2013年高三理科數(shù)學(xué)一模試題朝陽區(qū)含答案

1、2013年高三理科數(shù)學(xué)一模試題（朝陽區(qū)含答案）北京市朝陽區(qū)高三年級(jí)第一次綜合練習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)科測試（理工類）2013.4（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題（共40分）和非選擇題（共110分）兩部分第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).（1）為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部是A.B.C.D.（2）已知集合，則A.B.C.D.（3）已知向量，.若，則實(shí)數(shù)的值為A.B.C.D.（4）在極坐標(biāo)系中，直線與曲線相交于兩點(diǎn)，為極點(diǎn)，則的大小為A.B.C.D.（5）在下列命題中，“”是“”的充要條件；的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

2、；設(shè)隨機(jī)變量，若，則.其中所有正確命題的序號(hào)是A.B.C.D.（6）某個(gè)長方體被一個(gè)平面所截，得到的幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為A.B.C.D.8（7）拋物線（>）的焦點(diǎn)為，已知點(diǎn)，為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足.過弦的中點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最大值為A.B.1C.D.2（8）已知函數(shù).若，使成立，則稱為函數(shù)的一個(gè)“生成點(diǎn)”.函數(shù)的“生成點(diǎn)”共有A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)第二部分（非選擇題共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡上.（9）在等比數(shù)列中，則，為等差數(shù)列，且，則數(shù)列的前5項(xiàng)和等于.（10）在中，分別為角，C

3、所對(duì)的邊.已知角為銳角，且，則.（11）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果S=.（12）如圖，圓是的外接圓，過點(diǎn)C作圓的切線交的延長線于點(diǎn).若，則線段的長是；圓的半徑是.（13）函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且滿足.當(dāng)時(shí)，.若在區(qū)間上方程恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.（14）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)是半圓（<<）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長線上.當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是.三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.（15）（本小題滿分13分）已知函數(shù)（）的最小正周期為.（I）求的值及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（n）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的取值范圍.

4、（16）（本小題滿分13分）盒子中裝有四張大小形狀均相同的卡片，卡片上分別標(biāo)有數(shù)字.稱“從盒中隨機(jī)抽取一張，記下卡片上的數(shù)字后并放回”為一次試驗(yàn)（設(shè)每次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響）.（I）在一次試驗(yàn)中，求卡片上的數(shù)字為正數(shù)的概率；（n）在四次試驗(yàn)中，求至少有兩次卡片上的數(shù)字都為正數(shù)的概率；（m）在兩次試驗(yàn)中，記卡片上的數(shù)字分別為，試求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.（17）（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐中，平面平面，且，.四邊形滿足，.點(diǎn)分別為側(cè)棱上的點(diǎn)，且.（I）求證：平面；（n）當(dāng)時(shí)，求異面直線與所成角的余弦值；（田）是否存在實(shí)數(shù)，使得平面平面？若存在，試求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.（18）（

5、本小題滿分13分）已知函數(shù)，其中.（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（n）若函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（19）（本小題滿分14分）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓過點(diǎn)，離心率為，點(diǎn)為其右頂點(diǎn).過點(diǎn)作直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，直線，與直線分別交于點(diǎn)，.（I）求橢圓的方程；（n）求的取值范圍.（20）（本小題滿分13分）設(shè)是數(shù)的任意一個(gè)全排列，定義，其中.（I）若，求的值；（II）求的最大值；（田）求使達(dá)到最大值的所有排列的個(gè)數(shù).北京市朝陽區(qū)高三年級(jí)第一次綜合練習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)科測試答案（理工類）2013.4一、選擇題：題號(hào)（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案ADACCDAB二、填空題

6、：題號(hào)（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案，（注：兩空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答題：（15）（本小題滿分13分）解：（I）.4分因?yàn)樽钚≌芷跒?，所?6分所以.由，得.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,8分（H）因?yàn)?，所以?0分所以12分所以函數(shù)在上的取值范圍是.13分（16）（本小題滿分13分）解：（I）設(shè)事件A:在一次試驗(yàn)中，卡片上的數(shù)字為正數(shù)，則.答：在一次試驗(yàn)中，卡片上的數(shù)字為正數(shù)的概率是.3分（H）設(shè)事件B:在四次試驗(yàn)中，至少有兩次卡片上的數(shù)字都為正數(shù).由（I）可知在一次試驗(yàn)中，卡片上的數(shù)字為正數(shù)的概率是.所以.答：在四次試驗(yàn)中，至少有兩次卡片上的數(shù)字都為正數(shù)

7、的概率為7分（田）由題意可知，的可能取值為，所以隨機(jī)變量的可能取值為.；.所以隨機(jī)變量的分布列為所以.13分（17）（本小題滿分14分）證明：（I）由已知，所以.因?yàn)?，所?而平面，平面，所以平面4分（H）因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，且，所以平?所以，.又因?yàn)椋詢蓛纱怪?5分如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，為中點(diǎn)，所以，所以.設(shè)異面直線與所成的角為，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為9分（田）設(shè)，則.由已知，所以，所以所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，所以即令，?設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，所以即令，則.若平面平面，則，所以，解得.所以當(dāng)時(shí)，平面平面14分（18）（本小題

8、滿分13分）解：函數(shù)定義域?yàn)?，?分當(dāng)，即時(shí)，令，得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，令，得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.當(dāng)，即時(shí)，令，得或，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.令，得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)，即時(shí),恒成立，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.7令（H）當(dāng)時(shí)，由（I）可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，在單調(diào)遞增.所以在上的最小值為，由于，要使在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，需滿足或解得或.當(dāng)時(shí)，由（I）可知，（？時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；且，所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).（？）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，總有.因?yàn)?，所?所以在區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn).又因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，從而當(dāng)時(shí)，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，或或時(shí)，

9、在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).13分（19）（本小題滿分14分）解：（I）設(shè)橢圓的方程為，依題意得解得，.所以橢圓的方程為4分（H）顯然點(diǎn).（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，易得，所以6分（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由題意可設(shè)直線的方程為，顯然時(shí)，不符合題意.由得.新課標(biāo)第一網(wǎng)設(shè)，則.直線，的方程分別為：，令，則.所以,10分所以12分因?yàn)?，所以，所以，?綜上所述，的取值范圍是14分（20）（本小題滿分13分）解：（I）.3分（H）數(shù)的倍與倍分別如下：其中較大的十個(gè)數(shù)之和與較小的十個(gè)數(shù)之和的差為，所以.對(duì)于排列，此時(shí)，所以的最大值為8分（出）由于數(shù)所產(chǎn)生的個(gè)數(shù)都是較小的數(shù)，而數(shù)所產(chǎn)生的個(gè)數(shù)都是較大的數(shù)，所以使取最大值的排列中，必須保證數(shù)互不相鄰，數(shù)也互不相鄰；而數(shù)和既不能排在之一的后面，又不能排在之一的前面.設(shè)，并參照下面的符號(hào)排列?？?/p>