2012屆高考數(shù)學(xué)數(shù)列的綜合問題知識點復(fù)習(xí)測試題及答案

1、2012屆高考數(shù)學(xué)數(shù)列的綜合問題知識點復(fù)習(xí)測試題及答案第6講數(shù)列的綜合問題知識梳理1.等差數(shù)列的補(bǔ)充性質(zhì)若有最大值，可由不等式組來確定；若有最小值，可由不等式組來確定.2.若干個數(shù)成等差、等比數(shù)列的設(shè)法三個數(shù)成等差的設(shè)法：；四個數(shù)成等差的設(shè)法：.三個數(shù)成等比的設(shè)法：；四個數(shù)成等比的設(shè)法：.3.用函數(shù)的觀點理解等差、等比數(shù)列等差數(shù)列中，當(dāng)時，是遞增數(shù)列，是的一次函數(shù)；當(dāng)時，是常數(shù)列，是的常數(shù)函數(shù)；當(dāng)時，是遞減數(shù)列，是的一次函數(shù).等比數(shù)列中，當(dāng)或時，是遞增數(shù)列；當(dāng)或時，是遞減數(shù)列；當(dāng)時，是一個常數(shù)列；當(dāng)時，是一個擺動數(shù)列.4.解答數(shù)列綜合問題的注意事項認(rèn)真審題、展開聯(lián)想、溝通聯(lián)系；將實際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)

2、化為數(shù)學(xué)問題；將數(shù)列與其它知識（如函數(shù)、方程、不等式、解幾、三角等）聯(lián)系起來.重難點突破1.重點：掌握常見數(shù)列應(yīng)用問題的解法；掌握數(shù)列與其它知識的綜合應(yīng)用.2.難點：如何將實際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，綜合運用所學(xué)知識解決數(shù)列問題.熱點考點題型探析考點數(shù)列的綜合應(yīng)用題型1等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用【例11已知等差數(shù)列與等比數(shù)列中，求的通項.【解題思路】由等比數(shù)列知：成等比，從而找出的關(guān)系.【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，是等比數(shù)列，成等比，則，解得或.當(dāng)時，；當(dāng)時，.【名師指引】綜合運用等差、等比數(shù)列的有關(guān)公式和性質(zhì)是解決等差、等比數(shù)列綜合問題的關(guān)鍵.【例2】已知為數(shù)列的前項和，.設(shè)

3、數(shù)列中，求證：是等比數(shù)列；設(shè)數(shù)列中，求證：是等差數(shù)列；求數(shù)列的通項公式及前項和.【解題思路】由于和中的項與中的項有關(guān)，且，可利用、的關(guān)系作為切入點.【解析】，兩式相減，得，又，由，得，是等比數(shù)列，.由知，且是等差數(shù)列，.，且，當(dāng)時，【名師指引】等差、等比數(shù)列的證明方法主要有定義法、中項法；將“”化歸為是解題的關(guān)鍵.題型2數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式的綜合應(yīng)用【例3】（2008韶關(guān)模擬）設(shè)函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，且對任意的實數(shù)，有.求，判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；數(shù)列滿足，且求通項公式；當(dāng)時，不等式對不小于的正整數(shù)恒成立，求的取值范圍.【解題思路】從已知得到遞推關(guān)系式，再由等差數(shù)列的定義入手；恒成立問題轉(zhuǎn)

4、化為左邊的最小值.【解析】，在上減函數(shù)（解法略）由單調(diào)性，故等差數(shù)列是遞增數(shù)列當(dāng)時，即而，故的取值范圍是【名師指引】數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式的綜合問題，要注意將其分解為數(shù)學(xué)分支中的問題來解決.題型3數(shù)列的應(yīng)用問題【例4】在一直線上共插有13面小旗，相鄰兩面之距離為，在第一面小旗處有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，應(yīng)集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？【解題思路】本題求走的總路程最短，是一個數(shù)列求和問題，而如何求和是關(guān)鍵應(yīng)先畫一草圖，研究他從第一面旗到另一面旗處走的路程，然后求和.【解析】設(shè)將旗集中到第面小旗處，則從第一面旗到第面旗處，共走路程為

5、，然后回到第二面處再到第面處是，從第面處到第面處路程為20,從第面處到第面取旗再到第面處，路程為，總的路程：.由于，當(dāng)時，有最小值.答：將旗集中以第7面小旗處，所走路程最短.【名師指引】本例題是等差數(shù)列應(yīng)用問題.應(yīng)用等差數(shù)列前項和的公式，求和后，利用二次函數(shù)求最短距離時，要特別注意自變量的取值范圍.【例5】用磚砌墻，第一層（底層）用去了全部磚塊的一半多一塊，第二層用去了剩下的一半多一塊，依次類推，每一層都用去了上次剩下的磚塊的一半多一塊，到第十層恰好把磚塊用完，問共用了多少塊？【解題思路】建立上層到底層磚塊數(shù)與的關(guān)系式是關(guān)鍵，應(yīng)分清它是等差，還是數(shù)列等比數(shù)列.【解析】設(shè)從上層到底層磚塊數(shù)分別為

6、，則，易得，即因此，每層磚塊數(shù)構(gòu)成首項為2,公比為2的等比數(shù)列，則（塊）答：共用2046塊.【名師指引】建立與的關(guān)系式后，轉(zhuǎn)化為求數(shù)列通項的問題.【例6】2002年底某縣的綠化面積占全縣總面積的,從2003年開始，計劃每年將非綠化面積的8%綠化，由于修路和蓋房等用地，原有綠化面積的2%被非綠化.設(shè)該縣的總面積為1,2002年底綠化面積為，經(jīng)過年后綠化的面積為，試用表示；求數(shù)列的第項；至少需要多少年的努力，才能使綠化率超過60%?？紨?shù)據(jù)：）【解題思路】當(dāng)年的綠化面積等于上年被非綠化后剩余面積加上新綠化面積.【解析】設(shè)現(xiàn)有非綠化面積為，經(jīng)過年后非綠化面積為.于是.依題意，是由兩部分組成，一部分是原

7、有的綠化面積減去被非綠化部分后剩余的面積，另一部分是新綠化的面積，于是.數(shù)列是公比為，首項的等比數(shù)列.答至少需要7年的努力，才能使綠化率超過60%.【名師指引】解答數(shù)列應(yīng)用性問題，關(guān)鍵是如何建立數(shù)學(xué)模型，將它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.【新題導(dǎo)練】1.四個實數(shù)，前三個數(shù)成等比數(shù)列，其和為19,后三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為12,求原來的四個數(shù).【解析】設(shè)后三個數(shù)分別為，則前三個數(shù)成等比數(shù)列，第一個數(shù)為，解得，當(dāng)時，；當(dāng)時，.原來的四個數(shù)分別為或.2.已知為數(shù)列的前項和，點在直線上.若數(shù)列成等比，求常數(shù)的值；求數(shù)列的通項公式；數(shù)列中是否存在三項，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，請求出一組適合條件的項；若不存在，請

8、說明理由.【解析】由題意知，得，；，由知：；設(shè)存在，使成等差數(shù)列，即，（），因為，為偶數(shù)，為奇數(shù)，這與（派）式產(chǎn)生矛盾.所以這樣的三項不存在.3.（2009金山中學(xué)）數(shù)列首項，前項和與之間滿足（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列（2）求數(shù)列的通項公式（3）設(shè)存在正數(shù)，使對于一切都成立，求的最大值?！窘馕觥浚?）因為時，得由題意又是以為首項，為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）有時，.又（3）設(shè)則在上遞增故使恒成立只需又又，所以，的最大值是.4.夏季高山上的溫度從腳起，每升高，降低C,已知山頂處的溫度是C,山腳處的溫度為C,問此山相對于山腳處的高度是多少米.【解析】每升高米溫度降低C,該處溫度的變化是一個等差

9、數(shù)列問題.山底溫度為首項，山頂溫度為末項，所以，解之可得，此山的高度為.5.由原點向三次曲線引切線，切于不同于點的點，再由引此曲線的切線，切于不同于的點，如此繼續(xù)地作下去，得到點列，試回答下列問題：求；（2）求與的關(guān)系式；（3）若，求證：當(dāng)為正偶數(shù)時，；當(dāng)為正奇數(shù)時，.【解析】由得V'=3x26ax+b.過曲線上點的切線的方程是：由它過原點，有過曲線上點的切線ln+1的方程是：，由過曲線上點，有二.，以除上式，得以除之，得(3)方法1由(2)得故數(shù)列xna是以x1-a=a2為首項，公比為一12的等比數(shù)列，.，當(dāng)為正偶數(shù)時，當(dāng)為正奇數(shù)時，方法2=以下同解法1.搶分頻道基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1.首項

10、為的數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則這個的前項和為()A.B.C.D.【解析】D.由題意，得數(shù)列是非零常數(shù)列，2.等差數(shù)列及等比數(shù)列中，則當(dāng)時有A.B.C.D.【解析】D.特殊法，及為非零常數(shù)列時，；取，時，3.已知成等比數(shù)列，是的等差中項，是的等差中項，則.【解析】2.特殊法，取，4.為等差數(shù)列的前項和，問數(shù)列的前幾項和最大？公差不為零的等差數(shù)列中，成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和.【解析】方法1:設(shè)，由，得，即，當(dāng)時,有最大值為方法2:由，得，是等差數(shù)列，.由，是等差數(shù)列，當(dāng)時，有最大值為設(shè)，成等比數(shù)列，5.已知，數(shù)歹U的前項和，若數(shù)列的每一項總小于它后面的項，求的取值范圍.【解析】當(dāng)時，當(dāng)時

11、，由題意，得，即當(dāng)時，；當(dāng)時，綜上，的取值范圍6.等差數(shù)列中，其公差；數(shù)列是等比數(shù)列，其公比若，試比較與的大小，說明理由；若，試比較與的大小，說明理由.【解析】方法1:的圖象大致如下圖所示：由圖可知，；由圖可知，.方法2:(用作差比較法，略).綜合拔高訓(xùn)練7.某養(yǎng)漁場，據(jù)統(tǒng)計測量，第一年魚的重量增長率為200?,以后每年的增長率為前一年的一半.飼養(yǎng)5年后，魚重量預(yù)計是原來的多少倍？如因死亡等原因，每年約損失預(yù)計重量的10?,那么，經(jīng)過幾年后，魚的總質(zhì)量開始下降？【解析】設(shè)魚原來的產(chǎn)量為，200?,由可知，而魚每年都損失預(yù)計產(chǎn)量的10?,即實際產(chǎn)量只有原來的.設(shè)底年魚的總量開始減少，則，即，解得

12、，經(jīng)過5年后，魚的總量開始減少.8.數(shù)列的前項和為，點在直線.若數(shù)列成等比數(shù)列，求常數(shù)的值；求數(shù)列的通項公式；數(shù)列中是否存在三項，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，請求出一組適合條件的項；若不存在，請說明理由.【解析】由題意知，得，.二，由知：設(shè)存在S,P,r,即（*）因為s、p、r為偶數(shù)1+2,（*）式產(chǎn)生矛盾.所以這樣的三項不存在.9.（2001全國）從社會效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計400萬元，由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加.設(shè)年內(nèi)（本年度為第一年）總收入為萬元，旅游業(yè)總收入為萬元，寫出表達(dá)式至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？【解析】3.第一年投入為800萬元，第二年投入為萬元，第年的投入為萬元.所以，年內(nèi)的總投入為：；第一年旅游業(yè)收入為400萬元，第二年旅游業(yè)收入為萬元，第年旅游業(yè)收入為萬元.所以，年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為設(shè)至少經(jīng)過年旅游