_定積分與微積分基本定理

1、定積分與微積分根本定理【考綱速讀吧】1了解定積分的實(shí)際背景、根本思想，了解定積分的概念.2了解微積分根本定理的含義.【要點(diǎn)集結(jié)號(hào)】1個(gè)必會(huì)關(guān)鍵由微積分根本定理可知，求定積分的關(guān)鍵是求導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)，由此可知，求導(dǎo)與積分是互為逆運(yùn)算.2個(gè)必記關(guān)系1. 當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于 x軸上方時(shí)定積分的取值為正，位于 x軸下方時(shí)定積分的取值為負(fù). 2當(dāng)位于x軸上方的曲邊梯形與位于 x軸下方的曲邊梯形面積相等時(shí)，定積分的值為零.1 利用定積分求曲邊圖形面積時(shí)，一定要找準(zhǔn)積分上限、下限及被積函數(shù)當(dāng)圖形的邊界不同時(shí)，要分 不同情況討論.2加速度對(duì)時(shí)間積分為速度，速度對(duì)時(shí)間積分是路程.3定積分在物理中應(yīng)用的不同類型

2、的計(jì)算方法，可類比平面圖形面積的計(jì)算.【課前自主導(dǎo)學(xué)】011 定積分的幾何意義F (x)bF (x) dx的幾何意義aF (x) 0表示由直線,y = 0及曲線y= F (x)所圍成的曲邊梯形的面積F (x) 0表示由直線,y= 0及曲線y= F (x)所圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù)F (x)在a, b上有正 有負(fù)表示位于x軸上方的曲邊梯形的面積減去位于x軸下方的曲邊梯形的面積(1) F (x)是奇函數(shù)，且5f (x) dx= 6，貝U 5- 5F (x) dx=0 1 (ex+ 2x) dx = 4xdx=x0 23. 微積分根本定理一般地，如果函數(shù)F (x)是區(qū)間a, b上的連續(xù)函數(shù)，并且

3、F(x) = F (x),那么bF (x) dx=(2) 11 x2dx 的值是2. 定積分的性質(zhì)性質(zhì) 1b1dx =a性質(zhì)2 bkF (x) dx = (其中k為常數(shù))a性質(zhì) 3 bF1 (x) F2 (x) dx = bF1 (x) dx bF2 (x) dxaaa性質(zhì) 4 bF (x) dx = cF (x) dx + bF (x) dx (其中 ac0,貝U x1 假設(shè)1 x1，于曰1y= 2x2 1的一個(gè)原函數(shù)是x2dx=( x3 lnx)y= |x3 lnx,216214=(In2) (一一 ln1) = In2.3331 22|1 x|dx= 1 (1 x) dx+ 2 (x 1

4、) dx=( x qx2) 0 0 1另解：x 0,2時(shí)，y=|1 x|，如圖，關(guān)于x= 1對(duì)稱， x212|1 x|dx= 2 1 (1 x) dx= 2 ( x)= 1 .0 00【考點(diǎn)二】定積分幾何意義的應(yīng)用例2假設(shè)定積分m 2寸x2 2xdx=n，貝U m 等于(C. 1【審題視點(diǎn)】被積函數(shù)y= . x2 2x的原函數(shù)不易直接求出，其圖象與圓有關(guān)，故可用定積分的幾何意義求解.【解析】根據(jù)定積分的幾何意義知，定積分 m 2 x2 2xdx的值，就是函數(shù) y= x2 2x的圖象與x軸及直線x= 2, x= m所圍成圖形的面積，y=x2 2x是一個(gè)半徑為1的半圓，其面積等于 才，而m2寸x2

5、 2xdx = n即在區(qū)間2, m上該函數(shù)圖象應(yīng)為1的圓，于是得 m = 1 應(yīng)選A.v44【答案】A【師說點(diǎn)撥】(1)當(dāng)被積函數(shù)較為復(fù)雜，定積分很難直接求出時(shí)，可考慮用定積分的幾何意義求定積分.(2)利用定積分的幾何意義，可通過圖形中面積的大小關(guān)系來比擬定積分值的大小.【變式探究】用定積分的幾何意義求值： Sin xdx.n n解：由于函數(shù)y= Sinx在區(qū)間2, 2上是一個(gè)奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，在x軸上方和下方面積T相等，故該區(qū)間上定積分的值為面積的代數(shù)和，等于0，即Sin xdx= 0.【考點(diǎn)三】利用定積分面積例3【2022 山東卷】設(shè)a0,假設(shè)曲線y=破與直線x= a, y=

6、 0所圍成封閉圖形的面積為 a,那么a =【審題視點(diǎn)】由于x0 a0，所以曲線y=G與直線x= a, y= 0所圍成封閉圖形的面積就是函數(shù)y=.；x以x為積分變量在區(qū)間0, a上的定積分，也可以以 y為積分變量在區(qū)間0, a上的定積分._3_3_2 2 2 2 9【解析】解法一 S= a xdx=|0= 3a = a,解得a= 4.01a1解法二 S= /a0 (a x) dy= /a0 (a y2) dy=( ay y3)= a a ja .a = a,即2 ,a= 1，所以a= 9【答案】94【奇思妙想】本例變?yōu)榍€y=G，直線y= x 2及y軸所圍成的圖形的面積，如何求解？解：y= .x

7、與y= x 2以及y軸所圍成的圖形為如下圖的陰影局部，聯(lián)立y= x得交點(diǎn)坐標(biāo)為(4,2),y= x 2故所求面積為S= 4 X 02 T(x 2) dx= 3X【師說點(diǎn)撥】利用定積分求曲邊梯形面積的步驟(1) 畫出曲線的草圖.(2) 借助圖形，確定被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上、下限.(3) 將 曲邊梯形的面積表示成假設(shè)干個(gè)定積分的和或差.(4) 計(jì)算定積分，寫出答案.【變式探究】【2022山東濰坊模擬】由拋物線 尸x2 1直線x= 2, y= 0所圍成的圖形的面積是答案：3解析：拋物線y= x2 1與x軸的交點(diǎn)為(一1,0)和(1,0),如圖，所求面積 S= 2 (x2 1) dx+

8、1 1 (1 x2) dx1=(1x3x) |2+ x3x3|1=3.【考點(diǎn)四】定積分在物理中的應(yīng)用例4 2022年7月2日，美國費(fèi)米國家加速器實(shí)驗(yàn)室宣布，接近發(fā)現(xiàn)帝粒子的存在，再次把人們的目光聚集在微觀世界.按萬有引力定律，兩上質(zhì)點(diǎn)間的吸引力F = km, k為常數(shù)，m1, m2分別為兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，r為r兩質(zhì)點(diǎn)間的距離，假設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)起始距離為a，質(zhì)點(diǎn)m1沿直線移動(dòng)至離質(zhì)點(diǎn) m2的距離為b處，那么吸引力所做的功(ba)為.【審題視點(diǎn)】此題考查的是定積分的物理意義，物體在變力F (x)的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，并且物體沿著與F(x)相同的方向從x= a移動(dòng)到x= b(ab),那么變力F(x)所做的功W

9、=bF(x)dx.a【解析】W = bF (x) dx= bkmr2mdr = km1m2 - ( 1) 1|a= kmnm2 1|a= km1m2 (寸b).aa1 1【答案】km1m2 (孑b)【師說點(diǎn)撥】利用定積分解決變速直線運(yùn)動(dòng)問題和變力做功問題時(shí)，關(guān)鍵是求出物體做變速直線運(yùn)動(dòng) 的速度函數(shù)和變力與位移之間的函數(shù)關(guān)系，確定好積分區(qū)間，得到積分表達(dá)式，再利用微積分根本定理計(jì) 算即得所求.【變式探究】【2022廣州模擬】物體A以v = 3t2 + 1 ( m/S)的速度在一直線I上運(yùn)動(dòng)，物體B在直線I上，且在物體 A的正前方5 m處，同時(shí)以v = 10t ( m/S)的速度與A同向運(yùn)動(dòng)，出發(fā)

10、后物體 A追上物 體B所用的時(shí)間t ( S)%()A . 3B . 4C. 5答案：C解析：因?yàn)槲矬wA在t秒內(nèi)行駛的路程為t (3t2 + 1) dt,物體B在t秒內(nèi)行駛的路為0t10tdt,所以 t (3t20 0+ 1 10t) dt=( t3+ t 5t2) |0 = t3 + t 5t2= 5? (t 5) (t2 + 1)= 0,即卩 t= 5.【課課精彩無限】03用定積分求平面圖形面積易錯(cuò)點(diǎn)【選題熱考秀】_ _ 1【2022 上海高考】函數(shù) y= F (x)的圖象是折線段 ABC，其中A (0, 0) , B (3, 5), C (1,0).函 數(shù)y= xF (x) (OWxWl的

11、圖象與x軸圍成的圖形的面積為 .1 110x, 0纟芳，10x2, 00?！緲?biāo)準(zhǔn)解答】由題意F (x)=那么xF (x)=1 110x+ 10, 2xW 1 10x2 + 10x, x1),貝U a 的1x值是A . 2B. 3C. 4D. 6答案：A解析：1 2a (2x+ x) dx=( x2 + Inx)11 (2x+ x) dx= 3+ In2 .a=a2 + In a( 12+ In1) = a2 1 + Ina.1且a1- a2 1 + lna= 3 + ln2 , a = 2, x2,6.【2022汕頭模擬】設(shè) f (x)應(yīng)選A .x 0,1,2-x,A 3A. 4 答案：C解析

12、：此題畫圖求解,C.x561,2，D.更為清晰,如圖,那么午(x)0不存在dx等于()2f (x) dx=1x2dx+001 1=3 +( 4 2 2+ 2)二、填空題7.【2022金版原創(chuàng)】1 (2 x) dx=詁3f (a )=1 (2ax2 a2x)0dx,1(a)(2x護(hù))2答案：9解析：f (a)=1 (2ax2 a2x) dx=0(fax3- 1a2x2)23a a2,2當(dāng)a=-時(shí)，f ( a)取最大值，最大值為3& f (x)= 3x2 + 2x+ 1,假設(shè) 1 1f (x)29.dx= 2f(a),那么 a =1答案：3或13解析：1 1f (x) dx=1 1(3x2 + 2

13、x+ 1)1dx=( x3 + x2 + x)= 4= 2f ( a),11f (a) = 3a2 + 2a+ 1 = 2, 3a2+ 2a 1 = 0, a= 1，或 a = 3.319. 【2022通化模擬】曲線y= -+ 2x+ 2次，直線x= 1, x = e和x軸所圍成的區(qū)域的面積是 x答案：e2e解析：由題意得，所求面積為1 e1 ,e (一+ 2x+ 2e2x) dx = xdx+x1入1 1e (2x) dx +1e (2e2x) dx = Inxe+ x21e2x1=(1 0) + ( e2 1) + ( e2。一 e2)= e2e.三、解答題10. 【2022鄭州模擬】函數(shù)

14、 f (x) = x3+ ax2+ bx+ c的圖象如圖，直線y= 0在原點(diǎn)處與函數(shù)圖象相切,且此切線與函數(shù)圖象所圍成的區(qū)域(陰影)面積為 殳求f( x).解：由 f (0)= 0 得 c= 0, f (x)= 3x2 + 2ax+ b.由 f (0) = 0 得 b = 0, f (x)= x3 + ax2= x2 (x+ a), 由/a f (x) dx=乎得 a= 3 . f (x)= x3 3x2.11. f ( x)為二次函數(shù)，且 f ( 1 )= 2, f (0)= 0,(1 )求f (x)的解析式；1f (x) dx= 20(2)求f (x)在1,1上的最大值與最小值.解:(1)

15、設(shè) f (x)= ax2 + bx+ c (a工0 ,貝U f (x)= 2ax + b.a b + c= 2c=由 f ( 1 )= 2, f(0)= 0，得，即b = 0b=，即c= 2 ab= 0f (x)= ax2 + 2 a.又 1f (x) dx= 1ax2+ 2 adx=【3ax3+( 2 a) x= 2 a= 2, a = 6,從而 f ( x)= 6x2 4.(2)T f (x)= 6x2 4, x 1,1.當(dāng) x= 0 時(shí)，f (x) min= 4 ；當(dāng) x= 1 時(shí)，f ( x) max= 2 .12.【2022石家莊模擬】如圖，過點(diǎn) A (6,4)作曲線f (x)= .-4x 8的切線I;(1) 求切線I的方程；(2) 求切線I、x軸及曲線f (x) = /4x 8所圍成的封閉圖形的面積S.1