2012屆高考數(shù)學(xué)圓錐曲線方程復(fù)習(xí)題附答案

1、2012屆高考數(shù)學(xué)圓錐曲線方程復(fù)習(xí)題(附答案)第八章圓錐曲線方程綜合能力測(cè)試本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分。滿分150分?？荚嚾誸間120分鐘。第I卷(選擇題共60分)一、選擇題(每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。)1.雙曲線mx2+y2=1的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則m等于()A.14B.4C.4D.14答案：A命題意圖：主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)形式及相關(guān)的概念，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化及計(jì)算的能力.解析：雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式：y2-x2-1mF1則有：a2=1,b2=13.2a=2,2b=213/.2X2=2-1m.

2、m=14.總結(jié)評(píng)述：雙曲線作為圓錐曲線的一種，其幾何性質(zhì)常作為高考命題的熱點(diǎn)問(wèn)題，但難度一般不大，掌握其實(shí)軸、虛軸、焦距之間的關(guān)系和準(zhǔn)線、漸近線方程是解決雙曲線問(wèn)題的突破口.2.下列雙曲線中，以y=±12x為漸近線的是()A.x216-y24=1B.x24-y216=1C.x22-y2=1D.x2-y22=1答案：A解析：由丫=±12乂得x2士y1=0,因此以x2士y1=0為漸近線的雙曲線為x24-y21=m(m0)當(dāng)rtf4時(shí)，方程為x216y24=1,故選A.3.拋物線y2=4x,經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,m),則點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離等于()A.94B.4C.134D.3答案：B

3、解析：y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=1,則點(diǎn)P到它的距離為3+1=4,故選B.4.(2009?石家莊市高中畢業(yè)班復(fù)習(xí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))從拋物線y2=4x上一點(diǎn)P引其準(zhǔn)線的垂線，垂足為M,設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,且|PF|=5,則AMPF勺面積為()A.56B.2534C.20D.10答案：D解析：由題意，設(shè)P(y204,y0),則|PF|=|PM|=y204+1=5,所以y0=±4,SJAMPF12|PM|y0|=10.5.(2009?鄭州二模)設(shè)向量i、j為直角坐標(biāo)系的x軸、y軸正方向上的單位向量，若向量a=(x+1)i+yj,b=(x1)i+yj,且同一|b|=1,則滿足上述條件的點(diǎn)P(x,

4、y)的軌跡方程是()A.x214-y234=1(y>0)B.x214-y234=1(x>0)C.y214-x234=1(y>0)D.y214-x234=1(x>0)答案：B解析：a=(x+1)i+yj,b=(x1)i+yj,|a|b|=(x+1)2+y2(x1)2+y2=1,滿足上述條件的點(diǎn)P(x,y)的軌跡是以(一1,0)和(1,0)為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，方程是x214y234=1(xA0),故選B.6.(2009?全國(guó)H,8)雙曲線x26y23=1的漸近線與圓(x-3)2+y2=r2(r>0)相切，則r=()A.3B.2C.3D.6答案：A解析：雙曲線的漸近線

5、方程為y=±12x,即x±2y=0,圓心(3,0)到直線的距離d=|3|(2)2+1=3,.r=3.故選A.7.經(jīng)過(guò)橢圓x22+y2=1的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為45的直線l,交橢圓于AB兩點(diǎn).設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OM?。&>等于()A.-3B.-13C.13或3D.±13答案：B解析：由x22+y2=1,得a2=2,b2=1,c2=a2b2=1,焦點(diǎn)為(±1,0).直線l不妨過(guò)右焦點(diǎn)，傾斜角為45°,直線l的方程為y=x-1.代入x22+y2=1得x2+2(x1)22=0,即3x24x=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),貝Ux1

6、?x2=0,x1+x2=43,y1y2=(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=143=13,OA>?O&>=x1x2+y1y2=013=-13.8.(2009?浙江，9)過(guò)雙曲線x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)A作斜率為1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為BC.若AEH=12BO,則雙曲線的離心率是()A.2B.3C.5D.10答案：C解析：直線l:y=x+a與漸近線l1:bxay=0交于B(a2a+b,aba+b),l與漸近線l2：bx+ay=0交于C(a2ab,-abab),A(a,0),AEH=(aba+b,ab

7、a+b),BJ=(2a2ba2b2,2a2ba2b2),vABH=12BO,aba+b=a2ba2b2,b=2a,/.c2-a2=4a2,e2=c2a2=5,/.e=5,故選C.9.(2009?廣州調(diào)研)已知拋物線C的方程為x2=12y,過(guò)點(diǎn)A(0,1)和點(diǎn)B(t,3)的直線與拋物線C沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()A.(s,1)U(1,+s)B.(s,-22)U(22,+°°)C.(°0,22)U(22,4°°)D.(°0,2)U(2,+°0)答案：D解析：如圖，設(shè)過(guò)A的直線方程為y=kx1,與拋物線方程聯(lián)立得x212

8、kx+12=0,A=14k2-2=0,k=±22,求得過(guò)A的拋物線的切線與y=3的交點(diǎn)為(±2,3),則當(dāng)過(guò)點(diǎn)A(0,1)和點(diǎn)B(t,3)的直線與拋物線C沒(méi)有公共點(diǎn)，實(shí)數(shù)t的取值范圍是(s,2)U(2,+s),故選D.10.(2010?遼寧育才中學(xué)模擬)已知以F1(2,0),F2(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓與直線x+3y+4=0有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為()A.32B.26C.27D.42答案：C解析：設(shè)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a(且a>2),則橢圓方程為x2a2+y2a24=1.由x2a2+y2a2-4=1,x+3y+4=0,得(4a212)y2+83(a24)y+(16-

9、a2)(a2-4)=0.直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，A=0,即192(a24)216(a23)x(16a2)x(a24)=0.解得a=0(舍去)，a=2(舍去)，a=7.長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=27.11.已知點(diǎn)F1(2,0)、F2(2,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF2|PF1|=2,當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是12時(shí)，點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是()A.62B.32C.3D.2答案：A解析：由已知得a=1,c=2,b=1,點(diǎn)P的軌跡為雙曲線x2-y2=1,將y=12代入，得x2=54,|OP|=x2+y2=54+14=62.故選A.12.已知點(diǎn)P是拋物線y2=4x上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到此拋物線準(zhǔn)線的距離為d1,至恒線x+2y+10=0的距

10、離為d2,則d1+d2的最小值是()A.5B.4C.1155D.115答案：C解析：如下圖點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，過(guò)焦點(diǎn)F作直線x+2y+10=0的垂線，此時(shí)d1+d2最小，.F(1,0),貝Ud1+d2=|1+10|12+22=1155,選C.第II卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)將答案填在題中的橫線上。)13.(2009?寧夏、海南，13)已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(1,0),直線l與拋物線C相交于AB兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)為(2,2),則直線l的方程為.答案：y=x解析：拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(1,0),

11、65;2=1,拋物線方程為y2=4x.設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),貝Uy1+y2=4,y21=4x1，y22=4x2，一得y21y22=4(x1x2),.(y1+y2)(y1y2)=4(x1x2),/.y1-y2x1-x2=1,直線l的斜率為1,且過(guò)點(diǎn)(2,2)，.二直線方程為y-2=x-2,即y=x.14.若拋物線y2=2px的焦點(diǎn)與雙曲線x23y2=1的右焦點(diǎn)重合，則實(shí)數(shù)p=.答案：p=4解析：拋物線的焦點(diǎn)F為(p2,0),雙曲線x23y2=1的右焦點(diǎn)F2(2,0),由已知得p2=2,書(shū)=4.15.下圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2m,水面寬4m.水位下降1m后，水

12、面寬為.答案：26m解析：如圖建立直角坐標(biāo)系，將A(2,2)代入x2=my,彳#m=-2.x2=2y,代入B(x0,-3)得x0=6故水面寬為26m.16.(2010?黃岡高三2月份調(diào)研)已知拋物線y2=2px(p>0),過(guò)焦點(diǎn)F的動(dòng)直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn),則我們知道1|AF|+1|BF|為定值，請(qǐng)寫出關(guān)于橢圓的類似的結(jié)論：-當(dāng)橢圓方程為x24+y23=1時(shí)，1|AF|+1|BF|=答案：過(guò)橢圓的焦點(diǎn)F的動(dòng)直線交橢圓于AB兩點(diǎn)，則1|AF|+1|BF|為定值43解析：已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0),過(guò)焦點(diǎn)F的動(dòng)直線l交橢圓于AB兩點(diǎn),則1|AF|+1|BF|

13、=2ab2為定值.當(dāng)橢圓方程為x24+y23=1時(shí),1|FA|+1|FB|=43.總結(jié)評(píng)述：可以先猜測(cè)在拋物線中成立的命題在橢圓里面也成立.再計(jì)算在這個(gè)具體的橢圓里面，所求的定值.對(duì)于解析中關(guān)于橢圓的一個(gè)恒等式：“1|AF|+1|BF|=2ab2”是一個(gè)經(jīng)常用到的式子，在以后的學(xué)習(xí)過(guò)程中希望大家多總結(jié).三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。)17.(本小題滿分10分)已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,1),焦點(diǎn)在x軸上，其右焦點(diǎn)到直線xy+22=0的距離為3.(1)求橢圓的方程；(2)直線y=33x+1與橢圓交于P、N兩點(diǎn)，求|PN|.解析：(1)由題意設(shè)橢圓

14、方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0).vb=15又設(shè)右焦點(diǎn)F為(c,0),則|c+22|2=3,解得c=2,.a=3.橢圓方程為x23+y2=1.(2)設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為P(x1,y1)、N(x2,y2),則y=33x+1,x23+y2=1.解方程組得x1=0,y1=1.解x2=3,y2=0.直線與橢圓的交點(diǎn)為P(0,1),N(3,0)./.|PN|=(3)2+12=2.18.(本小題滿分12分)已知拋物線y2=2x,定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(23,0).(1)求拋物線上距點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|;(2)設(shè)B(a,0),求拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)B的距離的最小值d.解析：(1

15、)設(shè)P(x,y)為拋物線上任一點(diǎn)，|PA|2=x232+y2=x-232+2x=x+132+13,/x0,+),.x=0時(shí)，|PA|min=23,止匕時(shí)P(0,0).(2)|PB|2=(xa)2+y2=(xa)2+2x=x(a1)2+2a-1(x>0).當(dāng)a-1>0,即a>l時(shí)，在乂=21時(shí)，|PB|2min=2a1;當(dāng)a1<0,即a<1時(shí)，在x=0時(shí)"PB|2min=a2,故d=2a1(an1),回(a<1).19.(本小題滿分12分)已知雙曲線x2a2-y2b2=1的離心率e>1+2,左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,左準(zhǔn)線為l,能否在雙曲線的

16、左支上找一點(diǎn)巳使得|PF1|是P到l的距離d與|PF2的等比中項(xiàng)？解析：設(shè)在左支上存在P點(diǎn),使|PF1|2=|PF2|?d,由雙曲線的第二定義知|PF1|d=|PF2|PF1|=e,即|PF2|=e|PF1|再由雙曲線的第一定義,得|PF2|PF1|=2a.由，解得|PF1|=2ae-1,|PF2|=2aee1,.|PF1|十|PF2|刁F1F2|,2ae1+2aee1>2c.利用e=ca,由得e22e1<0,解得12WeW1+2.e>1,J<eW1+2與已知e>1+2矛盾.在雙曲線左支上找不到點(diǎn)P,使得|PF1|是P到l的距離d與|PF2的等比中項(xiàng).20.(20

17、09弒漢市高三年級(jí)2月調(diào)研考試)(本小題滿分12分)已知橢圓r的中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上，直線l:x+3y3=0與橢圓r交于A、B兩點(diǎn)，|AB|=2,且/AOB=兀2.(1)求橢圓r的方程；(2)若MN是橢圓r上的兩點(diǎn)，且滿足OM>?ON>=0,求|MN|的最小值.解析：(1)依題意，設(shè)直線l:x+3y=3與橢圓r:x2a2+y2b2=1交于A(x1,y1),B(x2,y2),由/AOB=；t2,知x1x2+y1y2=0,而x1=3(1y1),x2=3(1-y2)，代入上式得到：4y1y2-3(y1+y2)+3=0由|AB|=2知：2|y1y2|=2,即|y1y2|=1,不妨設(shè)y

18、1>y2,則y2=y1+1,將式代入式求得：y1=0y2=1或y1=12y2=32,A(32,12),B(32,32)或A(3,0),B(0,1),又A(32,12),B(-32,32)不合題意，舍去./.A(3,0),B(0,1),故所求橢圓r的方程為x23+y2=1.(2)由題意知MN是橢圓x23+y2=1上的兩點(diǎn)，且OMLON故設(shè)M(r1cos0,r1sin0),N(r2sin0,r2cos0),于是r21(cos203+sin20)=1,r22(sin203+cos20)=1,又(r21+r22)(1r21+1r22)=2+r21r22+r22r21A4,從而|MN|2?43A4

19、,即|MN|A3,故所求|MN|的最小值為3.21.(2009?石家莊市高中畢業(yè)班復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè))(本小題滿分12分)已知橢圓x2a2+y22=1(a>2)的離心率為22,雙曲線C與該橢圓有相同的焦點(diǎn)，其兩條漸近線與以點(diǎn)(0,2)為圓心，1為半徑的圓相切.(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)直線y=m桿1與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn)，另一直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,0)及AB的中點(diǎn)，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍.解析：(1)設(shè)雙曲線C的焦點(diǎn)為F1(c,0),F2(c,0),c>0.由已知ca=a22a=22,得a=2,c=2,設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx,依題意，|k?02|k2+1=1,解得k=±1.雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±x.故雙曲線C的實(shí)半軸長(zhǎng)與虛半軸長(zhǎng)相等，設(shè)為al,則2a21=c2=2,得a21=1.雙曲線C的方程為x2y2=1.(2)由y=mx+1x2y2=1得(1m2)x22mx2=0,直線與