中考數(shù)學(xué)第二輪專題突破能力提升專題集訓(xùn)10等腰三角形探究試題

1、專題集訓(xùn)10等腰三角形探究、選擇題1 .如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,1）,點(diǎn)B是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊作等腰直角ABC使/BAG=90°,設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x,點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為y,能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（A）【解析】如圖，作AD/x軸，作CDLAD于點(diǎn)D,由已知可得，OB=x,OA=1,/AOB=90°,ZBAC=90°,AB=AC點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是y,.AD/x軸，DAQ-/AO9180°,./DAO=90°,./OABH/BAD=/BADFZDAC=90°,OAB=/DAC可證OAB2DACAAS),，OB=CD=點(diǎn)C到

2、x軸的距離為y,點(diǎn)D到x軸的距離等于點(diǎn)A到x的距離1,y=x+1(x>0).故選A.2 .如圖，/AO比120,。沖分/AOB且O由2.若點(diǎn)MN分別在OAOB±,且PMN為等邊三角形，則滿足上述條件的PMNT（D）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.3個(gè)以上如圖，在OAOB上截取OE=OF=OP作/MPNh60.OP平分/AOB，/EOP=/POF=60,.OP=OE=OF.OPEOPF>等邊三角形，EP=OP/EPO=ZOEP=ZPON=/MPNh60°,./EPIM=/OPN可證4PE陣PO(ASA),.PM=PN:/MPNk60,.POM1等邊三角形，只要/MPN

3、h60°,PMNt是等邊三角形，故這樣的三角形有無數(shù)個(gè).、填空題3.正方形ABCD勺邊長是4,點(diǎn)P是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形邊上的一點(diǎn)，若PBE是等腰三角形，則腰長為2/M5度隼.【解析】如圖，取E為C,則PB=PO245;在AB上取E使PE=ER如圖，設(shè)AE2235=x,(4x)=x+4,解得x=2,使P&2；在BP上取中點(diǎn)M如圖，作MHPB交DC于E設(shè)EC=x,由PE=BE知42+x2=22+(4x)2,解得x=；,，PE=22+(4J2=254.如圖，在菱形ABC計(jì)，/ABC=60。若以點(diǎn)P,B,C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,離為_2j32_.【葡析】如圖，連結(jié)ACB

4、D交于點(diǎn)Q,AB=2,點(diǎn)P是這個(gè)菱形內(nèi)部或邊上的一點(diǎn),則P,RP,D兩點(diǎn)不重合以B為圓心BC為半徑畫圓交)兩點(diǎn)間的最短距BDTP.此時(shí)PBC是等腰三角形，線段PD最短，:四邊形ABCD1菱形，/ABC=60°,，AB=BC=CD=AD/ABC=ZADC=60,.ABCADC是等邊三角形，B0=DO=乎*2=3,.BD=2B0=2遮PD/Nt=BD-BP=2/3-2.三、解答題5.如圖，已知點(diǎn)A(1,2)是反比例函數(shù)y=k圖象上的一點(diǎn)，連結(jié)A0并延長交雙曲線的x另一分支于點(diǎn)B,點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)；若PA配等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).k解：:反比例函數(shù)y=,圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，.A,B兩點(diǎn)關(guān)

5、于O對(duì)稱，O為AB的中點(diǎn)，x且R1,2),，當(dāng)4PAB為等腰三角形時(shí)有PA=AB或PB=AB設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0),A(1,2),B(-1,2),.AB=.1(1)2+2(2)2=2鄧,PA=q(x1)2+22,PB-#(x+1)2+(2)2,當(dāng)PA=AB時(shí)，則有寸(x1)2+22=245解得x=3或5,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)或(5,0);當(dāng)PB=AB時(shí)，則有?(x+1)2+(2)2=2后解得x=3或一5,此日P點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)或(一5,0).綜上可知P點(diǎn)的坐標(biāo)為(一3,0)或(5,0)或(3,0)或(5,0)6.如圖，拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A(-1,0),R3,0)兩

6、點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3),頂點(diǎn)為D.(1)求此拋物線的解析式；(2)探究對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的P,使得以點(diǎn)P,D,A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.解：(1)二.拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A(-1,0),R3,0)兩點(diǎn)，與y軸-2ax(-1)+bx(-1)+c=0,a=1,交于點(diǎn)C(0,-3),aX32+3b+c=0,解得彳b=2,即此拋物線的解c=-3,、c=-3,析式是y=x2-2x-3;(2)存在一點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P,D,A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,y),當(dāng)PA=PD時(shí)，(-1-1)2+(0-

7、y)2=2233q(1-1)2+(-4-y),解得y=2,即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,一萬)；當(dāng)DA=DP時(shí)，«(-1-1)2+0-(-4)2=7(11)2+(4y)2,解得y=4±2，5,即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,4275)或(1,4+25);當(dāng)AD=AP時(shí)，7(TT)2+0(4)2=M(-1-1)2+(0-y)2,解得y=±4,即點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,4)或(1,4),當(dāng)點(diǎn)P為(1,4)時(shí)與點(diǎn)D重合，故不符合題意，由上可得，以點(diǎn)P,D,A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,3)或(1,4245)或(1,4+2，5)或(1,4)7.在等腰直角三角形ABC,/BAC=9

8、0°,AB=AC直線MN±點(diǎn)A且MIN/BC過點(diǎn)B為一銳角頂點(diǎn)作RtABDIEZBDE=90°,且點(diǎn)D在直線MN±(不與點(diǎn)A重合)，如圖1,DE與AC交于點(diǎn)P,易證：BD=DP(無需寫證明過程)(1)在圖2中，DE與CA的延長線交于點(diǎn)P,BD=DP是否成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；(2)在圖3中，DE與AC的延長線交于點(diǎn)P,BD與DP是否相等？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論，無需證明.DA圖I(這是邊文，請(qǐng)據(jù)需要手工刪加解：MD圖2(1)BD=DP成立，證明：如圖2,過點(diǎn)D作DF±MN交AB的延長線與點(diǎn)F,則4ADF為等腰直角三角形，

9、DA=DF/.Z1+ZADB=90°,ZADBbZ2=90,，/1=/2.在4BDF與PDA中，fZ1=Z2,DF=DADFB=/DAP=45BDgPDAASA,bBD=DP(2)BD=DP.證明：如圖3,過點(diǎn)D作DFLMN交BA的延長線于點(diǎn)F,則4ADF為等腰/F=ZPAD=45°,直角三角形，DA=DF.在4BDF與4PDA中，$DF=DALBDF=/PDABD=DP(這是邊文，請(qǐng)據(jù)需要手工刪加)O是原點(diǎn)，矩形OABC勺頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上,8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)頂點(diǎn)C在y的正半軸上，點(diǎn)B(5,3),拋物線y=mx2+bx+c經(jīng)過A,C兩點(diǎn)，與x軸的另5個(gè)交

10、點(diǎn)是點(diǎn)D,連結(jié)BD(1)求拋物線的解析式;(2)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿D-B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿BZD勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P,Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，以D,P,Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？請(qǐng)求出所有符合條件t的值.A(5,0),C(0,3).點(diǎn)A(5,0),C(0,3)在拋物解：(1)丁矩形ABCDR5,3),線y=|x2+bx+c上，5$5解得b=三,c=3,拋物線的解析式為y=-x2x+3(2)555!.c=3,一43.、在Rf的中，AB=3,AA4,則BD=5,.sinZABD=5,血/陽及5.以

11、D,P，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則：若PD=PQ如答圖1,此時(shí)有PD=PQ=BQ=t,過點(diǎn)Q作QELBD于點(diǎn)E,貝UBE=PEBE=BQ-cosB=3t,QE=BQ-sinB=|t,.DE=t+(t=|t,由勾股定理得DQ=DE+QLAD+AQ，即和2+康)2=42+(3-t)2,整理得11t2+30t-125一一.2525=0,斛得t=11或t=5(舍去)，.t=11；BB若PD=DQ如答圖2,此時(shí)PD=t,DQ=AB+AD-t=7-t,t=7t,t=：;若PQ=DQ如答圖3,.PD=t,.BP=5t;/DQ=7t,：PQ=7t,AQ=4-(7-t)44=t3,過點(diǎn)P作PF,AB于點(diǎn)F,則PF=PB-sinB=(5t)X二=4二t,BF=PB-cosB=55，3(5-t)X5333=35-=AB-BF=3(3g)/.過點(diǎn)P作PE±AD于點(diǎn)E,則四邊形PEAF為矩形，P