運(yùn)用米勒定理簡(jiǎn)解最大角問(wèn)題

1、運(yùn)用米勒定理簡(jiǎn)解最大角問(wèn)題1 .米勒問(wèn)題和米勒定理1471年，德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒向諾德?tīng)柦淌谔岢隽巳缦率钟腥さ膯?wèn)題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長(zhǎng)，即在什么部位，視角最大，最大視角問(wèn)題是數(shù)學(xué)史上100個(gè)著名的極值問(wèn)題中第一個(gè)極值問(wèn)題而引人注目，因?yàn)榈聡?guó)數(shù)學(xué)家米勒曾提出這類問(wèn)題，因此最大視角問(wèn)題又稱之為“米勒問(wèn)題”，更一般的米勒問(wèn)題如下：瓦BONCQ試米勒問(wèn)題：已知點(diǎn)是角MON勺邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)在何處時(shí)，AcACBR大，對(duì)米勒問(wèn)題有如下重要結(jié)論我們不妨稱之為米勒定理。Concom米勒定理：已知點(diǎn)是角MON勺邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)三角形ABC的

2、外圓與邊相切于點(diǎn)時(shí)，AcACB最大。OM叩A(chǔ)G3OMa，證明：如圖1,設(shè)是邊上不同于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)榻茿C舊是圓外角，Acacb圓周角，易證角ACB、于角ACB故Acacbr大。圖，0G=OC2=根據(jù)切割線定理得，即，于是我們有：角ACBR大等價(jià)于三角形ABC的外圓與邊相切于點(diǎn)。等價(jià)于等價(jià)于0C=OdOAB。取得2 .米勒定理在解題中的應(yīng)用最大視角問(wèn)題在數(shù)學(xué)競(jìng)賽、歷屆高考和模擬考試中頻頻亮相，常常以解析幾何、平面幾何和實(shí)際應(yīng)用為背景進(jìn)行考查。若能從題設(shè)中挖出隱含其中的米勒問(wèn)題模型，并能直接運(yùn)用米勒定理解題，這將會(huì)突破思維瓶頸、大大減少運(yùn)算量、降低思維難度、縮短解題長(zhǎng)度，從而使問(wèn)題順利解

3、決。否則這類問(wèn)題將成為考生的一道難題甚至一籌莫展，即使解出也費(fèi)時(shí)化力。下面舉例說(shuō)明米勒定理在解決最大角問(wèn)題中的應(yīng)用。2.1 用米勒定理確定最大視角的點(diǎn)的位置的例1（1986年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題理科第五大題）如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中,在軸的正半軸上給定兩定點(diǎn)，試在軸的正半軸上求一點(diǎn)，使取得最大值。y個(gè)AhII11圖，分析：這是一道較早的“米勒問(wèn)題”的高考題，該題背景簡(jiǎn)單解題思路入口寬解法多樣，是一道難得的好題。若用米勒定理求解則可一步到位，輕而易舉地拿下0C=&M?緲瘍CM三405=2)簡(jiǎn)解：設(shè)，由米勒定理知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),。曲,O）UC最大，故點(diǎn)的坐標(biāo)為例2如圖3,足球場(chǎng)長(zhǎng)100米，寬60米，球

4、門長(zhǎng)7.2米，有一位左邊鋒欲射門應(yīng)在邊AB的何處才使射門角度最大？=3+3.6=33.6,2=30-3,6=26.4解:依題意，由米勒定理知當(dāng)MA=AQ=g36x264w297S）FAfQ工g圖3圖4產(chǎn)產(chǎn)一/L/彳/，r-壁I，7gIDB總圖5（-L2）1例3（2004年全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）在直角坐標(biāo)系中，給定兩點(diǎn)，在軸的正半軸上求一點(diǎn)，使最大,則點(diǎn)的坐標(biāo)為,。解曬T國(guó)尹麗二（7一12）,由二（2,2）幽京解：如圖4,設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，由兩點(diǎn)間的距離公式得，由米勒定理知，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)犊诮?(一力士劉星-3沔皿:2后期二先-JANUM42貶相仇4。刈EMFRP時(shí)，最大，

5、此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為。2.2 用米勒定理探索最大視角的條件例4(2010年高考江蘇理科第17題)某興趣小組要測(cè)量電視塔的高度(單位:)，如示意圖5,垂直放置的標(biāo)桿的高度，仰角。(1)該小組已測(cè)得一組的值，算出了，請(qǐng)據(jù)此算出的值；(2)若該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)查整標(biāo)桿到電視塔的中距離(單位:)，使之差較大，可以提高測(cè)量精度。若電視塔的實(shí)際高度為，試問(wèn)為多少時(shí)，最大，%?盤目bBCh=Amw0/t祖0=l,24Ptaiib=1.20r4帛港d125昭而W，&m(中司=此叫屈t=弘谷誦電啟=闌解:(2)設(shè)，由米勒定理知，當(dāng)且僅當(dāng)即？時(shí)，最大。又由得，？，?得,_4125?DEB法瞄皿口的碣

6、口6=55收網(wǎng)舒=125125?4125萬(wàn)函由=f第身,將其代入？得，所以，故當(dāng)為時(shí)，最大。點(diǎn)評(píng)：第(2)問(wèn)以實(shí)際應(yīng)用和平面幾何為背景考查最大角問(wèn)題，本解法以米勒定理和相似三角形等知識(shí)為突破口，結(jié)合方程思想求解，綜合性強(qiáng)能力立意高有一定難度。2.3 用米勒定理求最大視角或其三角函數(shù)值#3.17-S,Fl例5(2001年希望杯數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)題)是橢圓的左右焦點(diǎn)，是橢圓的準(zhǔn)線，點(diǎn)，求的最大值。pi?后陽(yáng)溪蜀跳夜,現(xiàn)志。工席因解：如圖6,易求得，不妨設(shè)為左準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，則其方程為，由米勒定理知，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)肕F二點(diǎn),MF=3&冗=-20MP=C*MF4及13委在REPFaa時(shí)，最大。當(dāng)最大值時(shí)，unNF

7、即二空二的上產(chǎn)二絲二邁3MEMF3/EPF=2PM/PF&f,因?yàn)椋刹罱堑恼泄降?，所以最大值為。tan NPEMtan ZPFM14 tan圖6更一般地我們有如下結(jié)論：5+，友復(fù)）lwi例6設(shè)是橢圓的左右焦點(diǎn)，是橢圓準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，般n9工建NAPS=9&P&,橢圓的離心率是，則為銳角且（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)到橢圓的長(zhǎng)軸的距離為時(shí)取等號(hào)）。,工白山？+/Affi=-c,MF=-4ecccMx證明：設(shè)準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，則。由米勒定理知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，為銳角且最大。當(dāng)最大值時(shí)，又，由差角的正切公式得,ME IMFAfptan 4蝴芋=-, tan 3PE =MFME-郎 M5產(chǎn)t皿PF-tm上MPR汴一訴 M

8、f-M富&皿 - l + tar+WF 1的/加一 產(chǎn) 經(jīng)一 2廢 一生7/?訴7X iVtJ2 +c飛目”一毛噂門口 a =SIT1 & 2 5 P所以。故為銳角且（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)到橢圓的長(zhǎng)軸的距離為時(shí)取等號(hào)）。Ctaii 二 一1 30- sin or = ? 點(diǎn)評(píng)：由例6結(jié)論知，當(dāng)取最大值時(shí)有或，易求得最大值為。2.4用米勒定理求視角最大時(shí)有關(guān)線段之比&E尸例7（2006年全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）已知橢圓的左右焦點(diǎn)是，點(diǎn)在直線上，當(dāng)最大時(shí)，求：0|闋阿丘-岳+B+24=0日因尸產(chǎn)8-地,0) x .- I 解：如圖7,設(shè)直線與軸相交于點(diǎn),mrOFx網(wǎng)24,0),5(2抬,0)MS=長(zhǎng)二區(qū)+4點(diǎn)易

9、求得，則，由米勒定理知，當(dāng)且僅當(dāng)MP=4MER期宣4揚(yáng)=4(依+I)&PEF時(shí)，最大，此時(shí)的外拉圓與直線相切于點(diǎn)，由弦切角定理得，又，所以P7MPS IJMFP ? PME 尹朋FFE_ MP_4(V3+1)_ r- - =73 - 1FF 呼4欄+ g點(diǎn)評(píng)：本解法不僅用到米勒定理的結(jié)論，而且還要熟悉定理證明的幾何背景及圖形間的內(nèi)在聯(lián)系，用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求線段比，運(yùn)算量小解法簡(jiǎn)單快2.5用米勒定理求視角最大時(shí)的綜合問(wèn)題BAF例8設(shè)是橢圓的短軸頂點(diǎn)，是橢圓焦點(diǎn)相應(yīng)的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)。證明當(dāng)且僅當(dāng)橢圓為黃金橢圓（離心率的橢圓）時(shí)，最大，且最大角的正弦值為。_君.1r=245-2BAFOB2=OFa）Ab2acDABF解：如圖8,由米勒定理知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最大。故，所以，所以，即,ABF最大。設(shè)，ABF=q即？，解得，故當(dāng)且僅當(dāng)橢圓為黃金橢圓時(shí)，?F0a,BAOba-b則，sing=sin(a-b)siaacosi-cosljsinboM3FD/3尸另外我們求最大角的正弦值還可用正弦定理切入，在中，由正弦定理得,卜面解法