2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)專題題庫∶相似的綜合題附詳細(xì)答案

1、2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)專題題庫：相似的綜合題附詳細(xì)答案一、相似1.如圖，AB是半圓O的直徑，AB=2,射線AM、BN為半圓O的切線.在AM上取一點(diǎn)D,連接BD交半圓于點(diǎn)C,連接AC過。點(diǎn)作BC的垂線OE,垂足為點(diǎn)E,與BN相交于點(diǎn)F過D點(diǎn)作半圓O的切線DP,切點(diǎn)為P,與BN相交于點(diǎn)Q.(1)若AB44BFO,求BQ的長;(2)求證：FQ=BQ【答案】(1)解：.,卜二二，二1此詡均為半圓切線，連接，則四邊形加屈為菱形,.DQ初,以戈謝均為半圓切線，加n磔，.四邊形況超為平行四邊形刖=如-d(2)證明：易得身匕，.一D片是半圓的切線,.過4點(diǎn)作QK上出J"5則.在業(yè),1優(yōu)於中，

2、1城-幕沙底,.皿（留尸-8afH,1阿-不解得：如,211FQ=BF-=A超AD超.閡=【解析】【分析】（1）連接OP由AAB里ABFOT彳#AD=OB,由切線長定理可得AD=DP,于是易得OP=OA=DA=DP根據(jù)菱形的判定可得四邊形DAOP為菱形，則可得DQ/AB,易得四邊形DABQ為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求解；BFAA（2）過Q點(diǎn)作QK，AM于點(diǎn)K,由已知易證得AABMABFQ可得比例式OB,可得BF與AD的關(guān)系，由切線長定理可得AD=DPQB=QP,解直角三角形DQK可求得BQ與AD的關(guān)系，則根據(jù)FQ=BF-BQ可得FQ與AD的關(guān)系，從而結(jié)論得證。2.（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1

3、,四邊形ABCD為矩形，AB=a,BC=b，點(diǎn)P在矩形ABCD的對角線AC上，RtAPEF的兩條直角邊PE,PF分別交BC,DC于點(diǎn)M,N,當(dāng)PM±BC,PNLCD時,（用含a,b的代數(shù)式表示）.（2）拓展探究周的大小有無變化？請僅就圖2的在（1）中，固定點(diǎn)P,使4PEF繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，如圖2,情形給出證明.（3）問題解決如圖3,四邊形ABCD為正方形，AB=BC=a點(diǎn)P在對角線AC上，M,N分別在BC,CD上，PMXPN,當(dāng)AP=nPC時，（n是正實數(shù)），直接寫出四邊形PMCN的面積是（用含n,a的代數(shù)式表示）【答案】（1）W（2）解：如圖3,過P作PG±BC于G,作PHXC

4、DTH,貝U/PGM=/PHN=90,/GPH=90PEF中，/FPE=90/GPM=ZHPN.PGMAPHN"PGFNPh由PG/AB,PH/AD可得,故答案為dPGd=-PffbS-【解析】【解答解：（1）二.四邊形ABCD是矩形, ABXBC, .PMXBC, .PMCAABCCMBCI).PMABd 四邊形ABCD是矩形，/BCD=90；.PMXBC,PN±CD,/PMC=ZPNC=90=ZBCD,四邊形CNPM是矩形，.CM=PN,PMa日故答案為國；(3)PMXBC,ABXBC.PMCAABCCP評i.CA-7bPM1當(dāng)AP=nPC時(n是正實數(shù))，4廣h，.P

5、M=a(mJ-四邊形PMCN的面積=玨*/0,故答案為：m一戶.CMBCA【分析】(1)由題意易得PMCsABC,可得比例式PMABbCM=PN,則結(jié)論可得證；(2)過P作PG±BC于G,作PHCD于H,由輔助線和已知條件易得用ABPGd則得比例式疥序，由(1)可得比例式ADm心，即比值不變；PM-<7，Jr(3)由(2)的方法可得八7,則四邊形PMCN的面積=n由矩形的性質(zhì)可得PGMAPHN,J.(上，0),在第一3.如圖1,經(jīng)過原點(diǎn)O的拋物線y=ax2+bx(awQ與x軸交于另一點(diǎn)A象限內(nèi)與直線y=x交于點(diǎn)B(2,t).iSl;(1)求這條拋物線的表達(dá)式;(2)在第四象限內(nèi)

6、的拋物線上有一點(diǎn)C,滿足以B,O,C為頂點(diǎn)的三角形的面積為2,求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)如圖2,若點(diǎn)M在這條拋物線上，且ZMBO=ZABO,在(2)的條件下，是否存在點(diǎn)P,使得POSMOB?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】(1)解：.B(2,t)在直線y=x上，.t=2,B(2,2),4ab-23把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得/二,解得力，拋物線解析式為y=2x2-3x(2)解：如圖1,過C作CD/y軸，交x軸于點(diǎn)E,交OB于點(diǎn)D,過B作BF±CD于點(diǎn)F,圖I點(diǎn)C是拋物線上第四象限的點(diǎn)， 可設(shè)C(t,2t23t),則E(t,0),D(t,t),.OE=t,BF=

7、2t,CD=t-(2t23t)=2t2+4t,/ Saobc=Scdo+Sxcdb=CD?OE+CD?BF=(2t2+4t)(t+2t)=-2t2+4t, .OBC的面積為2,一2t2+4t=2,解得ti=t2=1,.C(1,T)(3)解：存在.設(shè)MB交y軸于點(diǎn)N,如圖2,J不圖:1 .B(2,2),ZAOB=ZNOB=45,°在AOB和ANOB中AOB=ZNOB/08=OSZABO=ZNBC2 .AOBANOB(ASA),1,J.ON=OA=上，.3.N(0,JJI可設(shè)直線BN解析式為y=kx+1把B點(diǎn)坐標(biāo)代入可得2=2k+-，解得k=13口g0y直線BN的解析式為y=，x+上，聯(lián)

8、立直線BN和拋物線解析式可得一二'/急M(-',二)，.C(1,1),ZCOA=ZAOB=45；且B(2,2),.OB=2,OC=,-/POCAMOB,辦(2B.3=0c=2,/POC4BOM,當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時，如圖3,過M作MGy軸于點(diǎn)G,過P作PHx軸于點(diǎn)H,X!圖3/COA=ZBOG=45；/MOG=/POH,且/PHO=ZMGO,=2,-M（一.MG=,OG=，先，.PH=-MG=3/6/j16當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時，如圖4,過M作MGy軸于點(diǎn)G,過P作PHy軸于點(diǎn)H,同理可求得PH=-MG=/4,OH=二二OG=方"P（一綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P,其坐標(biāo)為（

9、，【解析】【分析】（1）根據(jù)已知拋物線在第一象限內(nèi)與直線出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入y=ax2+bx,建立y=x.、7L0的）交于點(diǎn)B（2,t）一次方程組，求出,可求a、b的值，即可求得答案。(2)過C作CD/y軸，交x軸于點(diǎn)E,交OB于點(diǎn)D,過B作BFLCD于點(diǎn)F,可知點(diǎn)C、D、E、F的橫坐標(biāo)相等，因此設(shè)設(shè)C(t,2t23t),則E(t,0),D(t,t),F(t,2),再表示出OE、BF、CD的長，然后根據(jù)Sxobc=Scdo+Sxcdb=2,建立關(guān)于t的方程，求出t的值，即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)。(3)根據(jù)已知條件易證AOBNOB,就可求出ON的長，得出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)B、N的

10、坐標(biāo)求出直線BN的函數(shù)解析式，再將二次函數(shù)和直線BN聯(lián)立方程組，求出點(diǎn)Man的坐標(biāo)，求出OB、OC的長，再根據(jù)POgMOB,得出處',/POC=/BOM,然后分情況討論：當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時，如圖3,過M作MGy軸于點(diǎn)G,過P作PHI±x軸于點(diǎn)H,證MOGsPOH,得出對應(yīng)邊成比例，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時，如圖4,過M作MGy軸于點(diǎn)G,過P作PHy軸于點(diǎn)H,同理可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可得出答案。4.已知直線m/n,點(diǎn)C是直線m上一點(diǎn)，點(diǎn)D是直線n上一點(diǎn)，CD與直線m、n不垂直，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn).mn切wfn(1)操作發(fā)現(xiàn)：直線l,m,l±n,垂足分別

11、為A、B,當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(如圖所示)，連接PB,請直接寫出線段PA與PB的數(shù)量關(guān)系：.(2)猜想證明：在圖的情況下，把直線l向上平移到如圖的位置，試問(1)中的PA與PB的關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.(3)延伸探究：在圖的情況下，把直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得/APB=90(如圖所示)，若兩平行線m、n之間的距離為2k.求證：PA?PB=k?AB【答案】(1)PA=PB(2)解：把直線l向上平移到如圖的位置，PA=PM然成立，理由如下：如圖，過C作CE!n于點(diǎn)E,連接PE,三角形CED是直角三角形，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，PD=PEPC=PE-PD=PE/CDE=ZP

12、EB直線m/n,./CDE=ZPCA,，/PCA=/PEB又.直線l,m,l±n,CELm,CE!n,：.HCE,，AC=BEPC=PEZPCA=PEB在APAC和PBE中，AC=BE.PAgPBE,.PA=PB(3)解：如圖，延長AP交直線n于點(diǎn)F,彳AE±BD于點(diǎn)E,消D3直線APPCPFPD,AP=PF,/APB=90,°BP±AF,又AP=PF,BF=AB;ZBPF=90°AAEFABPF,PA?PB=k?AB三角形CBD是直角三角形，又二.點(diǎn)P在AAEF和4BPF中，.AF?BP=AE?BF.AF=2PA,AE=2k,BF=AB,.2

13、PA?PB=2kAB,【解析】【解答】解：（1）.IXn,BC±BD,為線段CD的中點(diǎn),PA=PB【分析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半；(2)把直線l向上平移到如圖的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：如圖，過C作CE!n于點(diǎn)E,連接PE,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半得出PD=PE=PC根據(jù)等邊對等角得出/CDE=ZPEB,根據(jù)二直線平行，內(nèi)錯角相等得出/CDE=ZPCA,故/PCA=ZPEB,根據(jù)夾在兩平行線間的平行線相等得出AC=BE然后利用SAS判斷出PACPBE,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得出PA=PB(3)如圖，延長AP交直線n于點(diǎn)F,彳A

14、ELBD于點(diǎn)E,根據(jù)平行線分線段成比例定理得出AP=PF,根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等得出BF=AB;然后判斷出AEFBPF,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出AF?BP=AE?BF根據(jù)等量代換得出2PA?PB=2kAB,即PA?PB=k?AB5.如圖，已知AB是。的直徑，弦CD與AB交于點(diǎn)E,F為CD的延長線上一點(diǎn)，連接AF,且FA2=FD?FCFAFC:.Fl)FA(1)求證：FA為。的切線；(2)若AC=8,CEED=6:5,AE:EB=2:3,求AB的值.【答案】(1)證明：連接BD>AD,如圖，3 /F=ZF,4 .FADAFCA./DAF=ZC.5 /D

15、BA=ZC,/DBA=ZDAF.AB是。的直徑，-90ldba+-必第=緲'.N/四=緲;即afiAB.FA為。O的切線.(2)解：設(shè)CE=6x,AE=2y,則ED=5x,EB=3y.由相交弦定理得：EC?ED=EB?EA.3涼二二./-q技/展=n加,|I上汽2=",好二辭"士院，尾二，夢一內(nèi)婷.-.田畫ynx）二曲斗五小小后戶.FD=5x.工聲=H）-FC=N*,|心標(biāo)i叱:您一堆二的：|.展三"=然：.FADAFCA.ADDF.5x5x，"峭解得：|陽="=闖立='A二.AB的值為10【解析】【分析】（1）連接BD、AD,

16、根據(jù)兩邊成比例且夾角相等可得FAgFCA;由FADFCA及同弧所對的圓周角相等可得/DBA=ZDAF;再根據(jù)直徑所對的圓周角是直角即可得出結(jié)論。（2）設(shè)CE=6x則ED=5x,用相交弦定理表示出則AE的長，用勾股定理及題中的已知條件分別表示出FD>AF、AD的長；再利用FA24FCA即可得出結(jié)論。6.在正方形被方中，岱屋點(diǎn)火在邊上，.：點(diǎn)（是在射線身,上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)!<作一初的平行線交射線也于點(diǎn)由，點(diǎn)力在射線上，使1a始終與直線垂直.（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)才與點(diǎn)/重合時，求同的長；9C(2)如圖2,試探索：正的比值是否隨點(diǎn)匕的運(yùn)動而發(fā)生變化？若有變化，請說明你的理由；若沒有變化，請

17、求出它的比值；aRDMBC(3)如圖3,若點(diǎn)|，C在線段用上，設(shè)網(wǎng).1，川，求/關(guān)于5的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域.BC【答案】(1)解：由題意，得隨=應(yīng)-5=.切S/C=-町在Rt慶苗中，上=如PCtM/FBC-JB(、三弋式0/PBC-AJJT6.RFJ.ZBPC=/明徵s，制PBPCRF胤(2)解：答：密的比值隨點(diǎn)匕的運(yùn)動沒有變化理由：如圖，.膿八站/惻,|ZQMR=/r-/為90士Q岷ZC-90s.RQ±BC:.Z7+/相蝮90s|ZABC=ABP+/都=為”|.|/；*=/花.'.加幾sPCBR薄PGFT%ERM3.旗的比值隨點(diǎn)G的運(yùn)動沒有變化，比值為.祝/同,版

18、/AB.度/監(jiān)楣:丁316“、踞二四*小-工-又，102_1,1LV，子一.3393v-才+-,切二260x一它的定義域是I5【解析】【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=AD=8,ZC=ZA=90；在RtBCP中，根據(jù)正切函數(shù)的定義得出tan/PBC=PC:BC,又tan/PBC口=從而得出PC的長，進(jìn)而得出RP的長，根據(jù)勾股定理得出PB的長，然后判斷出PBCPRQ根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出PB：RP=PC：PQ,從而得出PQ的長；(2)RM:MQ的比值隨點(diǎn)Q的運(yùn)動沒有變化，根據(jù)二直線平行同位角相等得出/1=/ABP,/QMR=/A,根據(jù)等量代換得出/QMR=/C=90,根

19、據(jù)根據(jù)等角的余角相等得出/RQM=/PBC,從而判斷出RMQpCB,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，得出PM:MQ=PC：BC從而得出答案；(3)延長BP交AD的延長線于點(diǎn)N,根據(jù)平行線分線段成比例定理得出PD：AB=ND：NA,又NA=ND+AD=8+ND,從而得出關(guān)于ND的方程，求解即可得出ND,根據(jù)勾股定理得出PN,根據(jù)平行線的判定定理得出PD/MQ,再根據(jù)平行線分線段成比例定理得出PD：MQ=NP：NQ,又RM:MQ=3:4,RM=y,從而得出MQ=Jy,又PD=2,N16Q=PQ+PN=x+；,根據(jù)比例式，即可得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。7.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線¥=an，

20、,bxi匕6-0)與上軸的兩個交點(diǎn)分別為A(-3,0)、B(1,0),與y軸交于點(diǎn)D(0,3),過頂點(diǎn)C作CHI±x軸于點(diǎn)H.(備用：可(1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)連結(jié)AD、CD,若點(diǎn)E為拋物線上一動點(diǎn)(點(diǎn)E與頂點(diǎn)C不重合)，當(dāng)4ADE與ACD面積相等時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P為拋物線上一動點(diǎn)(點(diǎn)P與頂點(diǎn)C不重合)，過點(diǎn)P向CD所在的直線作垂線，垂足為點(diǎn)Q,以P、CQ為頂點(diǎn)的三角形與4ACH相似時，求點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】(1)解：設(shè)拋物線的解析式為Y-W字bKyfd-",拋物線過點(diǎn)A(-3,0),B(1,0),D(0,3),9a-3b+s=Gfa+b+w

21、=G七二3,解得，a=-i,b=-2,c=3,.拋物線解析式為卜一工237,頂點(diǎn)c(-1,4)；(2)解：如圖1,A(-3,0),D(0,3),，直線AD的解析式為y=x+3,設(shè)直線AD與CH交點(diǎn)為F,則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-1,2），CF=FH分別過點(diǎn)C、H作AD的平行線，與拋物線交于點(diǎn)E,由平行間距離處處相等，平行線分線段成比例可知，ADE與ACD面積相等，直線EC的解析式為y=x+5,直線EH的解析式為y=x+1,y-x-f-5,y-x-f-1分別與拋物線解析式聯(lián)立，得）二d-3,V=/為#3,一3+i'1/7一上+71：5y/l1r-J-解得點(diǎn)E坐標(biāo)為（-2,3）,（5'J&

22、#39;,'J不'（3）解：若點(diǎn)P在對稱軸左側(cè)（如圖2）,只能是CPgACH,得/PCQ=ZCAH,CQ初，分別過點(diǎn)C、P作x軸的平行線，過點(diǎn)Q作y軸的平行線，交點(diǎn)為M和N,由CQMsQPN,PQPNQN二得CQMQCM=2,/MCQ=45°,設(shè)CM=m,貝UMQ=m,PN=QN=2m,MN=3m,，P點(diǎn)坐標(biāo)為（-m-1,4-3m）,將點(diǎn)P坐標(biāo)代入拋物線解析式，得一”?*和:43二一比，解得m=3,或m=0（與點(diǎn)C重合，舍去）.P點(diǎn)坐標(biāo)為（-4,-5）;若點(diǎn)P在對稱軸右側(cè)（如圖），只能是PCMACH,得/PCQ=ZACH,PQAH/-CQciij延長CD交x軸于M,M

23、(3,0)過點(diǎn)M作CM垂線，交CP延長線于點(diǎn)F,彳FN上|x軸于點(diǎn)N,/MCH=45；CH=MH=4.MN=FN=2,.F點(diǎn)坐標(biāo)為(5,2),直線CF的解析式為y=聯(lián)立拋物線解析式，得35p解得點(diǎn)P坐標(biāo)為9),綜上所得，符合條件的【解析】【分析】(P點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,-5),(35下).1)將A(-3,0)、B(1,0)、D(0,3),代入y=ax2+bx+3求出即可；(2)求出直線AD的解析式，分別過點(diǎn)C、H作AD的平行線，與拋物線交于點(diǎn)E,利用ADE與4ACD面積相等，得出直線EC和直線EH的解析式，聯(lián)立出方程組求解即可;(3)(3)分兩種情況討論：點(diǎn)P在對稱軸左側(cè)；點(diǎn)P在對稱軸右側(cè).8.定

24、義：如圖，若點(diǎn)D在幺ABC的邊ab上，且滿足kACD/B,則稱滿足這樣條件的點(diǎn)為ABC的理想點(diǎn)”(1)如圖1),若點(diǎn)D是4ABC的邊AB的中點(diǎn)，RC=9,AB=九試判斷點(diǎn)不是AAB&的理想點(diǎn)”，并說明理由;(2)如圖，在Rl/ABC中，-如，AB5,AC-J,若點(diǎn)D是|ABC的理想點(diǎn)”，求CD的長；(3)如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)人他)，B9,然,C為x軸正半軸上一點(diǎn)，且滿足ACB=、拓“，在丫軸上是否存在一點(diǎn)D,使點(diǎn)A,B,C,D中的某一點(diǎn)是其余三點(diǎn)圍成的三角形的理想點(diǎn)”.若存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】(1)解：結(jié)論：點(diǎn)口是£AB&的理

25、想點(diǎn)”.理由：如圖工中，D圖理想點(diǎn)”,(2)解：如圖中,圖丁點(diǎn)D是A“的理想點(diǎn)”,/4CD或jECD4當(dāng)"ACD=，日時，了+4CD=如0JSUB-如'，當(dāng)|CD=時，同法證明：ID上AB,在Rl位。中，:"上KB-90ABJ,|AC),bc-Jab?-A/=J,71r-ABCD-ACJBG09(3)解：如圖中，存在，有三種情形:圖過點(diǎn)A作MA上M交CB的延長線于M,作MH上3軸于H.：=上40c=上和H=如"LfK'M=15°?:AMC=ACM二拓°?AMM,丁二MAU+-CA0=強(qiáng)"/M)+-M0=90口?J4M，

26、也。? ：/仙心AWAAA5),皿-o4,oc施，設(shè)c&加，rX(0f2)B故-3)? ：0A=MH=d0R=33R=aOC=AH=aBH=a-4? ；丁解得2-d或-"舍棄|J,經(jīng)檢驗總6是分式方程的解，JC色心MY,當(dāng)/DQ上：必時，點(diǎn)a是二BCD/的理想點(diǎn)，.設(shè)D“&W了ZD芭A二zABC,|41）冰-zW出，JdD.MsGD/b,HCO：。熱D.U, ：/，粉-血-2）（in7）,解得m-£, 二Dj包，.當(dāng)ZB（A-田時，點(diǎn)a是Z!BID的理想點(diǎn)”.易知：4口刃=乩尸, :0必-0C6,J以色£.當(dāng)/MA=上皿（時，點(diǎn)8是£AC

27、Dj的理想點(diǎn)”易知：CDjO=6,JODs=0C=6? :DK4-6）.綜上所述，滿足條件的點(diǎn)D坐標(biāo)為方或色加或|很幻.【解析】【分析】（1）結(jié)論：點(diǎn)D是I與A0C的理想點(diǎn)|只要證明|色ACDs|ABC即可解決問題；（2）只要證明CD1AB即可解決問題；（3）如圖中，存在有三種情形：過點(diǎn)A作胴上AC交CB的延長線于M,作MH軸于H構(gòu)造全等三角形，利用平行線分線段成比例定理構(gòu)建方程求出點(diǎn)C坐標(biāo)，分三種情形求解即可解決問題；9.RtABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=7,點(diǎn)P是邊AC上不與點(diǎn)A、C重合的一點(diǎn)，作PD/BC交AB邊于點(diǎn)D.（1）如圖1,將4APD沿直線AB翻折，得到

28、AP'D,作AE/PD求證：AE=ED;（2）將4APD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，得到AP'D',點(diǎn)P、D的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)P'、D',如圖2,當(dāng)點(diǎn)D'在4ABC內(nèi)部時，連接P'僑口D'B,求證：AP'84AD'B;T如果AP:PC=5:1,連接DD',且DD'=、lAD,那么請直接寫出點(diǎn)D'到直線BC的距離.【答案】（1）證明：WAAPD沿直線AB翻折，得到AP'D,/ADP'=/ADP,AE/PD,/EAD=/ADP,/EAD=/ADP',，AE=DE(2)解：.DP/BC

29、, .APDAACB,apal云一才 旋轉(zhuǎn),.AP=AP',AD=AD',/PAD=/P'AD',APfADf/P'AC=/D'AB,ACAB, .AP'CAAD'B若點(diǎn)D'在直線BC下方，如圖，過點(diǎn)A作AF±DD',過點(diǎn)D'作D'MAC,交AC的延長線于M,.AP:PC=5:1, .AP:AC=5:6,1.PD/BC,APPD5.=c及=6,BC=7,3B.PD=,旋轉(zhuǎn),.AD=AD',且AF±DD',I.DF=D'F=kD'D,/ADF=/AD

30、'F,.cosZADF=，'協(xié)=A。/ADF=45；/AD'F=45°,/D'AD=90/D'AM+/PAD=90；-.D'M±AM,.D'AM+/AD'M=90；ZPAD=/AD'M，且AD'=AD,/AMD'=/APD,.AD'MADAP(AAS刈,-.PD=AM=",3. .CM=AMAC=G3,.CM=點(diǎn)D'到直線BC的距離為6若點(diǎn)D'在直線BC的上方，如圖，過點(diǎn)D'作D'M，AC,交CA的延長線于點(diǎn)M,.AM=PD=方, .CM

31、=AC+AM,典光 .CM=3+6=4,點(diǎn)D'到直線BC的距離為6綜上所述：點(diǎn)D'到直線BC的距離為方或回；即可【解析】【分析】(1)由折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得/EAD=/ADP=/ADP',得AE=DE;(2)由題意可證APgACB,可得AP正AL槍,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP=AP',AD=AD',/PAD=/P'AD',即/P'AC=/D'AB,則AAP'CAAD'B;分點(diǎn)D,在APr直線BC的下方和點(diǎn)D'在直線BC的上方AD冊兩種情況討論，根據(jù)平行線分線段成比例，可求PD=6,通過證明AMD&

32、#39;DPA,可得AM=PD=6,即可求點(diǎn)D'到直線BC的距離.10.如圖，拋物線y=ax2-5ax+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A,C,E三點(diǎn)，其中A(-3,0),C(0,4)，點(diǎn)B在x軸上，AC=BC過點(diǎn)B作BD)±x軸交拋物線于點(diǎn)D,點(diǎn)M,N分別是線段CO,BC上的動點(diǎn)，且CM=BN,連接MN,AM,AN.(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)當(dāng)4CMN是直角三角形時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)試求出AM+AN的最小值.【答案】(1)解：把A(3,0),C(0,4)代入y=ax25ax+c得1就二麴+15a+u=0i61r4，解得c-,i網(wǎng)，拋物線解析式為y=-f1x2+右x+

33、4； .AC=BC,CO>±AB,.OB=OA=3, B(3,0),.BDx軸交拋物線于點(diǎn)D, .D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,J.：j當(dāng)x=3時，y=-f'x9+x3+4=5 .D點(diǎn)坐標(biāo)為(3,5)。(2)解：在RtOBC中，BC=1加+必=*=5,設(shè)M(0,m),貝UBN=CM=4-m,CN=5(4m)=m+1, /MCN=ZOCB,CMcs.當(dāng)COG時，CMNsCOB,貝U/CMN=/COB=90；4-mni1lb16即75,解得m=",此時m點(diǎn)坐標(biāo)為(0,9)；cma當(dāng)加G時，CMNsCBO,貝U/CNM=/COB=90,4-mju1II11即5/,解得m=g,此

34、時M點(diǎn)坐標(biāo)為(0,9);16綜上所述，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,911)或(0,丁)。(3)解：連接DN,AD,如圖，,.AC=BC,CO,AB, OC平分/ACB,ZACO=ZBCO, BD/OC,/BCO=ZDBC, DB=BC=AC=5CM=BN, .ACMADBN,.AM=DN, .AM+AN=DN+AN,而DN+ANAD(當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A、N、D共線時取等號)，DN+AN的最小值=AD=、爐*/M,.AM+AN的最小值為7質(zhì).【解析】【分析】(1)將A(-3,0),C(0,4)代入函數(shù)解析式構(gòu)造方程組解出a,c的值可得拋物線解析式；由AC=BQCO>±AB,根據(jù)等腰三角形的三線合

35、一”定理，可得OB=OA=3,而BDx軸交拋物線于點(diǎn)D,則D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,當(dāng)x=3時求得y的值，即可得點(diǎn)D的坐標(biāo)。(2)當(dāng)4CMN是直角三角形時，有兩種情況：/CMN=90,或/CNM=9°0,則可得CMNsCOB,或CMNscbq由對應(yīng)邊成比例，設(shè)M(0,m),構(gòu)造方程解答即可。(3)求AM+AN的最小值，一般有兩種方法：解析法和幾何法；解析法：用含字母的函數(shù)關(guān)系式表示出AM+AN的值，根據(jù)字母的取值范圍和函數(shù)的最值來求；幾何法：將點(diǎn)A,M,N三點(diǎn)移到一條直線上；此題適用于幾何法：觀察圖象不難發(fā)現(xiàn)，AC=BD=5,CM=BN,且/BCO=/DBC,連接AD,可證得ACM0DBN,

36、貝UAM=DN,而DN+AN>AD(當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A、N、D共線時取等號)，求AD的長即可。11.在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動，4ABC是邊長為2的等邊三角形，E是AC上一點(diǎn)，小亮以BE為邊向BE的右側(cè)作等邊三角形BEF,連接CF.ABAB圖1®2(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時，EF、BC相交于點(diǎn)D,小亮發(fā)現(xiàn)有兩個三角形全等，請你找出來，并證明；(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上運(yùn)動時，點(diǎn)F也隨著運(yùn)動，若四邊形ABFC的面積為X求AE的長；(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長線上運(yùn)動時，CFBE相交于點(diǎn)D,請你探求4ECD的面積S1與4DBF的面積S2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；國(4)如圖2,當(dāng)4ECD的面積S=方時，求AE的長.【答案】(1)解：現(xiàn)點(diǎn)E沿邊AC從點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動過程中，始終有ABE?CBF.由圖1知，4ABC與AEBF都是等邊三角形，AB=CBBE=BF/ABC=/EBF=60,/CBF=/ABE=60-ZCBEABE?ACBF.(2)解：由(1)知點(diǎn)E在運(yùn)動過程中始終有ABE?CBF,因四邊形BECF的面積等于三角形BCF的面積與三角形BCE的面積之和,四邊形BECF的面積等于4ABC的面積，因4ABC的邊長為四邊形BECF的面積為又四邊形ABFC的面積是隊/3SA二.J,在三角形ABE中，因ZA=60；.,邊AB上的高為