2017年天津高考理科數(shù)學(xué)試題及答案

1、絕密啟用前2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷)數(shù)學(xué)(理工類)本試卷分為第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分，共150分，考試用時120分鐘。第I卷1至2頁，第n卷3至5頁。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題考上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利！注意事項(xiàng)：1 .每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。2 .本卷共8小題，每小題5分，共40分。參考公式:如果事件A, B互斥，那么如果事件A,

2、B相互獨(dú)立，那么P(AU B)=P(A)+P(B).P(AB尸P(A) P(B).棱柱的體積公式 V=Sh.其中S表布棱柱的底面面積, 43球的體積公式V R3.3其中R表示球的半徑.h表示棱柱的高.-、選擇題：在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的(1)設(shè)集合A1,2,6,B2,4,CxR|1x5,則(AUB)IC(A)2(B)1,2,4(C)1,2,4,6(D)xR|1x52xy0,x 0,(2)設(shè)變量x,y滿足約束條件x2y20,則目標(biāo)函數(shù)zxy的最大值為y3,(A)(B) 1 (C) 3 (D) 32(A)(3)24,則輸出N的值為if1冗一 ”是“ sin12(A)充分而

3、不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件2 X(5)已知雙曲線一2a2當(dāng) 1(a 0,b 0)的左焦點(diǎn)為F ,離心率為 J2.若經(jīng)過F和bP(0,4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為2222/ a、xyxy(A)1(B)1(44882222x yx y1 (D) 14884(6)已知奇函數(shù) f(x)在R上是增函數(shù),g(x)xf(x) .若 a g( log2 5.1) , b g(20.8),cg(3),則a,b,c的大小關(guān)系為(A) a b c(B) c b a(C)(D) b(7)設(shè)函數(shù) f(x) 2sin(其中.若吟)f(.)。,8且f

4、(x)的最小正周期大于(A)12(B)(C)242x(8)已知函數(shù)f (x)xx 3,x2,x 1. x1,設(shè)a R ,若關(guān)于x的不等式f(x) |- a|在R上恒247 39 w,w47(A) -,2(B)成立，則a的取值范圍是(C)273,2(D)273,3916第II卷注意事項(xiàng)：1 .用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。2 .本卷共12小題，共110分。二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.(9)已知aR,i為虛數(shù)單位，若土'為實(shí)數(shù),則a的值為2i(10)已知一個正方體的所有頂點(diǎn)在一個球面上，若這個正方體的表面積為18,則這個球的體積為.(11)在極坐標(biāo)系中，

5、直線4cos()10與圓2sin的公共點(diǎn)的個數(shù)為6a4b1(12)若a,bR,ab0,則a竺一1的最小值為.abuuiruur(13)在zABC中，/A60,AB3,AC2.若BD2DC,uuuruuruuruuruuurAEACAB(R),且ADAE4,則的值為.(14)用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有個.(用數(shù)字作答)三.解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.(本小題滿分13分)3在4ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知ab,a5,c6,sinB-.5(i

6、)求b和sinA的值；(n)求sin(2A)的值.4從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的111概率分別為1,-,1.234(I)設(shè)X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(n)若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率.(17)(本小題滿分13分)如圖，在三棱錐P-ABC中，PAL底面ABC,BAC90.點(diǎn)D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，F(xiàn)A=AC=4,AB=2.(I)求證：MN/平面BDE;(n)求二面角C-EM-N的正弦值；(m)已知點(diǎn)H在PA上，且直線NH與直線BE

7、所成角的余弦值為,求線段AH的長.18.(本小題滿分13分)已知an為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(nN),bn是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0,b2b312,b3a42a1，與11b4.(I)求an和bn的通項(xiàng)公式；(n)求數(shù)列a2nb2n1的前n項(xiàng)和(nN).(19)(本小題滿分14分)設(shè)橢圓xr41(ab0)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,離心率為。.已知A是拋物線a2b222一r-rr,r,八，r一,1y2px(p0)的焦點(diǎn)，F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線l的距離為-.2(I)求橢圓的方程和拋物線的方程；(II)設(shè)l上兩點(diǎn)P,Q關(guān)于x軸對稱，直線AP與橢圓相交于點(diǎn)B(B異于點(diǎn)A),直線BQAP的方程.與x軸

8、相交于點(diǎn)D.若4APD的面積為叵,求直線2(20)(本小題滿分14分)設(shè)aZ,已知定義在R上的函數(shù)f(x)2x43x33x26xa在區(qū)間(1,2)內(nèi)有一個零點(diǎn)xo,g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).(I)求g(x)的單調(diào)區(qū)間；(n)設(shè)m1,Xo)U(Xo,2,函數(shù)h(x)g(x)(m%)f(m),求證：h(m)h(x0)0；(m)求證：存在大于0的常數(shù)A,使得對于任意的正整數(shù)p,q,且衛(wèi)1,x0)U(x0,2,滿q足|p qXo |1Aq7.X0123P11111424424X的分布列為天津理數(shù)答案1-4BDCA?5-8BCAA9.?2;10.13.31115. (I)解：在 ABC中，因?yàn)閍 b,

9、故由sin B3 4 ，一，一 一、3 ,可得cos B -.由已知及余弦定55理，有 b2 a2 c2 2accosB 13,所以 b A.a basin B由正弦te理，得sinA sin A sin Bb3/1313所以，b的值為“13,sin A的值為也3.13(n)解：由(i)及c ，得 cos A2.13,所以 sin 2 A132sin Acos A12132 .cos 2 A 1 2sin A5兀兀兀一.故 sin(2A ) sin 2Acos cos2Asin 一134447.22616. ( I )解：隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(XP(XP(XP(X0)1

10、)2)3)(1(12)(1(13)1) 1231 13)(111(1)4411二) (1 o)4211(1)231314(1111)(1) (1 ；)4231 a 1、1(1 一)344112424所以，隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)01111424(n)解:設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù),。1Q11323.42412Z表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù)，則所求P(Y1)P(Y0,Z1)P(Y1,Z0)P(Y0)P(Z1)P(Y1)P(Z0)11111112424448所以,1.11這2輛車共遇到1個紅燈的概率為1148(17)本小題主要考查直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角等基礎(chǔ)知識.考

11、查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.滿分13分.uuuuuur如圖，以A為原點(diǎn)，分別以AB,AC,uurAP方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,40),P(00,4),D(0,0,2)E(0,2,2),M(0,0,1),N(10).(I)證明:uurDE=(0,2,uur0),DB=(20,2).設(shè)n(x,y,z),為平面BDE的法向量,uurDEuurDB2y2x02z0.不妨設(shè)zuuuu(1,0,1).又MN=(12,1),可得uuuuMN因?yàn)镸N平面BDE,所以mn(n)解：易

12、知(1,0,0)為平面CEM的一個法向量.設(shè)n2(x,y,z)為平面EMN的法向量，則uuuun2EMuuurn2MNuiun,因?yàn)镋M(0,2,1),uuuuMN(1,2,1),UULU NH(1, 2,h)，UULUBE(2,2,2).由已知，得 |cosLULUI LULLuuuu uur | NH BE | NH , BE | 4juul-uuuk |NH |BE|2h 2|h2 5 2,3包,整理得21,2yz0所以x2丫z0.不妨設(shè)y1,可得n2(4，1,2).n1n24105內(nèi)亞匕華cosn1,n2-=,47sinn1,n2.|n1|n2|2121所以，二面角CEMN的正弦值為2

13、5.(出)解：依題意，設(shè)AH=h(0h4),則H(0,0,h),進(jìn)而可得2-8,、110h21h80,解得h,或h-.52所以，線段AH的長為8或1.5218.【解析】(I)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q.由已知b2b312,得bi(qq2)12,而。2,所以q2q60.又因?yàn)閝0,解得q2.所以，bn2n.由4a42a1,可得3da18.由S11=11b4,可得a15d16，聯(lián)立，解得a11,d3,由此可得an3n2.所以，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n2,數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為b2n.(II)解：設(shè)數(shù)列a2nb2n1的前n項(xiàng)和為Tn,由a2n6n2,b2n124n，有a2nb

14、2n1(3n1)4n,故 Tn 2 45428 43L(3n2344Tn 2 4548 4L(3n上述兩式相減，得3Tn 2 4 3 421) 4n,4) 4n (3n 1) 4n 1 ,3 43 L 3 4n (3n 1) 4n 112 (1 4n)1 4(3n 2) 44 (3n1)4n當(dāng)x變化時，g(x),g(x)的變化情況如下表:x(,1)(1力(;,)g(x)+-+g(x)得 Tn3n_2 4n 13所以，數(shù)列a2nb2ni的前n項(xiàng)和為3n2 4n 119.( I )解：設(shè)F的坐標(biāo)為(c,0).依題意,1i,1c,解信a1, c,22所以，橢圓的方程為 x2 4y-31,拋物線的方程

15、為2y 4x.(n)解：設(shè)直線 AP的方程為my 1(m0),與直線l的方程x 1聯(lián)立，可得點(diǎn)P( 1, 2),m，一 2 d故 Q( 1,一).將 xmmy 1 與 x24y2厘 詼口1聯(lián)立，消去x,整理得 3_22(3m4)y6my 0 ,解得6m 一 r ,.1,一2一.由點(diǎn)B異于點(diǎn)A,可得點(diǎn) 3 m2 43m2 4B(K6m1,2),可得直線BQ的方程為(-6m2)(x 1)(3m 4 m3m23m2 4I)(y5,故3m 222"U"所以1AD1 1 uA 26m23m2.又因?yàn)閦APD的面積為叵,故2216 m22.622,整理得3m2 3m2 2 |m|227

16、61m| 2 0,解得 |m|,63所以，直線AP的方程為3x,6y 30 ,或 3x 76y 30.420. ( I )解：由 f (x) 2x323x 3x6x a ,可得 g(x)f (x)328x 9x2進(jìn)而可得g (x) 24 x 18x6 .令 g (x) 0 ,解得 x 1 ,11所以，g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，1),(1,)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1,).44(n)證明：由h(x)g(x)(mx0)f(m),得h(m)g(m)(mx0)f(m),h(xo)g(xo)(mxo)f(m).令函數(shù)Hi(x)g(x)(xxo)f(x),則Hi(x)g(x)(xx°).由(I)知，

17、當(dāng)x1,2時，g(x)0,故當(dāng)x1,xo)時，H1(x)0,Hi(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(xo,2時，Hi(x)0,Hi(x)單調(diào)遞增.因此，當(dāng)x1,xo)U(x0,2時，Hi(x)Hi(xo)f(xo)0,可得Hi(m)0,即h(m)0.令函數(shù)H2(x)g(xO)(xx0)f(x),則H2(x)g(x0)g(x).由(I)知，g(x)在i,2上單調(diào)遞增，故當(dāng)xi,%)時，H2(x)0,H2(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(x0,2時,H2(x)0,H2(x)單調(diào)遞減.因此，當(dāng)xi,x0)U(x0,2時，H2(x)Hz(x。)0,可得H2(m)0,即h(x0)0.所以，h(m)h(x0)0.(III)證明：對于任意的正整數(shù)p,q,且Ei,x0)U(x0,2,q令m,函數(shù)h(x)g(x)(m刈)f(m).q由(II)知，當(dāng)mi,x0)時,h(x)在區(qū)間(m,xO)內(nèi)有零點(diǎn);當(dāng)m(x0,2時,h(x)在區(qū)間(xO,m)內(nèi)有零點(diǎn).所以h(x)在(i,2)內(nèi)至少有一個零點(diǎn)，不妨設(shè)為x,則h(xi)g(xi)(px°)f(p)0.