一起學(xué)奧數(shù)-余數(shù)問題

1、2021/3/91風(fēng)子編輯余 數(shù) 問 題 五年級2021/3/92教育目標(biāo)教育目標(biāo)使學(xué)生初步理解有余數(shù)除法的意義，掌握有余數(shù)除法的橫豎式寫法教育重點(diǎn)教育重點(diǎn)用代數(shù)思想解決帶余數(shù)的除法問題，及余數(shù)相等的運(yùn)算教育難點(diǎn)教育難點(diǎn) 代數(shù)思想在數(shù)論中的運(yùn)用掌握除法運(yùn)算中，各運(yùn)算部分包含的意義學(xué)會用帶余數(shù)的除法來解決實(shí)際問題2021/3/93第一課 基礎(chǔ)部分2021/3/94例1：一個兩位數(shù)除310，余數(shù)是37。求這樣的兩位數(shù)?！痉治觥?10是被除數(shù)，所求兩位數(shù)為除數(shù)。由余數(shù)是37，可知除數(shù)是大于37兩位整數(shù)。又因為310-37=273=3713，所以這個兩位數(shù)是39或91。解： 余數(shù)是37 這個兩位數(shù)大于

2、37 又310-37=273 且273=3713 這個兩位數(shù)我39或91被除數(shù)除數(shù)=商余數(shù)余數(shù)70，則這個整數(shù)去除70的余數(shù)必定為70，所以三個余數(shù)的和，必定大于50。所以，這個整數(shù)必定在17和70之間。且a|2529，所以這個整數(shù)為29或58。用58去除110的余數(shù)為52，不符合要求。所以這個整數(shù)為29在數(shù)論問題中，最關(guān)鍵的是用好代數(shù)思想2021/3/97例3：一個自然數(shù)除以3，得余數(shù)2，用所得的商除以4，得余數(shù)3.若用這 個自然數(shù)除以6，得余數(shù)（）。【分析】首先請大家回想一下還原法。并結(jié)合這個題目，寫出還原法的分析過程。一個自然數(shù)3余2商4余3我們可以去假設(shè)最后得到的商是a，則這個自然數(shù)為

3、3（4a+3）+2=12a+11因為6|12a，所以12a+11除以6所得余數(shù)，與116的余數(shù)相同，即為5.求余數(shù)過程中，可以把能夠整除一部分去除2021/3/98例4：有一張紙剪成6塊，從所得紙片中取出若干塊，每塊各剪成6塊，再從所得紙片中取出若干塊，每塊各剪成6塊如此進(jìn)行下去，到剪完某一次后停止。所得紙總數(shù)有可能是2012，2013，2014，2015，2016這幾個數(shù)中的（）?！痉治觥渴紫却蠹襾硌菔疽幌逻@個過程。一張紙剪成6塊，比原來增加了6塊；從6塊中隨便取出幾塊，那一塊剪成6塊，總的數(shù)量又增加了5塊；再取一張剪成6塊，總的數(shù)量還是增加了5塊，如此直至剪完取出的幾塊紙。再從所得的紙片中

4、取出若干塊，用上面同樣的方法剪，結(jié)果每剪一次就增加5塊紙。請大家告訴我，發(fā)現(xiàn)了一個什么樣的規(guī)律？沒剪一次，就增加5塊紙。最后紙的數(shù)量與剪的次數(shù)相關(guān)，而與取出的方法無關(guān)。所以，最后所得的數(shù)，必定是除以5余1。題目中五個數(shù)，僅20165余1 。要學(xué)會從復(fù)雜的過程中找出規(guī)律2021/3/99例5：商店里有六箱貨物，分別重15、16、18、19、20、31千克，兩個顧客買走了其中五箱。已知一個顧客買的貨物重量是另一個顧客的2倍，那么商店剩下的一箱貨物重量是（）千克?！痉治觥恳粋€顧客買的貨物重量是另一個的2倍，如果設(shè)一個顧客買的貨物重量是a，則另一個買的貨物重量是2a，兩個人的貨物的合計重量為3a，即兩

5、個顧客的貨物的重量能夠被3整除?？偣仓挥?箱貨物，我們先來看看六箱總的重量： 15+16+18+19+20+31=119顯然，119不能被3整除：1193=392 ，因為5個箱子的總重必須被3整除，所以六箱重量除以3余2，是由于其中一個箱子的重量除以3余2引起。從六個箱子分別的重量中，可以看出，只有20除以3余2，所以剩下的一箱貨物重量為20千克。2021/3/910例6：有一列數(shù)：1，3，9，25，69，189，517，其中第一個數(shù)是1，第二個數(shù)是3，從第三個數(shù)起，每個數(shù)恰好是前面兩個數(shù)之和的2倍再加1，那么這列數(shù)中的第2014個數(shù)除以6，得到的余數(shù)是（）。【分析】對一列數(shù)的分析，有兩種方式，一種是先按規(guī)律找出一般表達(dá)式，即通項，再按通項算出指定數(shù)；另一種是先對數(shù)列進(jìn)行分析，根據(jù)分析結(jié)果找出規(guī)律，再完成指定數(shù)與這個規(guī)律間的對應(yīng)關(guān)系分析。從這列數(shù)的前7個數(shù)看，數(shù)字快速變大，第2014個數(shù)的書寫也會變得麻煩。且按給定條件，也很難寫出這一數(shù)列的通項。所以，我們可以嘗試第二種方法。把前7個數(shù)除以6，得到的余數(shù)是：1、3、3、1、3、3、1?？梢姡鄶?shù)是按3個一組不斷循環(huán)出現(xiàn)。20143=6711因為2014除以3的余數(shù)是1，說明第201