拋物線的簡單幾何性質精品教案

1、拋物線的簡單幾何性質【教學目標】1 .掌握拋物線的范圍、對稱性、頂點、離心率等幾何性質；2 .掌握焦半徑公式、直線與拋物線位置關系等相關概念及公式;3 .在對拋物線幾何性質的討論中，注意數(shù)與形的結合與轉化【教學重難點】教學重點：拋物線的幾何性質及其運用教學難點：拋物線幾何性質的運用【授課類型】新授課【課時安排】1課時【教學過程】-、復習引入：拋物線的幾何性質標準方程圖形頂點對稱軸隹百 八、八、準線離心率y2 =2px (p 0 )*y(0,0)X軸p :-,00)0卜(0,0)X軸T,0iX2e = 1x2 =2py (p 0)，(0,0)y軸Te = 1x2 = -2 py (p 0)a(0

2、,0)y軸；0用yUe = 1注意強調p的幾何意義：是焦點到準線的距離 拋物線不是雙曲線的一支，拋物線不存在漸近線。、講解新課1 .拋物線的焦半徑及其應用：定義：拋物線上任意一點 M與拋物線焦點F的連線段，叫做拋物線的焦半徑 焦半徑公式：拋物線 y2 = 2 px（ p 0） , | PF | = X0 + p = p + X0拋物線 y2 =-2px（p0）, |PF| = Xo-p = -p - Xo拋物線 x2 = 2 py（ p 0）, pf| = y0 +-2p =_p + y0拋物線 x2 = -2 py（ p 0）, pf I = y0 - *p = - yO2,直線與拋物線：（

3、1）位置關系：相交（兩個公共點或一個公共點）；相離（無公共點）；相切（一個公共點）下面分別就公共點的個數(shù)進行討論：對于 y2 =2px（p A0）當直線為y = y。，即k = 0,直線平行于對稱軸時，與拋物線只有唯一的交點當 k#0,設 l:y=kx+b將 l : y =kx+b代入C ： Ax2 +Cy2 + Dx + Ey + F =0,消去 y,得至ij關于x的二次方程ax2+bx+c =0。（*）若A。，相交；A=0,相切；A0,相離綜上，得：，v=kx+b.聯(lián)立,2，得關于x的方程ax2 +bx+c = 0心=2px當a=0 （二次項系數(shù)為零），唯一一個公共點（交點）。當a #0,

4、則若Aa0,兩個公共點（交點）=0, 一個公共點（切點）0) , AB = p +(x1十 x2)拋物線 y2 = 2px(p 0),|AB =p(% +x2)當拋物線焦點在y軸上時，焦點弦只和兩焦點的縱坐標有關:拋物線 x2 =2py( p 0) , AB = p + (y +y2)拋物線 x2 =-2py( p 0) , AB=p(y1+y2)(4)通徑：定義：過焦點且垂直于對稱軸的相交弦。直接應用拋物線定義，得到通徑：d =2p。(5)若已知過焦點的直線傾斜角1rry = k(x J)2 2p 2 八yi y2 二為則2 二 yy-p=0=k2 ck2=y1 -y2竽+4p2k2pAB

5、= yi y21_ 2psin - sin 2 -.y =2px, y* =-py =k(x-32_.y = 2 px2Pk(6)常用結論:,2 2y - p2 = 0 和 k2x2 (k2 p + 2 p)x +p = 04二y1 y 2 = - p 木口 xi x2 43 .拋物線的法線：過拋物線上一點可以作一條切線，過切點所作垂直于切線的直線叫做拋物線在這點的法線, 拋物線的法線有一條重要性質:經過拋物線上一點作一直線平行于拋物線的軸，那么經過這一 點的法線平分這條直線和這點與焦點連線的夾角如圖。平行于軸拋物線的這一性質在技術上有著廣泛的應用。 例如，在光學上，II、 如果把光源放在拋物

6、鏡的焦點 F處，射出的光線經過拋物鏡的反射，變成了平行光線， 汽車前 燈、探照燈、手電筒就是利用這個光學性質設計的。反過來，也可以把射來的平行光線集中于 焦點處，太陽灶就是利用這個原理設計的. cx=2pt24 .拋物線y2 =2px(p 0)的參數(shù)方程：,-(t為參數(shù))y = 2pt三、講解范例【例】正三角形的一個頂點位于坐標原點，另外兩個頂點在拋物線y2 = 2px(pA0)上，求這個正三角形的邊長。分析：觀察圖，正三角形及拋物線都是軸對稱圖形，如果能證明x軸是它們公共的對稱軸， 則容易求出三角形邊長。解：如圖，設正三角形 OAB勺頂點A. B在拋物線上，且坐標分別為(xi,yi)、(x2

7、,y2),則2 2yi =2px1，y2 =2px22222y.又|OA| = |OB|,所以 xi +yi =x2 +y2A即 x12 +2px1 =x22 +2px2OxA B,22、一，、-(xi -x2 ) 2 p(xi -x2)=0(xi x2) 2p(xi -乂2尸0x1A0,x2 0,2p 0 ,x1 = x2。由此可得lyi I=ly21,即線段AB關于x軸對稱。因為x軸垂直于AB,且/ AOx= 30 ,所以-y-1 = tan300 =1 所以 yi =2pxi =2,3P , | AB |=2y1 =4J3P。 yi四、課堂練習1 .正三角形的一個頂點位于坐標原點， 另外

8、兩個頂點在拋物線y2=2px（p0）上，求這個正三角形的邊長（答案：邊長為4V3p）2 .正三角形的一個頂點位于坐標原點， 另外兩個頂點在拋物線y2=2px（p0）上，求正三 角形外接圓的方程分析：依題意可知圓心在x軸上，且過原點，故可設圓的方程為：x2+y2+D片0,又;圓過點A（6p, 2J3 ）,，.所求圓的方程為x2 + y2-8px = 03 .已知AABC的三個頂點是圓x2+y2 -9x=0與拋物線y2 =2px（p 0 ）的交點，且AABC的垂心恰好是拋物線的焦點，求拋物線的方程。（答案：y2=4x）4 .已知直角AOAB的直角頂點。為原點，A、B在拋物線y2 =2px（p0）上

9、，（1）分別求A、B兩點的橫坐標之積，縱坐標之積；（2）直線AB是否經過一個定點，若經過，求出該定 點坐標，若不經過，說明理由；（3）求。點在線段AB上的射影M的軌跡方程答案：（1） yiy2=Tp2； 、x2=4p2 ; （2）直線 AB 過定點（2p, 0）； （3）點 M 的軌跡方程為（x - p 2 + y2 = p2 （x #0 ） 05 .已知直角 gAB的直角頂點。為原點，A、B在拋物線y2=2px（p0）上，原點在直線 o 5AB上的射影為D（2, 1）,求拋物線的方程（答案：y2 =-x）6 .已知拋物線y2=2px（p0為直線y=-x+1相交于A、B兩點，以弦長AB為直徑的

10、圓恰好過原點，求此拋物線的方程。（答案：y2=x）7 .已知直線y =x +b與拋物線y2 =2px （p0井目交于A、B兩點，若OAOB,（。為坐標原點）且Saob-25,求拋物線的方程（答案：y2 =2x）8 .頂點在坐標原點，焦點在x軸上的拋物線被直線y = 2x+1截得的弦長為vT5 ,求拋物線的方程。（答案：y2=12x或y2=Yx )五、小結焦半徑公式、直線與拋物線位置關系等相關概念及公式【作業(yè)布置】1.頂點在原點，焦點在y軸上，且過點P (4, 2)的拋物線方程是()(A) x2=8y(B) x2= 4y(C) x2 = 2y(D) x2=y22 .拋物線y2= 8x上一點P到頂點的距離等于它們到準線的距離，這點坐標是()(A)(2,4)(B)(2,4)(C)(1,272)(D)(1, 22 )3 .拋物線頂點在原點，以坐標軸為對稱軸，過焦點且與y軸垂直的弦長等于8,則