC-bcsinA-4<322228、在銳角三角形

27、中，邊a、b是方程x2243x+2=0的兩根，角A、B滿足：2sin(A+B)J3=0,求角C的度數(shù)，邊c的長度及ABC的面積。3解：由2sin(A+B)，3=0,得sin(A+B)=2,二ABC為銳角三角形A+B=120°,C=60°,又.一、b是方程x2-23x+2=0的兩根，a+b=2>/3,.c=6,11WSvabcabsinC=2X2x2=2a-b=2,c2=a2+b22a-bcosC=(a+b)23ab=126=6,c=6,11Svabc-absinC=2x2x2332=229、已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,其中c2,又向量m(1,co

28、sC),n(cosC,1),mn=1.(1)若A45,求a的值；(2)若ab4,求ABC的面積.解：(1).mncosCcosC2cosC1八1一八八cosC-Q0C180，C60由正弦定理得,sin45sin602,22.6c2,60，a2b22abcos604，a2b2ab4,ab4,b22ab16,，ab4,ABC1absinC33.210、在ABC中,54cosA13,sinB5.5（I）求cosC的值；（II）設(shè)BC15,求ABC的面積.541210.解：(I)由cosA,sinB,得sinA在，cosBB)ABC，.cosCcos(AB)cos(A63(cosAcosBsinAsinB)6513八65 , -8 分,，63(n)由cosC倚sinC65由正弦定理得ACBCsinBsinA13.-10分所以ABC的面積1S-BC2ACsinC1513166524.-12分11、在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足Acos一2uuuuurABAC3-（I）求ABC的面積;(II)若c1I)cosA2cos2122求a的值.(0,),sinAV1cos2-4A一，而AB.AC5AB.AC.cosA以bc5