第3講二項(xiàng)式定理

1、第3講 二項(xiàng)式定理一、選擇題1二項(xiàng)式6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是()A20 B20C160 D160解析 二項(xiàng)式(2x)6的展開(kāi)式的通項(xiàng)是Tr1C·(2x)6r·rC·26r·(1)r·x62r.令62r0，得r3，因此二項(xiàng)式(2x)6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是C·263·(1)3160.答案 D2若二項(xiàng)式n的展開(kāi)式中第5項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)n的值可能為()A6 B10 C12 D15解析Tr1C()nrr(2)rCx，當(dāng)r4時(shí)，0，又nN*，n12.答案C3已知8展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為1 120，其中實(shí)數(shù)a是常數(shù)，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和是(

2、)A28 B38 C1或38 D1或28解析由題意知C·(a)41 120，解得a±2，令x1，得展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和為(1a)81或38.答案C4設(shè)n的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，若MN240，則展開(kāi)式中x的系數(shù)為()A150 B150 C300 D300解析由已知條件4n2n240，解得n4，Tr1C(5x)4rr(1)r54rCx4，令41，得r2，T3150x.答案B5設(shè)aZ，且0a<13，若512 012a能被13整除，則a()A0 B1 C11 D12解析512 012a(13×41)2 012a被13整除余1a，結(jié)合選項(xiàng)可得a12

3、時(shí)，512 012a能被13整除答案D6已知0<a<1，方程a|x|logax|的實(shí)根個(gè)數(shù)為n，且(x1)n(x1)11a0a1(x2)a2(x2)2a10(x2)10a11(x2)11，則a1()A10 B9 C11 D12解析作出ya|x|(a>0)與y|logax|的大致圖象如圖所示，所以n2.故(x1)n(x1)11(x21)2(x21)11，所以a12C2119.答案B二、填空題7 18的展開(kāi)式中含x15的項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)(結(jié)果用數(shù)值表示)解析Tr1Cx18rr(1)rCrx18r，令18r15，解得r2.所以所求系數(shù)為(1)2·C217.答案178已知(1x

4、x2)n的展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，nN*且2n8，則n_.解析n展開(kāi)式中的通項(xiàng)為T(mén)r1CxnrrCxn4r(r0,1,2，8)，將n2,3,4,5,6,7,8逐個(gè)檢驗(yàn)可知n5.答案n59若(cosx)5的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為2，則sin_.解析 由二項(xiàng)式定理得，x3的系數(shù)為Ccos22，cos2，故sincos22cos21.答案 10設(shè)二項(xiàng)式6(a0)的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為A，常數(shù)項(xiàng)為B.若B4A，則a的值是_解析由Tr1Cx6rrC(a)rx6r，得BC(a)4，AC(a)2，B4A，a0，a2.答案2三、解答題11已知二項(xiàng)式n的展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和為256.(1)求n；(2)求展開(kāi)式中的常數(shù)

5、項(xiàng)解(1)由題意，得CCCC256，即2n256，解得n8.(2)該二項(xiàng)展開(kāi)式中的第r1項(xiàng)為T(mén)r1C()8r·rC·x，令0，得r2，此時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為T(mén)3C28.12已知等差數(shù)列2,5,8，與等比數(shù)列2,4,8，求兩數(shù)列公共項(xiàng)按原來(lái)順序排列構(gòu)成新數(shù)列Cn的通項(xiàng)公式解等差數(shù)列2,5,8，的通項(xiàng)公式為an3n1，等比數(shù)列2,4,8，的通項(xiàng)公式為bk 2k ，令3n12k ，nN*，k N*，即n，當(dāng)k 2m1時(shí)，mN*，nN*，Cnb2n122n1(nN*)13已知(a21)n展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)之和等于5的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)，而(a21)n的展開(kāi)式的系數(shù)最大的項(xiàng)等于54，求a的值解5

6、的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r1C5r·r5rCx，令205r0，得r4，故常數(shù)項(xiàng)T5C×16.又(a21)n展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和等于2n，由題意知2n16，得n4.由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，(a21)n展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是中間項(xiàng)T3，故有Ca454，解得a±.14已知n， (1)若展開(kāi)式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)；(2)若展開(kāi)式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)解(1)CC2C，n221n980.n7或n14，當(dāng)n7時(shí)，展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T4和T5.T4的系數(shù)為C423，T5的系數(shù)為C32470，當(dāng)n14時(shí)，展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T8.T8的系數(shù)為C7273 432.(2)CCC79，n2n1560.n12或