2016年高考北京理科數(shù)學(xué)試題及答案(解析版)

1、2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(北京卷)-、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，(1)【2016年北京，理1,5分】已知集合A=x|xy2,=1,0,1,2,3,則A選出符合題目要求的一項(xiàng).(A)0,1(B)0,1,2(C)-1,0,1b=(D)1-1,0,1,2)【答案】C【解析】集合A=k-2<x<2),集合B=x1,0,1,2,3,所以ApB=1,0,1,故選【點(diǎn)評】本題考查交集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意交集定義的合理運(yùn)用.2x-y<0，C.(2)【2016年北京，理2,5分】若x(A)0(B)3y滿足x+yM3

2、,x>0,(C)4則2x+y的最大值為(D)5【答案】C【解析】可行域如圖陰影部分，目標(biāo)函數(shù)平移到虛線處取得最大值，對應(yīng)的點(diǎn)為為2黑1+2=4,故選C.(1,2),最大值【點(diǎn)評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法.(3)【2016年北京，理3,5分】執(zhí)行如圖所示的程序框圖,(A)1【答案】B(B)2(C)3若輸入的a值為1,則輸出的k值為(D)41【解析】開始a=1,k=0;第一次需環(huán)a,k=1；第二次循環(huán)a=2,k=2,第三次循環(huán)27條件判斷為是"跳出，此時(shí)【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是程序框圖,行解答.(4)【20

3、16年北京，理4,5分】設(shè)(A)充分而不必要條件(C)充分必要條件k=2,故選B.當(dāng)循環(huán)次數(shù)不多，或有規(guī)律可循時(shí)，可采用模擬程序法進(jìn)a1=b"是"a+bab”的()(B)必要而不充分條件(D)既不充分也不必要條件(a【答案L,D【解析】若a|=bi44|成立，則以a,b為邊組成平行四邊形，那么該平行四邊形為菱形,形的對角線，而菱形的對角線不一定相等，所以4-Ha+ba-b表布的是該菱a+b=a-b不一定成立，從而不是充分條件；反之,a+bFI-b成立，則以a,b為邊組成平行四邊形,則該平行四邊形為矩形，矩形的鄰邊不一定相等,所以a=b不一定成立，從而不是必要條件，故選D.【

4、點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是充要條件，向量的模，分析出的關(guān)鍵.“a+b=|a-b”表示的幾何意義，是解答(5)【2016年北京，理5,5分】已知x,yWR,且xaya0,貝U()(A)1x【答案】C(B)sinx=siny>0©口1；<0°12廣0(D)lnx+lny>01考查的是反比例函數(shù)y=一在(0,+g)單調(diào)遞減，所以1111一<一即<0所以A錯(cuò)；B.考查的是三角函數(shù)y=sinx在(0,+兀)單調(diào)性，不是單調(diào)的，所以不一定有xysinx>siny,B錯(cuò)；C.考查的是指數(shù)函數(shù)y=g在(0,+宓)單調(diào)遞減,所以有1.2222y1<0所

5、以C對；D考查的是對數(shù)函數(shù)y=lnx的性質(zhì)，lnx+lny=lnxy,當(dāng)x>y>0時(shí)，xy>0不選C.【點(diǎn)評】本題考查了不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，(6)【2016年北京，理6,5分】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為(A)6(C)2(D)【答案】A【解析】通過三視圖可還原幾何體為如圖所示三棱錐，則通過側(cè)視圖得高11,一11S=父1父1=,所以體積V=Sh=,故選A.2236【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是由三視圖，求體積和表面積，根據(jù)已知的三視圖,解答的關(guān)鍵.(7)【2016年北京，理7,5分】將函數(shù)y=sin.'2x-圖象上的點(diǎn)3P三

6、,t4,長度得到點(diǎn)P',若P'位于函數(shù)y=sin2x的圖象上，則，1一,(A)t=1,s的最小值為JI(C)t(B)(D)t二2u2s的最小值為-6TTs的最小值為'3【解析】點(diǎn)P仁,t加函數(shù)y=sin(2x-|上，所以t=sin|2x-I3JI47t3bsinS11,然后y=sin2x向左平一1.移s個(gè)單位，即y=sin.2(x+s)-=sin2x,所以s=+k兀,YZ,所以s的最小值為一，故選A.366【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)y=sin(cox+邛)A>0,o>0)的圖象和性質(zhì)，難度中檔.(8)【2016年北京，理8，5分】袋中裝有偶數(shù)個(gè)球，其中紅

7、球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個(gè)空盒.每次從袋中任意取出兩個(gè)球，將其中一個(gè)球放入甲盒，如果這個(gè)球是紅球，就將另一個(gè)放入乙盒，否則就放入丙盒.重復(fù)上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則(A)乙盒中黑球不多于丙盒中黑球(C)乙盒中紅球不多于丙盒中紅球【答案】B【解析】取兩個(gè)球往盒子中放有 4種情況:(B)(D)( )乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多 乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多紅+紅，則乙盒中紅球數(shù)加 黑+黑，則丙盒中黑球數(shù)加紅+黑(紅球放入甲盒中) 黑+紅(黑球放入甲盒中)1個(gè)；1個(gè)；,則乙盒中黑球數(shù)加,則丙盒中紅球數(shù)加因?yàn)榧t球和黑球個(gè)數(shù)一樣，所以和的情況一樣多,1個(gè)；1個(gè).和的情況完全隨機(jī).和

8、對B選項(xiàng)中的乙盒中的紅球與丙盒中的黑球數(shù)沒有任何影響.和出現(xiàn)的次數(shù)是一樣的，所以對B選項(xiàng)中的乙盒中的紅球與丙盒中的黑球數(shù)的影響次數(shù)一樣.故選B.【點(diǎn)評】該題考查了推理與證明,重點(diǎn)是找到切入點(diǎn)逐步進(jìn)行分析，對學(xué)生的邏輯思維能力有一定要求，中檔題.、填空題：共 6小題，每小題 5分,(9)【2016年北京，理9, 5分】設(shè)aC【答案】-1【解析】(1 +i '(a +i )=a -1 +(a +1 J，共30分。R,若復(fù)數(shù)(1 +i p+i )在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，則a =.其對應(yīng)點(diǎn)在實(shí)軸上，a+1=0, a = -1.【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，難度不

9、大，屬于基礎(chǔ)題. (10)【2016年北京，理10, 5分】在(12x6的展開式中，x2的系數(shù)為 【答案】60【解析】由二項(xiàng)式定理得含x2的項(xiàng)為C；(2xj=60x2.【點(diǎn)評】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.(11)【2016年北京，理11,5分】在極坐標(biāo)系中，直線PcosH曲Psin61=0與圓P=2cos0交于A,B兩點(diǎn),則AB=.【答案】2【解析】將極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算x=PcosB,y=Psin0,直線的直角坐標(biāo)方程為x肉-1=0,P=2cose,爐(sin2|0+cos2e)=2Pcos8x2+y2=2x,圓的直角坐標(biāo)方程為(x1j+y2=1

10、,圓心(1,0)在直線上，因此AB為圓的直徑，份耳=2.【點(diǎn)評】本題考查了把圓與直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.(12)【2016年北京，理12,5分】已知aJ為等差數(shù)列，&為其前n項(xiàng)和.若&=6,a3+a5=0,則&=【解析】a3+a5=2a4a4=0,a1=6,a4=a1+3dd=-2,S6=6a1+)d=6.2【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的前6項(xiàng)和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用.22(13)【2016年北京，理13】雙曲線X2_y2=1(a>0,b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA,abO

11、C所在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn).若正方形OABC的邊長為2,則2=.【答案】2【解析】不妨令B為雙曲線的右焦點(diǎn)，A在第一象限，則雙曲線圖象如圖，OABC為正方形，.兀bOA=2c=|OB|=242,NAOB=n，.直線OA是漸近線，方程為y=-x,b=tan/AOB=1,又:a2+b2=c2=8a=2.a【點(diǎn)評】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)雙曲線漸近線垂直關(guān)系得到雙曲線是等軸雙曲線是解決本題的關(guān)鍵.一x3-3xxMa(14)【2016年北京，理14,5分】設(shè)函數(shù)f(x)=43'a.若a=0,則f(x)的最大值I2x,xa為;若f(x)無最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】2

12、；a<-1.【解析】由(x3-3xj=3x2-3=0,得x=方，如下圖，是f(x)的兩個(gè)函數(shù)在沒有限制條件時(shí)的圖象f(x%ax=f(1)=2;當(dāng)a>1時(shí)，f(x用最大值f(1)=2;當(dāng)a<-1時(shí)，-2x在x>a時(shí)無最大值，且-2a>(x3-3xax,所以，a<-1.【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值，分類討論思想，難度中檔.三、解答題：共6題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.(15)【2016年北京，理15,13分】在MBC中，a2+c2=b2+V2ac.(1)求/B的大小；(2)求衣cosA+cosC的最大值.即,人、2

13、22l222lac_bV2ac22>_兀斛：(1)a+c=b+、；2ac,a+c-b=*2ac,，cosB=,BB=-.2ac2ac243.22(2) .A+B+C=7t,/.A+C=兀.v2cosA+cosC=W2cosA+(cosA)+sinA4'22=cosA+sinA=sin(A+)/A+C=兀.A三(0一句A+e(,兀)2244444sA號最大值為1，所以&cosA+cosC最大值為1-【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是余弦定理，和差角公式，正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔.A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5試估計(jì)C

14、班的學(xué)生人數(shù)；從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取一個(gè)人,A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙.假(16)【2016年北京，理16,13分】A,B,C三個(gè)班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時(shí)間，數(shù)據(jù)如表(單位：小時(shí))：設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時(shí)間相對獨(dú)立，求該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長的概率；再從A,B,C三班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，他們該周鍛煉時(shí)間分別是7,9,8.25(單位：小時(shí))(1)(2)(3)解：(1)這3個(gè)新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為和3的大小.(結(jié)論不要求證明)8一X100=40,X班學(xué)生40人.20內(nèi)，表格中數(shù)據(jù)的平均

15、數(shù)記為耳，試判斷出(3)1在A班中取到每個(gè)人的概率相同均為-,設(shè)A班中取到第i個(gè)人事件為A,i=1,2,3,4,5,C班中取到第j個(gè)人事件為Cj,j=1,2,3,4,5,6,7,8A班中取到A>Cj的概率為p,所求事件為D,則P(D)=1111-P+-P2+-F3+-P4+P5=黑5555552131313185858585HB,三組平均數(shù)分別為7,9,8.25,總均值=8.2,但h中多加的三個(gè)數(shù)據(jù)7,9,8.25，平均值為8.08，比的小，故拉低了平均值.【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，古典概型，難度中檔.(17)【2016年北京，理17,14分】如圖，在四錐P

16、-ABCD中，平面PAD_L平面ABCDPA=PD,AB_LAD,AB=1,AD=2,AC=CD=J5.(1)求證：PD_L平面PAB;(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；(3)在PA上是否存在點(diǎn)M,使得BM/平面PCD?若存在,說明理由.解：(1).面PADn面ABCD=AD,面PAD，面ABCD,AB_LABPAD的求aw的值,APAD,AB二面ABCD,PDU面PAD。.AB_LPD,又PD_LPA,.PD上面PAB.(2)取AD中點(diǎn)為O,連結(jié)CO,PO,CD=AC=、5,cCO_LAD,.PA=PD,O_LAD,原點(diǎn)，如圖營口P(0,0,1匕2(11,0),D(0,-B=(1,

17、1,TbPD=(-二PC=(2,0,1)"D=(2,1,0),法向量，*n=(劭，y0,1)44n-£nPC=0C(2,0,0)為面PDC1n=，1,1則PB與面PCD夾角日有2sin日=cos<n,PB川=1-1-1211134(3)假設(shè)存在M點(diǎn)使得BM/面pcd,設(shè)公M%vAP二九，M(0,y',z)由(2)知A(0,1,0),P(0,0,1),AP=(0-1,1),B(1,1,0),AM=(0,y'1,z'),有AM=7uAP=M(0,1九,九BM=(1,4,九)，BM/面PCD,n為PCD的法向量，BMn=0,即11十九+九=0,?.=

18、24.一,AM1，綜上，存在M點(diǎn)，即當(dāng)上比二1時(shí),AP4M點(diǎn)即為所求.【點(diǎn)評】本題考查線面垂直的判定，考查了直線與平面所成的角，訓(xùn)練了存在性問題的求解方法，建系利用空間向量求解降低了問題的難度，屬中檔題.(18)【2016年北京，理18, 13分】設(shè)函數(shù)(x)=xea"+bx,曲線y=f(x擴(kuò)點(diǎn)(2,f(2)處的切線方程為y=(e-1/+4.(1)求a,b的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.解：(Vf(x)=xea"+bx ,程為 y =(e -1)x 4 ,a xf (x) =e 一xea"+b =(1 x)ea"+b, .曲線 y = f(x)在點(diǎn)(2

19、, f (2)處的切線方. f(2) =2(e 1)+4 ,f (2) =(1-2)ea- +b =e -1 由解得:(2)=e1,即 f (2) =2eaN +2b = 2(e_1)+4 a = 2 b = e一 (2)由(1)可知：令 g(x) =(1 _x)ef (x) =xe2"+ex , f'(x)=(1-x)ex(q,2 )2(2*)g (x)0+g(x)極小值2 x.2 x2 x2 x一，g'(x) =-e - _(1x)e - =(x2)e 一. g(x)的最小值是 g(2) =(12)e2N = 1 , f (x)的最小值為 f'(2) =g

20、(2)+e = e1>0 ,即f (x) >0對yxs R恒成立，f (x)在(q,收讓單調(diào)遞增，無減區(qū)間.【點(diǎn)評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合切線斜率建立方程關(guān)系以及利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo) 數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng).(19)【2016年北京，理19, 14分】已知橢圓C：與"+/=1(a>0,b>0)的離心率為 斗,A(a,0,B(0,b),O (0,0 ), AOAB 的面積為 1.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線 值.PA與y軸交于點(diǎn)M ,直線PB與x軸交于點(diǎn)N .求證： AN .BM為定解：(1)由已

21、知,c 3 1-=,-ab=1,又a 2 22a =2,b =1,c =相3.，橢圓的方程為 上+ 丫2=1. 4(2)解法一:設(shè)橢圓上一點(diǎn)P Xo,yo2吟+y0j直線PA : y =一 Xoy0 (x2),令 x=0,得 yM = -2-2y0X0 - 2BM1十匹 x0 2直線PB：y0 一1 Ay =x+1,x0y 0 ,得 xn-x0y0 -1Xoyo -1|an |bm| = 2 +x0y。一11+衛(wèi)x0 2x0 2y0 -2x0 -2x02y0 -2y0 -12, 2% 4y04%y0 -4xO 8yO%丫0 x° 2y°22將x0+y2=1代入上式得|AN|

22、BM|=4,故|AN|BM|為定值.4解法二：設(shè)橢圓上一點(diǎn)P(2cosdsin日)，直線PA：y=sn_(x2),令x=0,得yM=即82cos1-21-cosBMsin 二 cos t1 -11 - cos-sinO-1 "八 八2cos6“一 '：尸?"1,令 y"0'xN=T. AN二2sin 1 2cos1-21 一sin 二AN |BM =2sin 日+2cos 日-2 sinO+cos日-11 -cos?=22 - 2sin 1 -2cos 1 2sin c cos ：11 -sin【-cos? sin ?cos?故|AN|BM|為定值.【點(diǎn)評】本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的離心率和基本量的關(guān)系，考查線段積的定值的求法，注意運(yùn)用直線方程和點(diǎn)滿足橢圓方程，考查化解在合理的運(yùn)算能力，屬于中檔題.