北航數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末考試題

1、考試復(fù)習(xí)指甫我們每一天都要求逬步材料學(xué)院研究生會(huì)學(xué)術(shù)部2007-2022學(xué)年第一學(xué)期期末試卷、6分，A班不做設(shè)Xi, X2,，Xn是來(lái)自正態(tài)總體N , 2的樣本，令2( Xi X2)(X3 X4)2 (X5X6)2試證明T服從t-分布t 2二、6分，B班不做統(tǒng)計(jì)量F-F n,m分布，證明丄的0 1的分位點(diǎn)X是 1。FFi n, m三、8分設(shè)總體X的密度函數(shù)為P(x；)(1 )x ,0 x 10,其他其中1,是位置參數(shù)。Xi, X2 ,，Xn是來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單樣本,試求參數(shù)的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)。四、12分設(shè)總體X的密度函數(shù)為1Xexp, xPx；0,其它其中,， 0,是未知參數(shù)。X1, X2,

2、，Xn是來(lái)自總 體X的簡(jiǎn)單樣本。1試求參數(shù)的一致最小方差無(wú)偏估計(jì) ；2是否為 的有效估計(jì)？證明你的結(jié)論。五、6分，A班不做設(shè)Xi , X2,，Xn是來(lái)自正態(tài)總體N 1, 12的簡(jiǎn)單樣本，yi, y2,，yn是來(lái)自正態(tài)總體n 2, 22的簡(jiǎn)單樣本，且 兩樣本相互獨(dú)立，其中1, 12, 2, 22是未知參數(shù)，12 22。為檢驗(yàn)假 設(shè) H：i 2, Hi： 1 2,可令 Z Xi yi, i ，2，n ,1 2 ,那么上述假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題等價(jià)于H。： 1 0, H1： 1 0,這樣雙樣本檢驗(yàn)問(wèn)題 就變?yōu)閱螜z驗(yàn)問(wèn)題。基于變換后樣本Z1, Z2 ,，Zn ,在顯著性水平 下，試構(gòu)造檢驗(yàn)上述問(wèn)題的t-檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)

3、量及相應(yīng)的拒絕域。六、6分，B班不做設(shè)X1 , X2 ,，Xn是來(lái)自正態(tài)總體N 0, 2的 簡(jiǎn)單樣本，o，2未知，試求假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題Ho： 2 02, H1： 2 02 的水平為的 UMPT。七、6分根據(jù)大作業(yè)情況，試簡(jiǎn)述你在應(yīng)用線性回歸分析解決實(shí) 際問(wèn)題時(shí)應(yīng)該注意哪些方面？八、6分設(shè)方差分析模型為i 1,2,., p; j1,.,qpi和j滿足i 1qi0,j.j 1總離差平方和StSaSbp _Se中 Sa q (xig x), xi 11 qXg Xj,且 E(SE)=(p-1)(q-1) 2.Xiji j ij耳服從正態(tài)總體分布N(0,2)且耳相互獨(dú)立q j i1pq i iXj , j

4、 1試求E(Sa),并根據(jù)直觀分析給出檢驗(yàn)假設(shè)P 0的拒絕域形式。九、(8分)某個(gè)四因素二水平試驗(yàn)，除考察因子 A、B、C、D外, 還需考察a B，B C。今選用表L8(27)，表頭設(shè)計(jì)及試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表所 示。試用極差分析指出因子的主次順序和較優(yōu)工藝條件。列號(hào)ABA BCB CD實(shí)驗(yàn)數(shù)試驗(yàn)1234567據(jù)號(hào)1111111112.82111222228.2312211222635212121230.5621221214.37221122133.3822121124.0十、8分對(duì)某中學(xué)初中12歲的女生進(jìn)行體檢，測(cè)量四個(gè)變量，身高Xi,體重X2,胸圍X3,坐高X4?，F(xiàn)測(cè)得58

5、個(gè)女生，得樣本數(shù)據(jù)略， 經(jīng)計(jì)算指標(biāo)X X1,X2,X3,X4T的協(xié)方差陣V的極大似然估計(jì)為19.9410.506.598.6310.5023.5619.717.97V6.5919.7120.953.938.637.973.937.55且其特征根為 i 50.46，2 16.65，3 3.38，4 1.001試根據(jù)主成分85%的選擇標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)選取幾個(gè)主要成分？2試求第一主成分。2006級(jí)碩士研究生?應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)?試題、 選擇題(每題3分，共12 分)(0 a 1)分位點(diǎn)X a1.統(tǒng)計(jì) 量Tt (n)分布，那么統(tǒng)計(jì)量 T2的a(PT2 X a = 口)是()2t1 (n)A.-t1 (n)B.ti

6、(n)c.-2t1 (n)D -2.設(shè)隨機(jī)變量XN(0 , 1),YN(0 , 1),那么A. X .Y2服從t-分布2B.X2+Y2服從 -分布2C. X2和Y2都服從 -分布D. X2/Y2服從F-分布3某四因素二水平實(shí)驗(yàn)，選擇正交表L8(27)，已填好A , B, C三個(gè)因子，分別在第一，第四，第七列，假設(shè)要防止“混雜，應(yīng)安排因子D在第()列.A.5B.2C.3D.61234567(1)325476(2)16745(3)7654(4)123(5)32(6)1(7)4. 假設(shè)總體X服從兩點(diǎn)分布，分布率為PX=x=p x(1-p)1-x，其中x=0或1, p為未知參數(shù)，X1,X2,，Xn是來(lái)

7、自總體的簡(jiǎn)單樣本，那么下面統(tǒng)計(jì)量中不是充分統(tǒng)計(jì)量的是()nXiA. i 11 n w1 n w ,1 n wXiXi 1XipB. n i 1C. n i 1D. n i 1二填空題侮小題3分，共12分)1.設(shè)X1,X2,，Xn是來(lái)自總體 N(0 ,2)的簡(jiǎn)單樣本那么常數(shù)c=寸統(tǒng)計(jì)量mc Xii 1服從t-分布1 m n),其自由度為2.設(shè)X1,X2,，Xn是來(lái)自總體N(,2)的簡(jiǎn)單樣本，其中2那么在滿足PX a X b=1-a的均值 的置信度為1- a的置信區(qū) 間類(lèi) X a,X b：a,b常數(shù)中區(qū)間長(zhǎng)度最短的置信區(qū)間為( )，那么23. 設(shè)X1,X2,，Xn是來(lái)自總體N(,)的簡(jiǎn)單樣本，1

8、n-(Xk)2n k 1中較優(yōu)的是nS2 (Xk X)2S；的無(wú)偏估計(jì) n 1 k 1,4.在雙因素實(shí)驗(yàn)的方差分析中，總方差ST的分解中包含誤差平方和p q ri 1 j 1 k 1j，那么SE的自由度為(x 0的簡(jiǎn)f(x)三，(12分)設(shè)X1,X2,，Xn來(lái)自指數(shù)分布 單樣本，試求參數(shù) 的極大似然估計(jì)，它是否是無(wú)偏估計(jì)？( 2)求 樣本的Fisher信息量；(3)求 的一致最小方差無(wú)偏估計(jì);(4)問(wèn) 是否 是的有效估計(jì)？四.(6分，A班不做)在多兀線性回歸丫 X中，參數(shù) 的最小二乘估計(jì)為(XX) 1XY，殘差向量為 e 丫 丫(1 X(XX) 1X)Y。Z 令e(XX) 1XY11 X(XX

9、) XY，當(dāng)N(0, 2)時(shí)，z服從多元正態(tài)分布。試證明與e相互獨(dú)立五. (6分，A班不做)設(shè)某切割機(jī)切割金屬棒的長(zhǎng)度 X服從正態(tài)分布，正常工作時(shí)，切割 每段金屬棒的平均長(zhǎng)度為 10.5cm。某日為了檢驗(yàn)切割機(jī)工作是否正 常，隨機(jī)抽取15段進(jìn)行測(cè)量，得平均樣本值x=10.48cm,樣本方差 s2=0.056cm2。在顯著性水平a =0.05下，試問(wèn)該切割機(jī)工作是否正 常？(4.951.64,勺.9751.96,t.95(14)1.7631,t.975(14)2.1448)2 2六. (6分，B班不做)設(shè)XN(,),，X1,X2,，Xn來(lái)自X的樣本，并設(shè)的先驗(yàn)分布為N( , 2),，那么可知均值

10、的Bayes估計(jì)為試通過(guò)此例說(shuō)明Bayes估計(jì)的特點(diǎn)。n -12Xn12一 2七. (B班不做)設(shè)總體X服從正態(tài)總體N(0,), X1,X2,，Xn是來(lái)自總體的簡(jiǎn)單樣本，考慮檢驗(yàn)問(wèn)題2 2Ho：1H1 :2在顯著水平a =0.05下，求最優(yōu)檢驗(yàn)(MP)的拒絕域。八.研究小麥品種與施肥的農(nóng)田實(shí)驗(yàn)，考察的因素與水平如下表所示水平/因素A小麥品種B.施肥量C澆水遍數(shù)D除草遍數(shù)1甲16122乙1223據(jù)經(jīng)驗(yàn)需考慮交互作用 A X B，選用正交表L8(27)，數(shù)據(jù)如表所示試驗(yàn)號(hào)/列號(hào)ABA X BCD1234567實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)11111111115211122221603122112214541222211

11、15552121212140621221211557221122110082212112125用極差分析確定最優(yōu)方案以數(shù)據(jù)大者為好九.6分設(shè)X= X1,X2,X3,X4勺協(xié)方差陣為V2 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2V的特征根是2 21 (31),234 (1)，其中=0.83,試根據(jù)85%的選取標(biāo)準(zhǔn)確定確定主成分個(gè)數(shù)，并求出主成分材料學(xué)院研究生會(huì)學(xué)術(shù)部應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)(2000年)一、填空1、設(shè)x1,x2,x10 來(lái)自總體N(0,1) 的樣本， 假設(shè)y=k1(x1+2x2+3x3)2+k2(x4+x5+x10)2x2(2) ，貝卩k1=k2=附 工扁-4)22、設(shè)x1,x2

12、,x2m來(lái)自總體N(4,9)的樣本，假設(shè)y=, 旺 _ 4)且 z= 不 ，服從 t 分布，那么c=,zt()3、 設(shè)x1,x2, x2m來(lái)自總體N(2)的樣本，y=( x2-x1)2+(x3-x4 )2 + +(x2m-x2m-1)2 ，且 Z=cy 為 o2 的無(wú)偏估計(jì)，那么c=4、上題中，Dz=5、由總體F(x)與G(x)中依次抽得容量為12和11的樣本，已計(jì)算的游程總個(gè)數(shù)U=12，試在水平 滬0.05 下檢驗(yàn)假設(shè)HO: F(x)= G(x)，其結(jié)論為 (U0.05(12 , 11 ) =8)61二、 設(shè)x1,x2,x61來(lái)自總體N(0,1)的樣本，令y= T ,壬詁試求P丁U (t0.

13、975(60)=2)三、設(shè)總體x的密度函數(shù)為r (i+(zox*996.；=3081.96,工.vi： =1743.6J=17=1J=1試求線性回歸方程y= a? + b?(七、x1,x2,x100來(lái)自總體x n為的一個(gè)樣本，試求參數(shù) 泊勺近似(1- a置信區(qū)間,(Ex二入Dx二?)八、在一元線性回歸中，lyy=Q+U,F= UF(s,t),試給出用F值Q/S來(lái)判定回歸顯著性的方法。應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)(2001年)一、填空(每空3分，共30分)1. 設(shè)x1,x2,x10 為來(lái)自總體N ( 0 ,1 ) 的樣本，假設(shè)y =k1(2x1+x2-3x3)+k2(x4+x5+ x10)2, 且 yx2(2)

14、.貝卩k1=,k2=2 .設(shè)x1,x2,x12為來(lái)自總體N(0 , A)的樣本，假設(shè)y=(x12+x22+x32) -(x12+x22+ + x12 )且Z = cyF 分布，那么c=_,ZF() 3.假設(shè)x1,x2,x20為來(lái)自總體N (卩，(2)的樣本，假設(shè)y=(x2-x1)2+(x4-x3)2+(x20-x19 ) 2,且Z=cy 為 c2的無(wú)偏估計(jì)，那么c=,DZ=4 .假設(shè)x1,x2,X100 為來(lái)自總體 N 10 , 2的樣本，假設(shè)5.假設(shè)x1,x2,x16為來(lái)自總體N 卩,0.012 的樣本,其樣本平均值x-=2.215, 那么曲勺0.20 置信區(qū)間為取三位小 數(shù))，( (1.6

15、45 ) = 0.95 ,(1.282 ) = 0.90 )二 10分設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為嚴(yán) fxHl+axXxl1 0其它而x1,x2,xn為來(lái)自X的樣本，試求a勺矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量。三10分設(shè)x1,x2,x61為來(lái)自總體N0, 1的樣本。令50y二 n ,且Px61/y 惑=0.95，試求 k。四10分設(shè)XN 皿,o2 ,YN 迄，o2令抽取A的樣本x1,x2,x8，丫的樣本y1,y2,y8試推導(dǎo)假設(shè)H0:皿=2;H1:譏 迄的拒絕域，設(shè)假設(shè)x = 54.03 y=57.11, Sj2=3S22=2.75,是否接受 Ho?五10 分設(shè)y N Ae-Bx ,2,試由樣本x1,y1

16、x2,y2 ,-xn,yn 估計(jì)參數(shù)A及B 可利用已有的結(jié)論或公式些出相應(yīng)的結(jié) 果。六10分今有正交試驗(yàn)結(jié)果列于下表大者為好條件數(shù)據(jù)由小到大排列，試選出最優(yōu)工藝條件并指出進(jìn)一步試驗(yàn)的方向。七、(10 分)設(shè)tt(n),FF(n, 1)且pt W n)二a pF F 如,1)= a試證明：7()耳 3)八、10分設(shè)X的概率密度函數(shù)為Q.othenvise試求B的極大似然估計(jì)量，并由此求一個(gè)3的無(wú)偏估計(jì)量應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)2003年1. 設(shè)X1, X2,X100 為來(lái)自正態(tài)總體N0, o2的樣本，假設(shè)100Y二-，求 EY, EY2。2. 設(shè)總體XNc2 , X1 , X2,，Xn為來(lái)自X的樣本，記H

17、1 X =- S2= 兀-壬2匸1， 1 A1,求 ES4。3. 隨機(jī)變量X的分布律為：PX=k=qpk-1 ,k=1 ,2,q=1-P試求X的特征函數(shù)？t，并由此求EX, DX。0 Y 0為常數(shù)，試用來(lái)自X的樣本 亠-人一 一 構(gòu)造的 矩估計(jì)量。5. 設(shè)總體XN 52，其樣本為X1 , X2,，Xn，這時(shí)出勺 置信區(qū)間為1- a的置信區(qū)間為 當(dāng)n固定時(shí)，假設(shè)要提高置信度，置信區(qū)間長(zhǎng)度會(huì) 當(dāng)置信度固定時(shí)，增大 n,置信區(qū)間長(zhǎng)度會(huì)6. 設(shè)X1 , X2,，Xn 為來(lái)自正態(tài)總體N0, 2的樣本，假設(shè)cYxT= 是(的無(wú)偏估計(jì)量，求c。7. 設(shè)總體X的均值為仏方差為c20，今有來(lái)自X的兩組樣本(X1

18、 , X2，Xn1 ) , (Y1 , Y2,，Yn2),其樣本均值依次為X和Y , 假設(shè)T=a X +bY為g的無(wú)偏估計(jì)量，且方差D(T)到達(dá)了最小，試求a 與b。8. 假設(shè)回歸直線y?二a? + 中，I F2a -ybx N(6(I)“ 口,且Q/(n-2)為的無(wú)偏估計(jì)，0而一 x (n-2)，又知a?與Q相互獨(dú)立，試求a的置信區(qū)間。9. 今有正交試驗(yàn)結(jié)果列于下表(試驗(yàn)結(jié)果大者為好)，試用極差分 析法對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析，并選出最優(yōu)工藝條件，又知 A, B, C的水平 數(shù)皆為實(shí)際數(shù)據(jù)由小到大排列，試指出進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)的方向。個(gè)無(wú)偏估計(jì)量。應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)考試提綱(2004年)1、正態(tài)N(卩o2),簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本XI、X2Xn,其中卩。(1) 求(2的