不等式基礎必備

1、不等式根底必備、根本不等式的公式1、均值定理:Qn An Gn Hn 當且僅當a1 a2 . an時取等號注解:Qn平方平均值：QnAn算術平均值：AnGn幾何平均值：Gna12a22.an2 .n7a i a? 玄門nn aia?an ；Hn調和平均值:n即：n1 1即卩:1Hna a 2anHn1a11a21an其中，a1, a2,.an0例如：a11，a22，求 Qn、An、Gn、Hn，并比擬它們的大小.解：Qn2 212 2225 1-6 ；An1.5 ；1.3Gn 2f2 ,2 1.4 ；可見：有Qn An從大到小的順序是：平方算術，幾何調和2、指數(shù)不等式：ex 1 x 當且僅當x

2、0時取等號注解：由于要求不等式右邊1 x 0，故：x 記憶方法見函數(shù)圖.曲線y ex在x R區(qū)間都處在直線y的上方，僅在x 0處相切.即：ex 1當且僅當x 0時取等號例如：x 1時，左邊ex 2.718，右邊1 x 2故：ex 1 x3、對數(shù)不等式：In x x 1 當且僅當x 1時取等號注解：由于0和負數(shù)沒有對數(shù)，所以：x 0yy x Zx記憶方法見函數(shù)圖.y In x曲線y In x在x 0區(qū)間都處在直線y x 1O/rx的下方，僅在x 1處相切.即：1 nx x 1，當且僅當x 1時取等號也可以由ex 1 x得：ey 1 y兩邊取對數(shù)：y 1 In y，即：In x x 1例如：xe時

3、，左邊 In x In e 1，右邊 x1 e 11.7181，故：In x x 14、柯西不等式：(a/a22. an2)(b12 b22. bn2)(a azb?.anbn)2(當且僅當業(yè)亞.玉時取等號)b1b2bn注解：設向量A但1忌,.'n)，向量B (“咕小n)，.v 2222 V 2222貝U Aa12a22.an2，Bb12b22.bn2，v vA B a1b1 a2b2 . anbnvvvv v vvvvv由向量公式：A B A B cos A,B 得：A B A Bv 2 v 2 v v 2兩邊自乘得：A B (A B)2將上面的結果代入得：(a/ a22 . an2

4、)(b12 b22. bn2)佝 a?®a“bn)2a11，a22，b13，b24那么:a121，a224，®2a22)5 ；b129，b2216，(b12b22)25 ；(a122a2)(b12b22)525125 ；a1b13，玄2匕28，心佝a2S)2例如:112b22)1251212 2a2 )(b1(a12121.故:佝2a22)(b12b22) 1 a?)25、琴生不等式:注解: 設在x a,b區(qū)間f (x)為上凸函數(shù)，如圖即f(x)的二次導數(shù)f ''( x)那么：f(a) f(b)' 2f(羅)圖中，A點為均值的函數(shù)值,B點為函數(shù)的均值

5、.即：對于上凸函數(shù)，函數(shù)的均值不大于均值的函數(shù)值 設在x a,b區(qū)間f (x)為下凸函數(shù)，如圖即f(x)的二次導數(shù)f ''( x)那么：f(a) f(b)2a bf(/圖中，A點為均值的函數(shù)值,B點為函數(shù)的均值.即：對于下凸函數(shù)，函數(shù)的均值不小于均值的函數(shù)值上面的式，稱為琴生不等式.例如：對于函數(shù)f(x) sinx，在x 0,區(qū)間為上凸函數(shù),而f號)£)1. 故: f(a) f(b)f(a2b例如：二次函數(shù)f(X) x2x 1因為f '(x)2x 2，f ''( x) 20所以f (x)下凸函數(shù).即:故:0,2區(qū)間有:f(0) 1 ， f(2)

6、f(0) f(2)12 1，0 2f()f(1)f(0) f(2) f(0 2)2 2其實，在x R區(qū)間，都滿足f(a) f(b)f (1)f(a2b)因為 f '( x) cosx , f ''( x)sin x 0 ( x 0,)故：f(x) sinx在x 0,區(qū)間為上凸函數(shù).此時，a 0f (a) f(0)0， f(b) f( )0，即：f(a) f (b)推廣為一般形式對于x (a, b)的上凸函數(shù)，即:f''( x) 0有:f(Xi) f(X2). f (x n)x1 x2f( 12n(x1,x2,., xn(a,b)對于x (a,b)的下凸函

7、數(shù)，即：f''(x)0,有:f(Xi) f(X2). f (X n)x1 x2f( 12n(XX2，., Xn(a,b)這就是琴生不等式.注意不等號的方向與二次導數(shù)的方向一致6、伯努利不等式：(1 x)n 1 nx (x 1)注解：由二項式定理得：(1 x)n Cn CrJx C?x2 . Cnxn 1 nx g(x)在x 1時，g(x) 0,即：(1 x)n 1 nx (僅當n 1時取等號)例如：當 x 1，n 2時，左邊(1 x)n (1 1)2 4，右邊 1 nx 1 2 1 3 故：(1 x)n 1 nx7、向量不等式：向量三角形：av b |a b和同b| |a bv

8、 v v v 向量點乘：a b a b注解：由|V，b，a b構成的三角形，由三角形兩邊之和大于第三邊得.由恃，|b，a b構成的三角形，由三角形兩邊之差小于第三邊得； 由向量積的公式得：a V a b cos a,lVa V，即：a V a V ；IVVv V假設 a (aa2,a3)， b (b1.b2.b3)，貝U: a b ab a?b2 asbs上面這幾種根本不等式的簡單記憶方法：均值定理四兄弟，對數(shù)指數(shù)倆伴侶；柯西琴生伯努利，向量三角點乘積.上述不等式的解法統(tǒng)稱“公式法.凡解證不等式，首先考慮用上述的不等式，能使用的 盡量使用.不能直接使用的，但經(jīng)過變形后能使用的，也要盡量使用，即

9、盡一切可能使用上 述不等式.二、求不等式的根本方法1、作差法：將比擬的兩對象相減后，其差與 0比擬大小的方法.注解：最常用的是構建函數(shù)法.例如，證明f(x) g(x)，那么構建h(x) f(x) g(x)2、 作商法：將比擬的兩正數(shù)對象相比后，其商與 1比擬大小的方法.f (x)注解：例如，f (x)0，g(x) 0,證明f (x) g(x).將其變形為 與1比大小.g(x)3、公式法：用前面不等式的公式得到結果的方法.注解：即均值定理、柯西不等式等.4、單調性法：利用函數(shù)在某區(qū)間的單調性得出大小的方法.注解：例如，函數(shù)f (x)在區(qū)間x a,b單調遞增，那么有：f(x) f (a)， f (

10、x) f(b).5、放縮法：由等式的一邊經(jīng)過放大或縮小將等式變?yōu)椴坏仁剑换蛘叽笳咦兊酶?，?者變得更??；從而使問題得到解決的方法.注解：例如，n 0，原本n2 n2，將右邊減小變?yōu)閚2 n(n 1)式就是放縮法的結果.6、判別式法：如果一個二次函數(shù)過零點，即在零點存在二次方程的解，那么二次方程 有解的條件是：判別式 0.這里就自然出現(xiàn)了不等式.注解：本方法用于處理二次函數(shù)時，包括二次函數(shù)的分式 .7、換元法：將一個整式、分式或根式整體看做一個量進行處理的方法，主要是簡化注解：特別是三角換元法.因為三角函數(shù)本身有界，所以自然就有不等式 .此法要求常 用的三角恒等式必須熟悉.注解：例如，在放縮法

11、中的式，進一步得:1 1 1 12n n(n 1) n 1 n8、裂項相消法：將一項式子分裂成兩項或多項，在求和過程中有局部項相互抵消，從而得到簡明結果的方法這樣，如果是求和k$，那么可得結果:n丄k 1F1(丄-)k 2 k 1 k(1其中的1 1丄是裂項.n(n 1) n 1 n在求和過程中，好多項相互抵消Id 7)(1 扌)G 1).(n9、倒序相加法：將一個多項求和的式子的一個正序列和一個倒序列按序相加的方法 注解：例如，求Sn 12 3. n.其倒序后為：Sn n (n 1) . 21 .這兩個式子按序相加后得：2Sn(1 n) (2 n 1) . (n 1)其中，每個圓括號內的值都

12、是(n 1)，共有n項.故結果是:2Sn n(n 1)，即：Sn 筆10、極值法(最值法)：求出函數(shù)f(x)在某個區(qū)間的極值，加上邊界值找出最值，那么 函數(shù)的最值就是出現(xiàn)不等式的方法.注解：函數(shù)f(x)在x R區(qū)間的最大值是8，那么有f(x) 811、積分法：積分實際上是求和，是簡化求和運算的一種方法 .如果函數(shù)是單調的，函數(shù)的每一小區(qū)間內就會出現(xiàn)不等號，求和后依然存在不等號.注解：積分法最好要畫出簡明圖，可以看出單調性和不等的量 .上面這幾種求不等式的根本方法簡單記憶：作差與0比大小，作商與1比高低；套用公式得結果，單調放縮有小大;二次函數(shù)過零點, 判別式與換元法;倒序相加來求和, 裂項相消去簡化;極值最值亦可得,單調積分號方法例題：a,b 0 ,求證:證明：用均值定理：An Gnna422na (4di即：ann(n 1)(nan n同理：bn (n 1)(a )4 4 3)n abn、(2)nnab2n 1n 1n nn na b a b()(1 4刀 4 2 4 4勿3nnna(bn n 1由兩式相加得:/ n(abn) (n 1)(anbn)n(an n a b b)(丁即:n n a b