烏龜性別與溫度的數學模型

1、數學建模期末作業(yè)烏龜性別的決定因素問題（習題1010）姓名：李紅軍專業(yè)：數學與應用數學年級：2012級摘要本文針對幼龜性別溫度關系進行建立模型，在建模時建立溫度與雄龜比例的模型，由于雄龜比例只可能在【0,1之間取值，所以不能建立一般的統(tǒng)計回歸模型，所以可以建立Logit模型。利用MATLA跳計工具箱中的命令glmfit求解。再求出各個系數估計值后用EXCELS格進行處理算出每個溫度下雄龜比例的估計值，對模型進行驗證，為了提高模型的擬合效果可以在Logit模型中添加t的高次方，并用利用MATLA猷計工具箱中的命令regress求解，求出各個系數估計值，置信區(qū)間和模型相關系數。為了能直觀的比較模型

2、擬合效果可以利用MATLAB的plot工具會出（t,logit）的散點圖，并用利用Tools下BasicFitting工具找出一條擬合效果最好的曲線，并得出其對應的系數。最后可以通過logit基本模型得出當溫度為度幼龜比例為1:1,而且溫度每增加一度雄龜與雌龜比例擴大倍。關鍵詞：logit模型，置信區(qū)間，相關系數一、問題提出人類的性別是由基因決定的，烏龜的性別主要有什么因素決定的呢科學研究表明，決定幼龜性別的最關鍵的因素是烏龜孵化時的溫度。為了研究溫度是如何影響幼龜的雌雄比例，美國科學家對某一類烏龜的孵化過程做了實驗，試驗在五個不同恒定溫度下進行，每個溫度下分別觀察3批烏龜蛋的孵化過程，得到的

3、數據如下:溫度烏龜蛋個數雄龜個數雌龜個數雄龜比例101910%8080%9181%1107370%642%86275%13130100%963%871%107370%8531%972%11101%880100%990100%、基本假設假設1;幼龜性別只與溫度有關三、符號說明符號意義單位備注t烏龜孵化時的溫度CP(x)雄龜比例S烏龜蛋總數個X雄龜個數個C雌龜個數個四、問題分析在本題由于是求溫度與性別比例的模型，在數據表中每個溫度都記錄了三批烏龜，所以首先要對數據進行處理，利用excel算出每個溫度對應下烏龜的總數，雄龜總個數,雌龜總個數和雄龜比例。溫度烏龜蛋個數雄龜個數雌龜個數雄龜比例27225

4、%24177%30264%27198%28271%為了使得運算更簡單可以把溫度進行預處理，把看成0,以此類推可得溫度烏龜蛋個數雄龜個數雌龜個數雄龜比例027225%24177%30264%27198%28271%為了更直觀觀察其回歸關系，利用MATLA繪制出散點圖。從圖中可以看出回歸曲線是一條近于3次樣條的多項式回歸曲線，其回歸模型為P(x)b0bi*tb2*tA2b3*tA3(1)然而在這個問題中(1)是回歸方程中P(x)的取值不一定在0,1中，即使P(x)取值在0,1中，有意在給定t是，誤差項也只能取0,1兩個值，顯然不具有正態(tài)性，而且的方差依賴于與t,具有異方差性，這些都違反了普通回歸分

5、析的前提條件，因此，該題不能用用普通回歸分析。由于P(x)在0,1之間取值，可以使用Logit模型。五、模型的建立與求解模型的建立模型的求解Logit模型是一種廣義線性模型，可利用MATLA毓計工具箱總的命令glmfit求解。參數參數估計值標準差B0B1-101783所以估計值為bo1.1783bi2.2110所以當幼龜比例為1:1時計算出溫度為度令odd(t)為雄龜與雌龜比例，故有當溫度增加1度時odd比為于是由于b1=,所以溫度每增加一度時雄龜與雌龜比例增加到原來的倍結果的分析及驗證對模型各個溫度進行驗證溫度烏龜蛋個數雄龜個數雌龜個數雄龜比例雄龜估計值027225%24177%30264%

6、27198%28271%模型改進從以上結果可知擬合偏差太大，不適合于做為最終結果。由于模型的右端是溫度t的線性函數，可以考慮加入t的二次項后，看是否能提高模型的擬合程度。即考慮模型為執(zhí)行以下程序>>b2,dev2=glmfit(tt.A2,xs,'binomial','logit');b2,pval=1-chi2cdf(dev-dev2,1)b2=pval=計算出b0,b1,b2的估計值為、所以模型為溫度烏龜蛋個數雄龜個數雌龜個數雄龜比例雄龜估計值027225%24177%30264%27198%28271%由以上表可知擬合偏差減小，由此可知，加入高

7、次方后可以提高擬合偏差，所以為了進一步提高擬合效果，可以先計算出logit對應的值并畫出并繪出(t,logit)的散點圖溫度烏龜蛋個數雄龜個數雌龜個數雄龜比例Logit(t)027225%24177%30264%27198%28271%再利用Tools下BasicFitting工具找出一條擬合效果最好的曲線，并得出其對應的系數可知模型為個系數為所以模型為當所以幼龜比例為1:1時P(x)=.所以logit=0;即可以得出當溫度為27.、和時幼龜比例為1:1;再次各個數據進行驗證可得溫度烏龜蛋個數雄龜個數雌龜個數雄龜比例雄龜估計值027225%24177%30264%27198%28271%由以上

8、結果可以看出擬合程度很好。在用MATLAB?計工具中的命令regress求解得知相關系數R為1;擬合效果很好。六、參考文獻數學模型第四版高等教育出版社七、附錄模型1求解程序>>t=0'>>x=217261927'>>s=2724302728'>>proport=x./s;>>b,dev,stats=glmfit(t,xs,'binomial','logit');>>logitfit=glmval(b,t,'logit');>>plot(t,

9、proport,'o',t,logitfit,'r-');>>xlabel('t');ylabel('proportionofx')>>b,bi=,devb=bi=dev=模型1驗證程序>>x=01;1;1;1;1alpha=;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,alpha)b=bint=r=rint=stats=模型2的驗證程序x=001;A21;A21;A21;A21x=00alpha=;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,alpha)

10、b=bint=rint=stats=繪制(t,P(x)散點圖程序> >t=0;P=；>>plot(t,p,'r*')繪制(t,logit)散點圖程序> >t=0;>>plot(t,p,'r*')用第三模型計算幼龜比例為1:1時溫度程序> >y=0y=0> >roots(y)ans=vpa(roots(y),8)ans=第三模型各個溫度對應雄龜比例結果驗證程序> >Y=(t)+*t+*tA*tA4+*tA5Y=。)+*1+中坐4+坐5> >f=(t)exp(Y(t)/(1+exp(Y(t)f=(t)exp(Y(t)/(1+exp(Y(t)> >f(0)ans=> >fans=> >f>>fans=> >fans=用regress驗證模型程序x=000001;A5A4A3A21;A5A4A3A21;A5A4A3A21;A5A4A3A21x=00000alpha=;b,bint,r,rint,stats=regress