知識講解正態(tài)分布(理)

1、歡迎共閱正態(tài)分布【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義。2. 了解正態(tài)曲線與正態(tài)分布的性質(zhì)。【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)一、概率密度曲線與概率密度函數(shù)1 .概念：對于連續(xù)型隨機(jī)變量X ,位于x軸上方，X落在任一區(qū)間(a, b內(nèi)的概率等于它與x軸、 直線x=a與直線x=b所圍成的曲邊梯形的面積(如圖陰影部分)，這條概率曲線叫做 X的 概率密度曲線，以其作為圖象的函數(shù) f (x)叫做X的概率密度函數(shù)。2、性質(zhì)：概率密度函數(shù)所取的每個(gè)值均是非負(fù)的。夾于概率密度的曲線與x軸之間的平面圖形”的面積為1 J F IP(a<X <b)的值等于由直線x = a, x = b與概率

2、密度曲線、x軸所圍成的 平面圖形”的面積。要點(diǎn)二、正態(tài)分布1.正態(tài)變量的概率密度函數(shù)1T)2正態(tài)變量的概率密度函數(shù)表達(dá)式為：R,a(x) = I e紇(xw R),v2二二(CT >0, - ckc-Hc)其中x是隨機(jī)變量的取值；仙為正態(tài)變量的期望；。是正態(tài)變量的標(biāo)準(zhǔn)差.2.正態(tài)分布(1)定義b如果對于任何實(shí)數(shù)a,b (a <b)隨機(jī)變量X滿足：P(a < X W b) = J*口仃(x)dx ,a則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布。記為xL n(n,。2)(2)正態(tài)分布的期望與方差若X l_ N(R,。2),則X的期望與方差分別為：EX=N, DX =。2要點(diǎn)詮釋：(1)正態(tài)分布由

3、參數(shù)N和0確定。參數(shù)N是均值，它是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可用樣本的均值去估計(jì)。O是標(biāo)準(zhǔn)差，它是衡量隨機(jī)變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)。(2)經(jīng)驗(yàn)表明，一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布.在現(xiàn)實(shí)生活中，很多隨機(jī)變量都服從或近似地服從正態(tài)分布.例如長度測量誤差； 某一地區(qū)同年齡人群的身高、體重、肺活量等；一定條件下生長的小麥的株高、穗 長、單位面積產(chǎn)量等；正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)(如零件的尺寸、纖維 的纖度、電容器的電容量、電子管的使用壽命等)；某地每年七月份的平均氣溫、 平均濕度、降雨量等；一

4、般都服從正態(tài)分布.I要點(diǎn)三、正態(tài)曲線及其性質(zhì)：1.正態(tài)曲線_(x_J2如果隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x) =rek(xw R)其中實(shí)數(shù)N和。為參數(shù) 2二二li y(仃>0, -O0 < N <),則稱函數(shù)f(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線。-7? I .2 .正態(tài)曲線的性質(zhì)：曲線位于x軸上方，與x軸不相交；曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=N對稱；1曲線在x = N時(shí)達(dá)到峰值-=L-;、“2二二當(dāng)x<N時(shí)，曲線上升；當(dāng)xN時(shí)，曲線下降.并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時(shí)，以x軸為漸近線，向它無限靠近.曲線與x軸之間的面積為1；口決定曲線的位置和對稱性；當(dāng)仃一定時(shí)

5、，曲線的對稱軸位置由口確定；如下圖所示，曲線隨著口的變化而沿x軸平移。仃確定曲線的形狀；當(dāng)N 一定時(shí)，曲線的形狀由。確定。越小，曲線越 高瘦”，表示總體的分布越集中；仃越大，曲線越 矮胖”，表示總體的分布越分散。如下圖所示 要點(diǎn)詮釋：性質(zhì)說明了函數(shù)具有值域（函數(shù)值為正）及函數(shù)的漸近線（ X軸）.性質(zhì)并且說明了 函數(shù)具有對稱性；性質(zhì)說明了函數(shù)在X=N時(shí)取最值；性質(zhì)說明仃越大，總體分布越分散， 。越小，總體分布越集中.要點(diǎn)四、求正態(tài)分布在給定區(qū)間上的概率1.隨機(jī)變量取值的概率與面積的關(guān)系若隨機(jī)變量己服從正態(tài)分布N（N,。2）,那么對于任意實(shí)數(shù)a、b （a<b）,當(dāng)隨機(jī)變量E 在區(qū)間（a, b

6、上取值時(shí)，其取值的概率與正態(tài)曲線與直線 x=a, x=b以及x軸所圍成的圖形 的面積相等.如圖（1）中的陰影部分的面積就是隨機(jī)變量孝在區(qū)間（a, b上取值的概率.一般地，當(dāng)隨機(jī)變量在區(qū)間（ 巴 丹 上取值時(shí)，其取值的概率是正態(tài)曲線在 x=a左側(cè) 以及x軸圍成圖形的面積，如圖（2）.隨機(jī)變量在（a, +8）上取值的概率是正態(tài)曲線在 x=a右側(cè)以及x軸圍成圖形的面積，如圖（3） . /1.： <- 根據(jù)以上概率與面積的關(guān)系，在有關(guān)概率的計(jì)算中，可借助與面積的關(guān)系進(jìn)行求解.2、正態(tài)分布在三個(gè)特殊區(qū)間的概率值：,i 11-I I 1' I./,y. I I 'it I 1P（R。

7、<X WN +訂）=0.683 ;»": I If .rif- I %、 r11P（R2。<X < N+2。）=0.954 ;P（R3仃 <X E N+3仃）=0.997。上述結(jié)果可用下圖表示：要點(diǎn)詮釋：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（N,。2）,則X落在（N-3。卅+30）內(nèi)的概率約為0.997,落在（N 35N +3。）之外的概率約為0.003, 一般稱后者為小概率事件，并認(rèn)為在一次試驗(yàn)中， 小概率事件幾乎不可能發(fā)生。一般的，服從于正態(tài)分布N伍尸2）的隨機(jī)變量X通常只取 /-出+2）之間的值，簡 、二二彳稱為3仃原則。3、求正態(tài)分布在給定區(qū)間上的概率

8、方法（1）數(shù)形結(jié)合，利用正態(tài)曲線的對稱性及曲線與 x軸之間面積為1。正態(tài)曲線關(guān)于直線x=N對稱，與x = N對稱的區(qū)間上的概率相等。例如 P（X < N 仃）=P（X A N +仃）； P（X <a） =1 -P（X 之a(chǎn)）；若b匕則 P（X<b） = 1 - P（ j；X<-嘰（2）利用正態(tài)分布在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率: P( N 仃 <X <k +ci) =0.6826 ; P(N2仃 <X mN 十2仃)=0.9544 ; P(N_30 <X <k +3ci) =0.9974 ?！镜湫屠}】類型一、正態(tài)分布的概率密度函數(shù) 例1.下列

9、函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)的是(1 安A. p(x)=-e 2c2 N,仃(仃 >0)都是實(shí)數(shù).,.2二：外 X1_(xJ)21 x2B. p(x)=2Le>C. p(x)=_e'D. P(x)=_eT2二2 2二2 二【思路點(diǎn)撥】本題可對照正態(tài)密度函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式判斷. 一【解析】 正態(tài)密度函數(shù)為：P(x)=r一：一e' ,、；2 二二.I1其中指數(shù)部分的仃應(yīng)與系數(shù)的分母處的仃保持一致，系數(shù)為正數(shù)且指數(shù)為負(fù)數(shù).選項(xiàng)A有兩處錯誤，分別是 反 D錯為際7 ,指數(shù)錯為正數(shù).選項(xiàng)C,從系數(shù)可得仃=2,而從指數(shù)處可得仃=也，顯然不符.選項(xiàng)D中指數(shù)為正，錯誤.所以正確答案為 B.1_(

10、x 22【總結(jié)升華】注意函數(shù)P(x)= e 2c2的形式特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.2二二舉一反三:21_(x40)2【變式1】設(shè)一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f(x)=e8一的圖象，則這個(gè)正態(tài)2、2 二總體的均值與方差分別是()A. 10 與 8 B. 10 與 4C. 8 與 10 D. 2 與 10【答案】在該正態(tài)分布中，N=10,仃=2,則E(X)=10, D(X)=a2=4,故選B【變式2】.給出下列三個(gè)正態(tài)總體的函數(shù)表達(dá)式，請找出其均值小和標(biāo)準(zhǔn)差(T，一、1(1 ) f (x) e2x22 ,x (-二，二)-1(2 ) f (x) ： e22二(x4)28 ,x (-二，二)2_2(x

11、 1)2,、(3 ) f (x) = e , x (-二，二) ,2二【答案】(1) 0,1(2) 1 , 2(3) -1 , 0.5【變式3】正態(tài)總體為N =0,仃=1概率密度函數(shù)f(x)是A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C非奇非偶函數(shù) D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)1 七【答案】Bo因?yàn)閒(x)=e-2所以選Bo2 二【變式4】一臺機(jī)床生產(chǎn)一種尺寸為10 mm的零件，現(xiàn)在從中抽測10個(gè)，它們的尺寸分別 如下(單位：mm) : 10.2, 10.1, 10, 9.8, 9.9, 10.3, 9.7, 10, 9.9, 10.1.如果機(jī)床生產(chǎn) 零件的尺寸X服從正態(tài)分布，求正態(tài)分布的概率密度函數(shù)式.【答案】求

12、正態(tài)分布的概率密度函數(shù)式，只要求出參數(shù) N和仃即可，而N即樣本均值，仃即樣本標(biāo)準(zhǔn)差.1依題意得 N =M(10.2+10.1+10 + 9.8+9.9+10.3+9.7+10 + 9.9+10.1) = 10 , 10夫 10.B21陰(3.27貨 0)2(101 042(9.9M0)3(10.1 1 0 ) 0 . 01050(x。)2即N=10, a2 =0.03 ,所以X的概率密度函數(shù)為中(x)=J°e一-,6 二類型二、正態(tài)曲線例2.如圖所示，是一個(gè)正態(tài)曲線，試根據(jù)該圖像寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析 式，求出總體隨機(jī)變量的期望和方差.【思路點(diǎn)撥】由正態(tài)曲線的圖像可知，該

13、曲線的對稱軸為x=20 ,最大值為一餐,因止匕,2.二1111 =20 由一方= 可求得。的值.2 v 二 .2 二：【解析】 從給出的正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，最大值是，所以11 =20由 t=尸,解得2 = J2 . 2二： 2；二1于是概率密度函數(shù)的解析式是P(x)= 一尸e2 :2(x-20)24 , xC期望是 尸20方差是仃2 =(揚(yáng)2 =2x=20 備5 101S2025303540J+00) .總體隨機(jī)變量的【總結(jié)升華】 利用圖像求正態(tài)密度函數(shù)的解析式，應(yīng)抓住圖像的實(shí)質(zhì)性兩點(diǎn)：一是對稱軸x=% 一是最值一L.這兩點(diǎn)確定以后，相應(yīng)參數(shù)縱 R、。便確定了，代入P （x）

14、中 .2二二便可求出相應(yīng)的解析式.舉一反三：【變式11 關(guān)于正態(tài)密度曲線性質(zhì)的敘述：曲線關(guān)于直線x=N對稱，整條曲線在x軸上方；曲線對應(yīng)的正態(tài)總體概率密度函數(shù)是偶函數(shù);曲線在x=N時(shí)處于最高點(diǎn)，由這一點(diǎn)向左右兩邊延伸時(shí)，曲線逐漸降低；曲線的對稱位置由N確定，曲線的形狀由。確定，仃越大曲線越 矮胖”，反之，曲線越高瘦”.其中敘述正確的有（）.I I I I I I IA.B. C D.【答案】B7 3/ I根據(jù)曲線關(guān)于直線x=N對稱，只有當(dāng)N=0時(shí)函數(shù)才是偶函數(shù)，故錯.利用排除法選B.【變式2】如圖，兩個(gè)正態(tài)分布曲線圖：1為平用（x） , 2為中（4。，則 3 %,。1 仃2 （填大于，小于）【

15、答案】<,>o解析：由正/密應(yīng)M線圖象的特征知?！咀兪?】如圖是三個(gè)正態(tài)分布 XN （0, 0.25） , YN （0, 1） , ZN （0, 4）的密度曲線，則三個(gè)隨機(jī)變量X, Y, Z對應(yīng)曲線分別是圖中的 、 【答案】。【變式4】已知正態(tài)總體落在區(qū)間（0.2,收）的概率是0. 5,那么相應(yīng)的正態(tài)曲線在x=時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)。【答案】0.2。由于正態(tài)曲線關(guān)于直線x = N對稱，由題意知N = 0.2類型三、正態(tài)分布的計(jì)算例3.已知隨機(jī)變量己服從正態(tài)分布N（2,岸），P（注今0.84,則P（口 0）=（）A. 0.16B. 0.32C. 0.68D. 0.84【思路點(diǎn)撥】可畫出正態(tài)曲線

16、，利用正態(tài)曲線的對稱性解決?！窘馕觥縑 P（僅4尸0.84,尸2,.P（口0AP（筍4）= 1 0.84 = 0.16,故選 A.【總結(jié)升華】本題利用了正態(tài)密度曲線的性質(zhì)求概率，其中應(yīng)注意對稱性的運(yùn)用 舉一反三：【變式1】(1) X1N(0,1), N和仃的值各是多少？ (2) X|_|N(_1,9), N和。的值各是多少？【答案】(1)比照 X|_N(巴。2)(仃 >0) , X|_|N(0,1)時(shí)，=0,仃=1。(2)比照 X L N(N,。2)(仃 >0) , X N(9 時(shí)，=-12 = 9 ,所以 N = 1 , a =3 I S*" I【變式2】在某次測量中，

17、測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(1<r2)(a>0),若七在(0, 1)內(nèi)取值的概率為0.4,則之在(0, 2)內(nèi)取值的概率為【答案】0.8 J-AI I I ,| I | ' I ；U服從正態(tài)分布N(1,。2),.'J：.在(0, 1)與(1, 2)內(nèi)取值的概率相同，均為0.4。匕在(0, 2)內(nèi)取值的概率為0.4+0.4=0.8?！咀兪?】設(shè)隨機(jī)變量XN (0, 1), , " .- - -.J(1) P(-a<X<0)=P(0<X<a)(a>0);(2) P(X<0)=0.5;(3)已知 P(|X < 1)=0.68

18、26 ,則 P(X< 1)=0.1587 ;(4)已知 P(|X| <2)=0.9544 ,貝U P(X<2)=0.9772 ;(5)已知 P(|X <3)=0.9974 ,則 P(X> 3)=0.9987。其中正確的有()A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè)【答案】D;均正確，充分利用正態(tài)曲線的對稱性及其意義。例4.設(shè)己N (1 , 22),試求：(1) P (-K S3;(2) P (3< 七 05;(3) P (5.【思路點(diǎn)撥】要求隨機(jī)變量己在某一范圍內(nèi)的概率，只需借助于正態(tài)密度曲線的圖像性質(zhì)以及課本中所給的數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求值.【解析】N (1

19、, 22) , ； N=1,。=2,(1) P ( 1< 己 03=P (12< 己 < 1+ 2=P ( N仃 < 己超+仃)=0.683.(2) v P (3< S5=P ( 3< 1),.P (3< E 言1=5 X (0.9540.683) % 0.136.(3) ; P (己分5=P ( E <3),1 1 P( _)= 1-P(3： M5 = 1-P(1-4 ：二 <1 4)2 21 .1=_1 _P(R _2仃+2。) =(10.954) =0.023 .2 2【總結(jié)升華】 在求隨機(jī)變量己在某一范圍內(nèi)的概率時(shí)，可以首先把隨機(jī)變

20、量 己的取值轉(zhuǎn)化到 區(qū)間(N仃*+仃)、(口2。，口+2仃)以及(口3仃尸+3仃)，然后利用在(N仃十仃)上的概率約為0.683,在(N-2q,N+2。)上的概率約為0.954,在(N-2仃,N+2仃)上的概率約為0.997. 舉一反三：【變式 1】X 口 N (2,25),求 P(13 <X <17)?！敬鸢浮縓|_|N(2,25)時(shí)，N=2,仃=5,3仃=13,卜+3仃=17,>11 i1:.|I、" P( -13 :二 X £17) =0.9974r jJ產(chǎn), / Jt fX. I【變式2】若“N (5, 1),求P (5<刀<7).【答

21、案】:"N (5, 1),正態(tài)分布密度函數(shù)的兩個(gè)參數(shù)為=5, = =1,二,該正態(tài)密度曲線關(guān)于x=5對稱.1 1P(5 ：二二 7) = 2 p(3 ：: 7) - : 0.954 = 0.477【變式3】設(shè)XU N(0,1)。(1)求 P(1< X 01) (2)求 P(0< X <2>【答案】 %、 r- i(1) XN(0,1)時(shí)，N仃=1, N+<r=1,P(-1 <X <1) 0.6826 o(2) R-2。= -2, +2。=2 ,正態(tài)曲線中0/(x)關(guān)于直線x=0對稱， 11. P(0 <X <2) =：P(-2&l

22、t;X <2)寸 0.9544= 0.4772。類型四、正態(tài)分布的應(yīng)用例5.某年級的一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)成績近似服從正態(tài)分布N (70, 102),如果規(guī)定低于60分為不及格，那么(1)成績不及格的人數(shù)占多少？(2)成績在8090分內(nèi)的學(xué)生占多少？【思路點(diǎn)撥】本題考查正態(tài)密度曲線對稱性及正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間的概率取值規(guī)律.因?yàn)檎龖B(tài)密度曲線關(guān)于直線 x=p對稱，故本題可利用對稱性及特殊值求解.【解析】(1)設(shè)學(xué)生的得分情況為隨機(jī)變量X,則 XN (70, 102),其中 N=70,仃=10.成績在6080分之間的學(xué)生人數(shù)的概率為P (70-10<X<70+10) =0.683,1.不

23、及格的人數(shù)占x (1 0.683) =0.1585.2(2) P (70 20<X< 70+20) =0.954,丁成績在8090分內(nèi)的學(xué)生占1-P (50<X<90) - P (60<X<80) =0.1355 .【總結(jié)升華】本題利用了正態(tài)密度曲線的性質(zhì)求概率，其中應(yīng)注意對稱性的運(yùn)用及正態(tài)變 量在三個(gè)特殊區(qū)間的概率取值規(guī)律.舉一反三：、 一'"" II " ' x”I I1【變式11工廠制造的某機(jī)械零件尺寸 X服從正態(tài)分布N(4,1),問在一次正常的試驗(yàn)中，取91 000個(gè)零件時(shí)，不屬于區(qū)間(3,5)這個(gè)尺寸范圍的零件大約有多少個(gè)？11【答案】XN(4, ), 呼4, (y=.不屬于區(qū)間(3,5)的概率為P(X< 3>P(X> 陟 1 P(3<X<5)=1 P(4 1<X<4 +