高中數(shù)學(xué)--離散型隨機(jī)變量的分布列

1、.wd離散型隨機(jī)變量的分布列一.根本理論(一)根本概念(1) 隨機(jī)變量如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個變量表示,那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量來表示, 隨機(jī)變量常用希臘字母等表示.(2) 離散型隨機(jī)變量:如果對于隨機(jī)變量可能取的值,我們可以按一定次序一一列出,這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.例如,射擊命中環(huán)數(shù)是一個離散型隨機(jī)變量.(3) 連續(xù)型隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值,這樣的隨機(jī)變量叫連續(xù)型隨機(jī)變量.二離散型隨機(jī)變量的分布列1.設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為,取每一個值的概率,那么稱下表 P 為隨機(jī)變量的概率分布,簡稱為的分布列.分布列的表達(dá)式可以是如下的幾種(A)表格形式; (B

2、)一組等式 (C)壓縮為一個帶的形式.2.由概率的性質(zhì)知,任一離散型隨機(jī)變量的分布列具有以下二個性質(zhì):(A) (B)3.求分布列三種方法(1)由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到離散型隨機(jī)變量分布列；(2)由古典概型求出離散型隨機(jī)變量分布列；(3)由互斥事件、獨(dú)立事件的概率求出離散型隨機(jī)變量分布列4.離散型隨機(jī)變量的期望與方差一般地,假設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布列為 P 那么稱為的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù).或均值.為的均方差.簡稱方差.叫標(biāo)準(zhǔn)差.性質(zhì): (1) (2) (3)三幾種常見的隨機(jī)變量的分布X10Ppq1.兩點(diǎn)分布如果隨機(jī)變量X的分布列為其中0<p<1，q1p，那么稱離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)

3、分布2.二項(xiàng)分布 在一次隨機(jī)試驗(yàn)中,某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生,在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個事件發(fā)生的次數(shù)是一個隨機(jī)變量.假設(shè)在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P,那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個事件恰好發(fā)生次的概率是得到隨機(jī)變量的概率分布如下 0 1 P 稱隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,記作B(n,p),并記=b(k;n,p)3. 超幾何分布一般地,在含有M件次品中的N件產(chǎn)品中,任取件,其中恰有X件次品數(shù),那么事件發(fā)生的概率為其中稱分布列 0 1 P 二.題型分析題型1.由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)求離散型隨機(jī)變量的分布列題1.(2021·北京改編)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù)分別從甲、乙兩組中各隨機(jī)選取

4、一名同學(xué)(1)求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)y的分布列；(2)每植一棵樹可獲10元，求這兩名同學(xué)獲得錢數(shù)的數(shù)學(xué)期望審題視點(diǎn) 此題解題的關(guān)鍵是求出Y的取值及取每一個值的概率，注意用分布列的性質(zhì)進(jìn)展檢驗(yàn)解(1)分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)的方法種數(shù)是4×416，這兩名同學(xué)植樹總棵數(shù)Y的取值分別為17,18,19,20,21，P(Y17)P(Y18)P(Y19)P(Y20)P(Y21)那么隨機(jī)變量Y的分布列是：Y1718192021P(2)由(1)知E(Y)19，設(shè)這名同學(xué)獲得錢數(shù)為X元，那么X10Y，那么E(X)10E(Y)190.題2.【2021高考真題廣東理17】本小題總分值13分某

5、班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖4所示，其中成績分組區(qū)間是：40,5050,6060,7070,8080,9090,1001求圖中x的值；2從成績不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，該2人中成績在90分以上含90分的人數(shù)記為，求得數(shù)學(xué)期望【答案】此題是在概率與統(tǒng)計(jì)的交匯處命題，考察了用樣本估計(jì)總體等統(tǒng)計(jì)知識以及離散型隨機(jī)變量的分布列及期望，考察學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，難度中等?！窘馕觥款}型2 由古典概型求離散型隨機(jī)變量的分布列題3.2021年韶關(guān)二模有一個3×4×5的長方體, 它的六個面上均涂上顏色. 現(xiàn)將這個長方體鋸成60個1×1

6、15;1的小正方體，從這些小正方體中隨機(jī)地任取1個，設(shè)小正方體涂上顏色的面數(shù)為.求的概率；求的分布列和數(shù)學(xué)期望.60個1×1×1的小正方體中，沒有涂上顏色的有6個， 3分由1可知； 7分分布列0123p 10分 E=0×+1×+2×+3×= 12分題4.【2021高考真題浙江理19】箱中裝有4個白球和5個黑球，且規(guī)定：取出一個白球的2分，取出一個黑球的1分現(xiàn)從該箱中任取(無放回，且每球取到的時機(jī)均等)3個球，記隨機(jī)變量X為取出3球所得分?jǐn)?shù)之和()求X的分布列；()求X的數(shù)學(xué)期望E(X)【答案】此題主要考察分布列，數(shù)學(xué)期望等知識點(diǎn)。()

7、 X的可能取值有：3，4，5，6； ； 故，所求X的分布列為X3456P () 所求X的數(shù)學(xué)期望E(X)為：E(X)題型3.由獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率求離散型隨機(jī)變量的分布列題5.【2021高考真題重慶理17】甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一票.約定甲先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃完畢.設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響.求甲獲勝的概率；求投籃完畢時甲的投籃次數(shù)的分布列與期望【答案】題6.【2021高考真題全國卷理19】乒乓球比賽規(guī)那么規(guī)定：一局比賽，雙方比分在10平前，一方連續(xù)發(fā)球2次后，對方再連續(xù)發(fā)球2次，依次輪換.每次發(fā)球，勝方得1分

8、，負(fù)方得0分.設(shè)在甲、乙的比賽中，每次發(fā)球，發(fā)球方得1分的概率為0.6，各次發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立.甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球.求開場第4次發(fā)球時，甲、乙的比分為1比2的概率；表示開場第4次發(fā)球時乙的得分，求的期望.【答案】題型4.兩點(diǎn)分布題7.某公司有5萬元資金用于投資開發(fā)工程，如果成功，一年后可獲利12%；一旦失敗，一年后將喪失全部資金的50%.下表是過去200例類似工程開發(fā)的實(shí)施結(jié)果：投資成功投資失敗192次8次那么該公司一年后估計(jì)可獲收益的期望是_解析設(shè)該公司一年后估計(jì)可獲得的錢數(shù)為X元，那么隨機(jī)變量X的取值分別為50 000×12%6 000(元)，50 000×

9、;50%25 000(元)由條件隨機(jī)變量X的概率分布列是X6 00025 000P因此E(X)6 000×(25 000)×4 760答案4 760題型4.二項(xiàng)分布題8.廣東省惠州市2021屆高三第三次調(diào)研理科在一個圓錐體的培養(yǎng)房內(nèi)培養(yǎng)了40只蜜蜂，準(zhǔn)備進(jìn)展某種實(shí)驗(yàn)，過圓錐高的中點(diǎn)有一個不計(jì)厚度且平行于圓錐底面的平面把培養(yǎng)房分成兩個實(shí)驗(yàn)區(qū)，其中小錐體叫第一實(shí)驗(yàn)區(qū)，圓臺體叫第二實(shí)驗(yàn)區(qū)，且兩個實(shí)驗(yàn)區(qū)是互通的。假設(shè)蜜蜂落入培養(yǎng)房內(nèi)任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪個位置相互之間是不受影響的。1求蜜蜂落入第二實(shí)驗(yàn)區(qū)的概率；2假設(shè)其中有10只蜜蜂被染上了紅色，求恰有一只紅色蜜蜂落入第二

10、實(shí)驗(yàn)區(qū)的概率；3記為落入第一實(shí)驗(yàn)區(qū)的蜜蜂數(shù)，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。解：1記“蜜蜂落入第一實(shí)驗(yàn)區(qū)為事件,“蜜蜂落入第二實(shí)驗(yàn)區(qū)為事件.1分依題意，3分 蜜蜂落入第二實(shí)驗(yàn)區(qū)的概率為。 4分2記“恰有一只紅色蜜蜂落入第二實(shí)驗(yàn)區(qū)為事件，那么 5分 恰有一只紅色蜜蜂落入第二實(shí)驗(yàn)區(qū)的概率. 8分3因?yàn)槊鄯渎淙肱囵B(yǎng)房內(nèi)任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪個位置相互之間是不受影響的，所以變量滿足二項(xiàng)分布，即10分隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望=40×=5 12分題9.2021年茂名二模在我市“城鄉(xiāng)清潔工程建立活動中，社會各界掀起凈化美化環(huán)境的熱潮.某單位方案在小區(qū)內(nèi)種植四棵風(fēng)景樹，受本地地理環(huán)境的影響，兩棵樹的成活

11、的概率均為，另外兩棵樹為進(jìn)口樹種，其成活概率都為，設(shè)表示最終成活的樹的數(shù)量.1假設(shè)出現(xiàn)有且只有一顆成活的概率與都成活的概率相等，求的值；2求的分布列用表示；3假設(shè)出現(xiàn)恰好兩棵樹成活的的概率最大，試求的取值范圍.解：1由題意，得，.2分2的所有可能取值為0,1,2,3,4. 3分4分5分6分7分8分得的分布列為：9分012343由，顯然, 10分11分12分由上述不等式解得的取值范圍是.13分題型5.超幾何分布題10. 某校組織一次冬令營活動，有8名同學(xué)參加，其中有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)，為了活動的需要，要從這8名同學(xué)中隨機(jī)抽取3名同學(xué)去執(zhí)行一項(xiàng)特殊任務(wù)，記其中有X名男同學(xué).1求X的概率分布；2

12、求去執(zhí)行任務(wù)的同學(xué)中有男有女的概率.解 1X的可能取值為0，1，2，3.根據(jù)公式PX=m=算出其相應(yīng)的概率，即X的概率分布為X0123P2去執(zhí)行任務(wù)的同學(xué)中有男有女的概率為PX=1+PX=2=+=.題型6. 離散型隨機(jī)變量的均值和方差題11.(2021·北京)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù)乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以X表示(1)如果X8，求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差；(2)如果X9，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)Y的分布列和數(shù)學(xué)期望(注：方差s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中為x1，x2，xn的平均數(shù))解(1)當(dāng)

13、X8時，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：8,8,9,10，所以平均數(shù)為：；方差為：s2×(8)2(8)2(9)2(10)2.(2)當(dāng)X9時，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：9,9,11,11；乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是9,8,9,10.分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，共有4×416種可能的結(jié)果，這兩名同學(xué)植樹總棵數(shù)Y的可能取值為17,18,19,20,21.事件“Y17”等價于“甲組選出的同學(xué)植樹9棵，乙組選出的同學(xué)植樹8棵，所以該事件有2種可能的結(jié)果，因此P(Y17).同理可得P(Y18)；P(Y19)；P(Y20)；P(Y21).所以隨機(jī)變量Y的分布列為：Y171

14、8192021PEY17×P(Y17)18×P(Y18)19×P(Y19)20×P(Y20)21×P(Y21)17×18×19×20×21×19.題12.(2021·福建)某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2，8，其中X5為標(biāo)準(zhǔn)A，X3為標(biāo)準(zhǔn)B.甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)(1)甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下所示：X15678P0.4ab0.1且X

15、1的數(shù)學(xué)期望E(X1)6，求a，b的值；(2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：353385563463475348538343447567用這個樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望(3)在(1)、(2)的條件下，假設(shè)以“性價比為判斷標(biāo)準(zhǔn)，那么哪個工廠的產(chǎn)品更具可購置性？說明理由注：(1)產(chǎn)品的“性價比；(2)“性價比大的產(chǎn)品更具可購置性審題視點(diǎn) (1)利用分布列的性質(zhì)P1P2P3P41及E(X1)6求a，b值(2)先求X2的分布列，再求E(X2)，(3)利用提示信息判斷解(1)因?yàn)镋(X1)6

16、，所以5×0.46a7b8×0.16，即6a7b3.2.又由X1的概率分布列得0.4ab0.11，即ab0.5.由解得(2)由得，樣本的頻率分布表如下：X2345678f0.30.20.20.10.10.1用這個樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)X2的概率分布列如下：X2345678P0.30.20.20.10.10.1所以E(X2)3×0.34×0.25×0.26×0.17×0.18×0.14.8.即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8.(3)乙廠的產(chǎn)品更具可購置性理由如下：因?yàn)榧讖S產(chǎn)品的

17、等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于6，價格為6元/件，所以其性價比為1.因?yàn)橐覐S產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8，價格為4元/件，所以其性價比為1.2.據(jù)此，乙廠的產(chǎn)品更具可購置性?離散型隨機(jī)變量的分布列?作業(yè) 1.一袋中裝有編號為1，2，3，4，5，6的6個大小一樣的球，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個球，以X表示取出的最大號碼.1求X的概率分布；2求X4的概率.解 1X的可能取值為3，4，5，6，從而有：PX=3=，PX=4=，PX=5=，PX=6=.故X的概率分布為X3456P2PX4=PX=5+PX=6=.2.(2021·浙江)某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷假定該畢業(yè)

18、生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù)假設(shè)P(X0)，那么隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)_.審題視點(diǎn) 分別求出隨機(jī)變量X取每一個值的概率，然后求其期望解析由條件P(X0)即(1P)2×，解得P，隨機(jī)變量X的取值分別為0,1,2,3.P(X0)，P(X1)×22××2，P(X2)2××××2，P(X3)×2.因此隨機(jī)變量X的分布列為X0123PE(X)0×1×2×3×.答案3.廣東省

19、江門市2021屆高三數(shù)學(xué)理科3月質(zhì)量檢測試題甲、乙兩人各進(jìn)展3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率，I記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望E；II求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率4. 某校高三年級某班的數(shù)學(xué)課外活動小組中有6名男生，4名女生，從中選出4人參加數(shù)學(xué)競賽考試，用X表示其中的男生人數(shù)，求X的概率分布. 解 依題意隨機(jī)變量X服從超幾何分布，所以PX=k=k=0，1，2，3，4.4分PX=0=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,9分X的概率分布為X01234P 14分5.袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為.現(xiàn)有甲

20、、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時即終止每個球在每一次被取出的時機(jī)是等可能的，用X表示取球終止時所需要的取球次數(shù)(1)求袋中原有白球的個數(shù)；(2)求隨機(jī)變量X的分布列；(3)求甲取到白球的概率審題視點(diǎn) 對變量的取值要做到不重不漏，計(jì)算概率要準(zhǔn)確解(1)設(shè)袋中白球共有x個，根據(jù)條件，即x2x60，解得x3，或x2(舍去)(2)X表示取球終止時所需要的次數(shù)，那么X的取值分別為：1,2，3,4,5.因此，P(X1)，P(X2)，X12345P P(X3)，P(X4)，P(X5).那么隨機(jī)變量X的分布列為：(3)甲取到白球的概率為P.6. (

21、2021·江西)某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對其進(jìn)展一項(xiàng)測試，以便確定工資級別公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全一樣，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料假設(shè)4杯都選對，那么月工資定為3 500元；假設(shè)4杯選對3杯，那么月工資定為2 800元；否那么月工資定為2 100元令X表示此人選對A飲料的杯數(shù)假設(shè)此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力(1)求X的分布列；(2)求此員工月工資的期望解(1)X的所有可能取值為：0,1,2,3,4，P(Xi)(i0,1,2,3,4)，那么X01234P(2)令Y表示此員工的月工資，那么Y的所有可能取值為2 100，2 800,3 500，那么P(Y3 500)P(X4)，P(Y2 800)P(X3)，P(Y2 100)P(X2)，E(Y)3 500×2 800×2 100×2 280，所以此員工月工資的期望為2 280元7. 2021·湖北理，17袋中有20個大小一樣的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個n=1,2,3,4.現(xiàn)從袋中任取一球，表示所取球的標(biāo)號.1求的概率分布、期望和方差；2假設(shè)=a +b,E()=1,D()=11,試求