2國(guó)賽建模199220112016年2015優(yōu)秀a

1、學(xué)習(xí)資料，請(qǐng)關(guān)注學(xué)習(xí)資料，請(qǐng)關(guān)注淘寶：學(xué)神資料站： 學(xué)神資料站太陽摘要本題意在通過分析實(shí)際測(cè)量的豎直桿隨時(shí)間變化的坐標(biāo)或數(shù)據(jù)，確認(rèn)豎直桿所在的以及數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的日期。第一問要求分析畫出已知桿長(zhǎng)、地理位置和日期的豎直桿的太陽變化曲線，并分析豎直桿太陽長(zhǎng)度關(guān)于各個(gè)參數(shù)的變化規(guī)律。本文利用天文學(xué)公式，建立了該關(guān)于時(shí)間變化的計(jì)算求解模型，得出影長(zhǎng)隨時(shí)間的變化曲線如下。此后，本文使用變量法，分別對(duì)、日期、桿長(zhǎng)及當(dāng)日時(shí)間這五個(gè)參數(shù)對(duì)長(zhǎng)度的影響展開討論。經(jīng)過誤差分析并改進(jìn)算法后，得到在 11 點(diǎn) 59 分 24秒，取到最短的影長(zhǎng)為 3.6638 米第二問要求分析某豎直桿的太陽頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，確定其地點(diǎn)。本文沿用第

2、一問的天文學(xué)公式，以每一對(duì)時(shí)刻理論與實(shí)測(cè)的影長(zhǎng)之比的差的平方和最小為首要目標(biāo)，以每一對(duì)時(shí)刻理論與實(shí)測(cè)方位角差值之差的平方和最小為次要目標(biāo)，建立多目標(biāo)模型，采用分層求解法，遍歷求解得到最能滿足條件的位置為北緯 19 度，東經(jīng) 109 度，位于我國(guó)海南省。第三問要求分析兩組某豎直桿的太陽坐標(biāo)數(shù)據(jù)，確定其地點(diǎn)及數(shù)據(jù)日期。與第二問類似，在添加日期這一變量后，建立與第二問相同的多目標(biāo)模型，采用分層求解法遍歷求解。得到附件二和附件三數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的最能滿足條件的位置分別為：第四問要求分析豎直桿的變化，分別在日期已知和未知的情況下求出其所在地點(diǎn)與拍攝日期。本文首先利用動(dòng)態(tài)追蹤技術(shù)，找出頂點(diǎn)在每一時(shí)刻的像素坐標(biāo)，計(jì)

3、算出每時(shí)刻的太陽高度角。進(jìn)而利用天文學(xué)公式中太陽高度角與日期、緯度、經(jīng)度的確定關(guān)系，分別在日期已知和未知的情況下建立計(jì)算求解模型，考慮到模型存在系統(tǒng)誤差，難以得到完美解，故將問題轉(zhuǎn)換為非線性問題遍歷求解。得到最能滿足條件的位置與日期為：本文亦對(duì)文中使用的天文學(xué)公式的誤差及所求出的結(jié)果進(jìn)行了討論，在給出最優(yōu)解之外還討論了其他解存在的可能性。：計(jì)算求解模型、變量法、多目標(biāo)1、分層求解法、誤差分析緯度經(jīng)度日期大致地點(diǎn)日期確定431157 月 13 日內(nèi)錫林郭勒盟西南日期未定441136 月 25 日內(nèi)錫林郭勒盟西緯度經(jīng)度日期大致地點(diǎn)附件二40795 月 25 日?qǐng)D木舒克市附件三3310610 月 3

4、1 日陜西，漢中廣元之間1. 問題重述1.1 問題背景現(xiàn)代科技的發(fā)展使得人們能夠更為方便地高質(zhì)量的文件。在分析視頻材料時(shí)，有時(shí)需要確定的拍攝地點(diǎn)及日期，而利用天文學(xué)知識(shí)，對(duì)物體中的太陽變化進(jìn)行分析是確定拍攝地點(diǎn)及日期的法。1.2 相關(guān)信息本題給出了三組某處某固定直桿在水平地面上太陽的頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)皆包含 21 個(gè)等間距時(shí)刻（北京時(shí)間）直桿太陽的 x, y 頂點(diǎn)坐標(biāo)。其中，第一組數(shù)據(jù)還額外包括了數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的日期。坐標(biāo)系以直桿底端為原點(diǎn)，水平地面為 x, y 平面，直桿垂直于地面。除三組數(shù)據(jù)以外，本題亦給出了一根直桿在太陽下的變化，中清晰的了 2015 年 7 月 13 日 8 點(diǎn) 54 分

5、 06 秒到同日 9 點(diǎn) 34 分 36 秒某地高為 2 米的直桿的太陽變化過程。以上信息中，各直桿的地理位置皆未知。1.3 需要解決的問題1)建立太陽變化的數(shù)學(xué)模型，分析長(zhǎng)度關(guān)于各個(gè)參數(shù)的變化規(guī)律并應(yīng)用這一模型畫出 2015 年 10 月 22 日北京時(shí)間 9:00-15:00 之間緯 39 度 54 分 26 秒，東經(jīng) 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直桿的太陽變化曲線。廣場(chǎng)（北長(zhǎng)度2)建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)題目提供的附件一中的頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，給出該直桿所在的可能地點(diǎn)。3)建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)題目提供的附件二、三種直桿所在的可能的地點(diǎn)。頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，給出對(duì)應(yīng)4)分析題目提供的，確定拍攝地

6、點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型，分別討論在拍攝日期已知和未知兩種情況下，能否確定能的拍攝地點(diǎn)。的拍攝地點(diǎn)與日期，并給出該可2. 模型假設(shè)假設(shè)一：本文研究的所有對(duì)象所在的地面皆為平地。假設(shè)二：本文研究的所有對(duì)象所處地海拔為 0。23.符號(hào)說明4.問題分析問題（一）第一問要求建立長(zhǎng)度變化的數(shù)學(xué)模型，分析長(zhǎng)度關(guān)于各個(gè)參數(shù)的變化規(guī)律，并畫出題目指定的直桿的太陽長(zhǎng)度變化曲線。由于本題要求研究太陽以，結(jié)合實(shí)際生驗(yàn)可知，對(duì)于一個(gè)自身長(zhǎng)度固定的豎直桿，其影3符號(hào)符號(hào)說明ai時(shí)刻i 的太陽高度角d太陽赤緯d代表天數(shù)，當(dāng)日期為 1 月 1 日時(shí)， d =1j目標(biāo)對(duì)象所在地的緯度。為正數(shù)表北緯，負(fù)數(shù)為南緯l目標(biāo)對(duì)象所在位置經(jīng)度。為正

7、數(shù)表東經(jīng)，負(fù)數(shù)為西經(jīng)ti時(shí)刻i 下研究對(duì)象對(duì)應(yīng)時(shí)角L直桿長(zhǎng)度Lyi直桿在時(shí)刻i 時(shí)的影長(zhǎng)L'yi直桿在時(shí)刻i 的理論影長(zhǎng)qi直桿在時(shí)刻i 被測(cè)得的方位角q 'i直桿在時(shí)刻i 的理論方位角值f1每一對(duì)理論的影長(zhǎng)之比的差的平方和f2方位角差值之差的平方和tls本地太陽時(shí)間tlt本地時(shí)ti 0i 時(shí)刻i 時(shí)子午線當(dāng)?shù)貥?biāo)準(zhǔn)時(shí)間E時(shí)差子長(zhǎng)度不僅僅與其所在地理位置有關(guān)，還與地球自轉(zhuǎn)情況、地球繞太陽公轉(zhuǎn)的情況有關(guān)。因地球自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)分別導(dǎo)致了晝夜交替及四季變化，故與對(duì)應(yīng)的當(dāng)天時(shí)刻和日期有關(guān)。長(zhǎng)度應(yīng)該還考慮到這些因素，可進(jìn)一步搜索相關(guān)的文獻(xiàn)，建立數(shù)學(xué)模型表現(xiàn)影長(zhǎng)與地理位置、時(shí)間的關(guān)系，通過研究關(guān)

8、系式以得出題目要求求解的。問題（二）第二問要求根據(jù)某固定直桿在水平地面上的太陽頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處的地點(diǎn)。本問相對(duì)于第一問，直桿長(zhǎng)度未知，但因知道太陽頂點(diǎn)在續(xù)時(shí)間段內(nèi)的數(shù)據(jù)，故相當(dāng)于知道了此時(shí)間段內(nèi)的影長(zhǎng)以及其角度變化情況。經(jīng)過第一問的分析與解答可知，影長(zhǎng)與直桿長(zhǎng)度、當(dāng)天日期、此 5 個(gè)因素有關(guān)；本問時(shí)間、期、時(shí)間皆為已知量，而特殊地，當(dāng)其他因素恒定時(shí)，直桿長(zhǎng)度與影長(zhǎng)呈正比關(guān)系，故可以研究?jī)蓚€(gè)時(shí)刻的影長(zhǎng)比值，消除直桿長(zhǎng)度這一未知量。這一比值僅僅與直桿所在的到減少未知數(shù)的目的。有關(guān)，因而能夠達(dá)除了分析影長(zhǎng)以外，角度也是一個(gè)不可忽略的因素。雖然影長(zhǎng)信息已經(jīng)足以解出未知數(shù)，但再增加

9、角度信息，能夠提高方程組冗余度，使得模型的穩(wěn)健性和抗噪性得以提升。用來表示角度的量應(yīng)當(dāng)能夠體現(xiàn)的方位，參考資料可知，因方位角能夠表現(xiàn)在地平面上的方向，使用方位角1這一指標(biāo)較為合適。在本題中，雖然每個(gè)時(shí)刻的方位角的值難以得到，但是兩個(gè)時(shí)刻的方位角差卻與坐標(biāo)系自身無關(guān)，可以根據(jù)兩個(gè)時(shí)刻的頂點(diǎn)在同一坐標(biāo)系中的相對(duì)位置計(jì)算。因而，綜合考慮影長(zhǎng)和角度兩個(gè)指標(biāo)，以直桿所在為 x, y 時(shí)，計(jì)算所得兩時(shí)刻的長(zhǎng)度比與對(duì)應(yīng)時(shí)刻測(cè)得的長(zhǎng)度比的差值最小為第一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，以計(jì)算所得兩時(shí)刻方位角差值與測(cè)得的方位角差值的差值最小為第二個(gè)目標(biāo)，建立多目標(biāo)模型，找出可行的直桿對(duì)應(yīng)的值。問題（三）第三問與第二問類似，不同的是日

10、期未知，要求根據(jù)某固定直桿在水平地面上的太陽頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處的地點(diǎn)與日期。與第二問相同，可綜合考慮影長(zhǎng)和角度兩個(gè)指標(biāo)，以直桿所在與日期分別為 x, y, z時(shí)，計(jì)算所得兩時(shí)刻的長(zhǎng)度比與對(duì)應(yīng)時(shí)刻測(cè)得的長(zhǎng)度比的差值最小為第一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，以計(jì)算所得兩時(shí)刻方位角差值與測(cè)得的方位角差值的差值最小為第二個(gè)目標(biāo)，建立多目標(biāo)模型，找出可行的直桿對(duì)應(yīng)的值與日期。4問題（四）第四問要求分析題目提供的，確定拍攝地點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型，分別討論在拍攝日期已知和未知兩種情況下，能否確定的拍攝地點(diǎn)與日期。因此，需要先對(duì)附件四的的值。進(jìn)行處理，找出正確的太陽高度角在拍攝時(shí)間段內(nèi)各個(gè)時(shí)刻因第一、二、三問建模過程

11、中，確定并不一定需要直桿長(zhǎng)度以及影長(zhǎng)這兩個(gè)量同時(shí)已知，需要的僅僅是由之計(jì)算得到的太陽高度角在不同時(shí)刻的值， 因而得到此信息后可將問題轉(zhuǎn)換為與前三問類似的問題。在前三問的建模過程中， 使用了關(guān)聯(lián)太陽高度角、日期、緯度、經(jīng)度、及時(shí)間的等式，故可利用該等式建立計(jì)算求解模型求解。5. 數(shù)據(jù)分析5.1 附件四處理中清晰的了 2015本題附件四是一根直桿在太陽下的變化年 7 月 13 日 8 點(diǎn) 54 分 06 秒到同日 9 點(diǎn) 34 分 36 秒某地高為 2 米的直桿的太陽變化過程。直桿的地理位置皆未知。為了使用該中的信息解答第四問，需要對(duì)做一定的處理，找出各個(gè)時(shí)刻直桿尖端部分的變化。圖 5.1.1 附

12、件 4截圖圖 5.1.1 為附件 4 的豎直桿的中心位于畫面推移，可以用肉眼觀察到截圖。因已知豎直桿垂直于地面，觀察該發(fā)現(xiàn)：，可認(rèn)為攝像機(jī)的軸線是與直桿垂直的。隨著時(shí)間的的長(zhǎng)度變短，因此可以推斷該拍攝在當(dāng)?shù)卣鐣r(shí)間前，則可以作為左上角的時(shí)間是該地所在時(shí)區(qū)的時(shí)間的佐證。此外，由于在畫面中，可認(rèn)為所的時(shí)間里，直桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角度十分小，而在圖示所在的直線是和攝像機(jī)的視線垂直的，因此可以認(rèn)為長(zhǎng)5度在即認(rèn)為矯正前后變化不大，因而不需要在處理的時(shí)候?qū)ψ龀C正，和直桿的平面垂直于攝像機(jī)的視線。圖 5.1.2 附件 4 處理示意圖利用 Adobe After Effect 軟件該，采用軟件自帶的動(dòng)態(tài)追蹤技術(shù)每一幀頂

13、部的像素坐標(biāo) C、直桿頂端的坐標(biāo) A 以及上的任一其他點(diǎn)的像素坐標(biāo) B 由此，即可得到同一坐標(biāo)系內(nèi)的兩條向量 BC, AC ，進(jìn)而解得兩向量的夾角大小，用于之后的各項(xiàng)運(yùn)算。圖 5.1.3 動(dòng)態(tài)追蹤操作示意圖動(dòng)態(tài)追蹤 C 點(diǎn)的具體操作，圖中有一大一小兩個(gè)白邊方框，小方框6中是追蹤的目標(biāo)即頂點(diǎn)及周圍的地面。由于頂點(diǎn)具有固定的形狀與較深的顏色，小白框內(nèi)的像素的顏色信息有一種特征明顯的分布，故可對(duì)每一幀圖像尋找最符合的像素區(qū)域來進(jìn)行追蹤。而另一方面，由于移動(dòng)是連續(xù)的，為提高追蹤精度，大方框規(guī)定了下一幀目標(biāo)點(diǎn)出現(xiàn)的范圍。對(duì)追蹤參數(shù)進(jìn)行適當(dāng)調(diào)試，可得出圖示的軌跡。實(shí)際操作中，應(yīng)將選擇較為靠近直桿底座的點(diǎn)作

14、為 B 點(diǎn)，如此便不需要每次都移動(dòng) B 點(diǎn)，而可將之大致固定在一個(gè)位置，便于計(jì)算。在 6.1.1 的分析中將體現(xiàn)， ÐACB 即為太陽高度角。6. 模型的建立與求解問題（一）的求解6.1.1模型的分析為建立合適的數(shù)學(xué)模型，首先須對(duì)垂直直桿在太陽照耀下成影情況進(jìn)行分析。可構(gòu)建示意圖如下：圖 6.1.1.1 豎直直桿成影示意圖如圖 6.1.1.1 所示，平面 XOY 代表大地，此處可將大地看作是平坦的。OA 為豎直直桿，其中O 點(diǎn)為直桿和大地的接觸點(diǎn)，OB 為豎直桿OA 的。黃色有向線代表了由太陽射來的光線。由此了豎直直桿成影的示意圖。由于直桿長(zhǎng)度OA 已知為 3 米，故只需知道

15、8;ABO 的值，即可求出為太陽高度角。OB 的長(zhǎng)度。其中，ÐABO參考有關(guān)太陽高度角的資料2，可以得到太陽高度角的求解公式如下：a = arcsin (sin d sin j + cosd cosj cos t )其中， a 為太陽高度角， d 為太陽赤緯， d 的計(jì)算方式為3 ：d =23.45°sin æ 360 (d - 81)ö， d 代表天數(shù)，當(dāng)日期為 1 月 1 日時(shí)， d =1。j 為豎ç 365÷èøL直桿所在地的緯度，t 為時(shí)角。同時(shí)，由于 AO BO ，故sin a =， L, L yL2 +

16、 L2y分別為直桿長(zhǎng)度和影長(zhǎng)。7通常，時(shí)角可由本地時(shí)換算得到。然而因本地時(shí)常常因地球自轉(zhuǎn)及人為調(diào)整影響，而與該地真實(shí)的本地太陽時(shí)不相同，故本文采用精度更高的調(diào)整后計(jì)算時(shí)r60角的公式。參考相關(guān)文獻(xiàn)可知3，t=15°(t -12) ，t地太陽時(shí)間，t = t +。lslslsltl地時(shí)。本地時(shí)的計(jì)算方法為t = t +，其中，l 為目標(biāo)所在位置經(jīng)度，當(dāng)tltlt015l 為負(fù)表所在位置為西經(jīng)，為正時(shí)即東經(jīng)。t0 為子午線當(dāng)?shù)貥?biāo)準(zhǔn)時(shí)間。 E 為時(shí)差（EoT）。值得注意的是，此處的時(shí)差并非生活中使用的區(qū)時(shí)時(shí)差，而是定義為：E = 9.87 sin (2B) - 7.53cos( B) -1

17、.5sin (B) ，B = 360 (d - 81) 。由此，即可得出365精度較高的時(shí)角數(shù)值，其計(jì)算方式為：() ( ) ( )t = 15°æ t9.87 sin 2B - 7.53cos B -1.5sin B60ö l 360365()+15-12 , B =d - 81ç÷0èø經(jīng)過以上分析，可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)目標(biāo)、日期、時(shí)間都已知時(shí)，可以求出相應(yīng)的太陽高度角。又因桿長(zhǎng)已知，故可求出相應(yīng)時(shí)刻的影長(zhǎng)。因題目要求繪制出2015 年 10 月 22 日北京時(shí)間 9:00-15:00（即子午線標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間 1:00-7:00）之間天

18、安門廣場(chǎng)（北緯 39 度 54 分 26 秒,東經(jīng) 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直桿的太陽影子長(zhǎng)度的變化曲線，故可寫出太陽此地此日太陽長(zhǎng)度與時(shí)間的關(guān)系式，從而在給定的定義域中，畫出此直桿長(zhǎng)度的變化曲線。6.1.2模型的建立根據(jù) 6.1.1 中的分析，可建立有關(guān)影長(zhǎng) Ly 與子午線當(dāng)?shù)貥?biāo)準(zhǔn)時(shí)間t0 的計(jì)算求解模型如下：æö1Ly = L ç-1÷ç (sin d sin j + cosd cosj cos t )÷2èøt0 Î1, 7其中 Ly 為直桿的影長(zhǎng)， L 是直桿長(zhǎng)度，為 3 米。d

19、 為太陽赤緯，計(jì)算方式為： d =23.45°sin æ 360 (d - 81)ö ， d 代表天數(shù)，當(dāng)日期為 1 月 1 日時(shí)， d =1。jç 365÷èø為豎直桿所在地的緯度，豎直桿在北半球時(shí)，j 為正，否則為負(fù)。t 為時(shí)角，根據(jù) 6.1.1 中的分析，可以得出：() ( ) ( )t = 15°æ t9.87 sin 2B - 7.53cos B -1.5sin B60ö l 360365()+15-12 , B =d - 81ç÷0èø8t0

20、為子午線當(dāng)?shù)貥?biāo)準(zhǔn)時(shí)間， l 為目標(biāo)所在位置經(jīng)度，當(dāng)豎直桿經(jīng)度為東經(jīng)時(shí)， l 為正，否則為負(fù)。皆為已知，所建立的模型實(shí)際上為 Ly可以看出，由于日期、桿長(zhǎng)、æ式為 Ly = L ç關(guān)于t0 ，定義域?yàn)?, 7，的ç (sin d sin j +è函數(shù)關(guān)系式。綜上所述，第一問的模型為：æLy = L çç (sin d sièìd =23.45°sin æ 360 (dç 365ïèïæï9.8=íïï

21、;ïîçè)6.1.3模型的求解采用編程求解，可以得出直桿長(zhǎng)度的變化曲線如下：圖 6.1.3.1 直桿的太陽長(zhǎng)度變化曲線圖 6.1.3.1 表示了 2015 年 10 月 22 日北京時(shí)間 9:00-15:00（即子午線標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間 1:00-7:00）之間 3 米高的直桿的太陽廣場(chǎng)（北緯 39 度 54 分 26 秒,東經(jīng) 116 度 23 分 29 秒）長(zhǎng)度的變化曲線，橫軸北京時(shí)間（小時(shí)），縱軸為直桿影9長(zhǎng)（米）。需要注意的是，由于本題中計(jì)算太陽赤緯、時(shí)角誤差修正的公式并非完全精確，因此本模型仍然存在一定的系統(tǒng)誤差。在本問解答結(jié)束后，將會(huì)對(duì)本模型的誤差進(jìn)

22、行分析。6.1.4結(jié)果分析根據(jù)本文的計(jì)算結(jié)果，直桿的太陽長(zhǎng)度變化曲線如圖 6.1.3.1 所示，其在11 點(diǎn) 58 分 30 秒時(shí)，直桿影長(zhǎng)達(dá)到最小值 3.8410 米；影長(zhǎng)在 9 點(diǎn)到 11 點(diǎn) 58 分30 秒時(shí)隨時(shí)間變短，此后隨時(shí)間增長(zhǎng)。決定長(zhǎng)度的除了當(dāng)天的時(shí)間之外，還有桿長(zhǎng)、日期、經(jīng)度、緯度這四個(gè)因素。由于桿長(zhǎng)與長(zhǎng)度呈正比例關(guān)系，故本文不多加討論，而著重在日期、經(jīng)度、緯度三個(gè)方面給出討論。為方便表現(xiàn)制變量，作圖如下：長(zhǎng)度關(guān)于各個(gè)因素的關(guān)系，須控圖 6.1.4.1 直桿的太陽長(zhǎng)度在一年中的變化曲線圖 6.1.4.1 是 1 月 1 日至 12 月 31 日北京時(shí)間 12:00（即子午線標(biāo)

23、準(zhǔn)時(shí)間 4:00）北緯 39 度 54 分 26 秒,東經(jīng) 116 度 23 分 29 秒（上圖）與南緯 39 度 54 分 26 秒,東經(jīng) 116 度 23 分 29 秒（下圖）3 米高的直桿的太陽長(zhǎng)度的變化曲線，橫軸為日期（1 代表 1 月 1 日，2 代表 1 月 2 日，由此類推），縱軸為直桿影長(zhǎng)（米）。可以看出，對(duì)處在北半球的直桿而言從 1 月 1 日到夏至日左右（6 月 22 日），的長(zhǎng)度隨著時(shí)間推移而變短，夏至日后，隨著時(shí)間推移而變長(zhǎng)，在冬至日左右（12 月 22 日）達(dá)到最長(zhǎng)后又開始減小。而對(duì)于處在南半球的直桿，情況恰好10完全相反。圖 6.1.4.2 修正前與修正后直桿影長(zhǎng)與

24、經(jīng)度關(guān)系曲線圖 6.1.4.2 體現(xiàn)的是 6 月 22 日北京時(shí)間 12:00（即子午線標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間 4:00）北緯39 度 54 分 26 秒,處于 180 度到本初子午線的 3 米高的直桿的太陽長(zhǎng)度的變化曲線，橫軸為經(jīng)度（負(fù)數(shù)為西經(jīng)，正數(shù)為東經(jīng)），縱軸為直桿影長(zhǎng)（米）。第一幅圖過任何處理，為修正前變化曲線?？梢钥闯觯谖鹘?jīng) 120 度左右到東經(jīng) 10 度左右的區(qū)域，子午線標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間為 4:00 時(shí)太陽尚未升起或已經(jīng)落下， 因此對(duì)其討論直桿影長(zhǎng)毫無意義。而在此二經(jīng)度附近的區(qū)域，太陽剛剛升起或落下，若當(dāng)?shù)卮蟮剌^為平坦，則長(zhǎng)度極大，會(huì)影響對(duì)其他經(jīng)度區(qū)域長(zhǎng)度的觀察，因此本文將的曲線。長(zhǎng)度大于 30 米的

25、區(qū)域統(tǒng)一設(shè)定為 30 米后，繪制出修正后11觀察兩幅圖可以發(fā)現(xiàn)，在東經(jīng) 120 度附近，直桿太陽最短，而以 120 度為中心向東西延伸，長(zhǎng)度不斷變長(zhǎng)，直到達(dá)到晨昏線分界線后，消失。圖 6.1.4.3 修正前與修正后直桿影長(zhǎng)與緯度關(guān)系曲線圖 6.1.4.3 體現(xiàn)的是 6 月 22 日北京時(shí)間 12:00（即子午線標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間 4:00）東經(jīng)116 度 23 分 29 秒,處于南緯 90 度到北緯 90 度的 3 米高的直桿的太陽長(zhǎng)度的變化曲線，橫軸為緯度（負(fù)數(shù)為南緯，正數(shù)為北緯），縱軸為直桿影長(zhǎng)（米）。第一幅圖過任何處理，為修正前變化曲線?？梢钥闯?，在南緯 84 度左右到南緯 90 度，北京時(shí)間 1

26、2:00 時(shí)為黑夜，因此對(duì)其討論直桿影長(zhǎng)毫無意義。而在此南緯 84 度附近的區(qū)域，太陽剛剛升起，若當(dāng)?shù)卮蟮剌^為平坦，則長(zhǎng)度極大，會(huì)影響對(duì)其他經(jīng)度區(qū)域長(zhǎng)度的觀察，因此本文將長(zhǎng)度大于 30 米的區(qū)域統(tǒng)一設(shè)定為 30 米后，繪制出修正后的曲線。觀察兩幅圖可以發(fā)現(xiàn)，在北回歸線處，直桿太陽最短，而以北回歸線為中心向東西延伸，長(zhǎng)度不斷變長(zhǎng)，直到達(dá)到南緯 84 度左右，消失。廣場(chǎng) 3 米高豎直桿在 10 月 22 日 9 至 12綜上所述，題目要求繪出的點(diǎn)的曲線如圖 6.1.3.1 所示。觀察豎直桿與當(dāng)日時(shí)間、日期、經(jīng)度、緯度的關(guān)系可以總結(jié)規(guī)律如下：表 6.1.4.4長(zhǎng)度關(guān)于各個(gè)參數(shù)的變化規(guī)律12桿長(zhǎng)當(dāng)日時(shí)

27、間日期經(jīng)度緯度影子長(zhǎng)度與豎直桿長(zhǎng)正午前逐漸變短， 正午北半球的直桿在去年12 月 22 日至 6 月 22日逐漸變短，6 月 22日至當(dāng)年 12 月 22 日在有日照的區(qū)域內(nèi)，某一經(jīng)線上的太陽最 短，以此經(jīng)線為在有日照的區(qū)域內(nèi)，某一緯度上的太陽最 短，以此緯線為誤差分析與改進(jìn)由于第一問求解時(shí)所用的公式會(huì)在二、三、四問的建模過程中沿用，故于此處，有必要對(duì)使用的模型進(jìn)行誤差分析。于第一問的計(jì)算求解模型建立過程中，其公式為：太陽高度角的計(jì)算公式，即：a = arcsin (sin d sin j + cosd cosj cos t ) 。各項(xiàng)中，太陽赤緯d以及時(shí)角t的修正 E 都是近似式，因而本模型

28、的主要系統(tǒng)誤差來自于此兩項(xiàng)。由于d 與 E 皆為僅僅與日期d 有關(guān)的變量，故可以選擇一個(gè)精度較高的天文計(jì)算器4，將之計(jì)算的d 為 1 至 365 時(shí)的d 和 E 值作為真實(shí)值，而將本文模型中計(jì)算的d 與 E 值作為計(jì)算值，做誤差分析。本文作為參考的計(jì)算器為 MIDC SPA CALCULATOR5。對(duì)比計(jì)算得出的誤差如下圖所示：圖 6.1 誤差對(duì)比如圖 6.1 所示，上方圖為 E 值在取 1 至 365 時(shí)采用本文以及真實(shí)結(jié)果的比較，下方圖為太陽赤緯d 的計(jì)算值和理論值的比較。其中，13線文方案的計(jì)算變化成正比后逐漸變長(zhǎng)逐漸變長(zhǎng)，南半球直桿反之。中心，向東西兩側(cè)逐漸變長(zhǎng)中心，向南北兩側(cè)逐漸變長(zhǎng)

29、值，棕色線為改進(jìn)后結(jié)果，X 點(diǎn)為 SPA 計(jì)算器算出的值，即真實(shí)值?？梢钥闯觯?本文的計(jì)算值與真實(shí)值之間存在一定偏差，因此，可以采用更為精確的模型加以修正。參考其它文獻(xiàn)678，得到更為精確的太陽赤緯d 與時(shí)差 E 的計(jì)算方式如下：+1.914 × 180sin (0.98565°×( D - 2) öæd = -arcsin ç 0.39779 cos(0.98565° ×( D +10)÷pèE=720 (C -C ) ，其中：øìææ tan(B

30、76;)ööA - arctanïçç cos(23.44°) ÷÷ïC = èèøøïïí180()()()B = A +1.914 sinW D - 2°，ïï A = W ( D +10)ï360ïW=î365.24D 為天數(shù)。當(dāng)日期為 1 月 1 日時(shí)， D 為 0。修正前后，本文模型計(jì)算得到的誤差與 SPA 計(jì)算器的比較如下表： 表 6.2 修正前后時(shí)差與太陽赤緯誤差

31、對(duì)比可見，經(jīng)過精度更高的公式修正之后，時(shí)差和太陽赤緯的誤差得到了較為明顯的。然而，由于在之后的模型中，時(shí)差和太陽赤緯是用來計(jì)算太陽高度角以及方位角的中間步驟，因此還須檢測(cè)修正前后太陽高度角和方位角的誤差變化。表 6.3 修正前后太陽高度角與方位角誤差對(duì)比從表 6.3 可以發(fā)現(xiàn)，修正后對(duì)于太陽高度角的誤差減少效果較為明顯。然而可以看出，即使不加以修正，現(xiàn)在使用的公式產(chǎn)生的誤差亦并非很大。14平均殘差絕對(duì)值（為角度）修正前修正后太陽高度角0.34110.0222方位角0.32030.1760最大殘差絕對(duì)值殘差平方和平均殘差絕對(duì)值修正前修正后修正前修正后修正前修正后時(shí)差1.32060.2221147

32、.4626.27650.49770.1153太陽赤緯1.14920.2221115.05090.66890.43990.0377圖 6.4 修正前后太陽高度角與方位角殘差分布圖圖 6.4 為修正前后太陽高度角與方位角殘差分布圖。橫軸以小時(shí)為，從左到右為 1 月 1 日至 12 月 31 日，縱軸為殘差。為修正前曲線，紅色為修正后曲線。可見，修正前的殘差最大亦不足 2 度，雖然修正后降低誤差效果明顯， 但是原本的誤差也在可接受的范圍之內(nèi)?？紤]到修正的計(jì)算方法復(fù)雜，會(huì)影響模型效率，因而本文將在明確模型存在系統(tǒng)誤差的前提下，在之后幾問沿用第一問中使用的天文學(xué)公式。將修正后的公式代入第一問，可以得到影

33、長(zhǎng)在北京時(shí)間 9 至 15 點(diǎn)的最小的值為 3.6638 米，對(duì)應(yīng)時(shí)間為 11 點(diǎn) 59 分 24 秒。問題（二）的求解6.2.1模型的分析本問相對(duì)于第一問，不知道直桿的長(zhǎng)度，但因知道太陽頂點(diǎn)在續(xù)時(shí)間段內(nèi)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)，故相當(dāng)于知道了此時(shí)間段內(nèi)等間隔時(shí)刻的影長(zhǎng)以及其角度變化（即方向）。因此，合理的（直桿位置）應(yīng)不僅僅能夠擬合直桿的影長(zhǎng)及其變化，還應(yīng)當(dāng)擬合方位角的變化。15由于特定時(shí)刻，特定下的太陽高度角和方位角皆可以計(jì)算，且同一地點(diǎn)的同一直桿在一天中兩不同時(shí)刻的影長(zhǎng)只與太陽高度角有關(guān)，故可以計(jì)算不同時(shí)刻的理論影長(zhǎng)比及方位角差。因而，可以依照問題分析（二）中提出的思為 x, y 時(shí)，計(jì)算所得兩時(shí)刻的

34、路，構(gòu)造以直桿所在長(zhǎng)度比與對(duì)應(yīng)時(shí)刻測(cè)得的長(zhǎng)度比的差值最小為第一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，以計(jì)算所得兩時(shí)刻方位角差值與測(cè)得的方位角差值的差值最小為第二個(gè)目標(biāo)的多目標(biāo)盡可能精確的解。模型，利用遍歷求出圖 6.2.1.1 豎直直桿在不同時(shí)刻成影示意圖如圖 6.2.1.1 所示，該圖表現(xiàn)了豎直直桿在同一天中兩個(gè)時(shí)刻的成影示意圖。該示意圖表示的情況已過當(dāng)?shù)貢r(shí)間正午，故 OB 為較早時(shí)的成影，OC 為較晚時(shí)的成影。與第一問相同， ÐB ， ÐC 分別為OB、OC 的太陽高度角。而第一問中， 參考有關(guān)太陽高度角的資料1 ，可以得到太陽高度角的求解公式為pæö()a = arcsin

35、 sin d sin j + cosd cosj cos t ，且a Î 0,。因此，時(shí)刻t ,t 的理論影ç2 ÷1 2èøL'L cot acot a長(zhǎng)之比即為=y11 =1，實(shí)際影長(zhǎng)之比可以通過所給數(shù)據(jù)計(jì)算，即為L(zhǎng) cot acot aL'y 222Ly1 。Ly 2由于方位角是在地平坐標(biāo)系上的角1，豎直直桿是垂直于大地的，因此可以將面 XOY 看作是地平坐標(biāo)系，因而ÐBOC 即為時(shí)刻i, j 方位角q1,q2 的差值。查閱()d j - d j æ sin cos t öcoscossinq

36、 = arccos資料可知，方位角的計(jì)算公式為：，因而ç÷cosaèøq -q''可以計(jì)算出兩時(shí)刻方位角理論計(jì)算值的差值的絕對(duì)值。對(duì)于實(shí)際的方位12角差值，因已經(jīng)知道了向量OB, OA 的坐標(biāo)，故 q -q=arccos。12通過計(jì)算所得到的理想應(yīng)該能夠使得實(shí)際和理論的影長(zhǎng)之比以及方16OB × OAOBOA位角差值之差盡可能為 0，因而，可建立多目標(biāo)多目標(biāo)模型，找出滿足條件的。需要注意的是，因?yàn)楦郊幸还蔡峁┝?21 組數(shù)據(jù)，為了使一對(duì)數(shù)據(jù)的差別盡可能大，從而減少誤差，選擇每一個(gè)時(shí)刻與其之后的第十個(gè)時(shí)刻為一對(duì)（例如， 時(shí)刻 1

37、，即 14:42 的數(shù)據(jù)應(yīng)與時(shí)刻 11，即 15:12 時(shí)的數(shù)據(jù)成為一對(duì)），得到共十組使得每一對(duì)理論的影長(zhǎng)之比的差的平方和接近于0，數(shù)據(jù)，找出符合條件的且方位角差值之差的平方和接近于 0,由此建立多目標(biāo)模型。6.2.2模型的建立根據(jù)模型分析及問題分析，建立已實(shí)際和理論的影長(zhǎng)之比以及方位角差值之差盡可能為 0 二者為目標(biāo)的多目標(biāo)模型。目標(biāo)函數(shù)為：ö2æ LL'f1 (j, l ) = åç- yi yi' ÷mini, j è LyjLyj ømin f (j, l ) = å é(q -q

38、- q -q) ()2ù''ëû2ijiji, j j 和l 分別為直桿所在的緯度和經(jīng)度。目標(biāo)函數(shù)是兩個(gè)關(guān)于的二元函數(shù)。其中， f1 為每一對(duì)理論與實(shí)測(cè)的影長(zhǎng)之比的差的平方和， Lyi , Lyj 分別為時(shí)刻i, j 測(cè)得的影長(zhǎng)，L' , L' 為時(shí)刻i, j 的理論影長(zhǎng)。 f 為每一對(duì)理論與實(shí)測(cè)方位角差yiyj2值之差的平方和，q ,q 分別為時(shí)刻i, j 測(cè)得的方位角，q ,q 分別為時(shí)刻i, j 的理''ijij論方位角值。目標(biāo)函數(shù)的約束條件如下：17ïïB = 360 (d - 81)&#

39、239;365ïi Î1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,ïï-90°, 9 °ïîl Î(-180°,180°)條件一給出了理論影長(zhǎng)之比的計(jì)算方式，ak 為k 時(shí)刻的太陽高度角， k 可取i, j 。條件二給出了ak 的約束條件，即ak 須為銳角，僅僅在這種情況下，當(dāng)?shù)貢r(shí)間才為白天，討論才有意義。條件三給出了ak 的計(jì)算方式： d 為太陽赤緯,j 為豎直桿所在地的緯度，豎直桿在北半球時(shí)，j 為正，否則為負(fù)。tk 為時(shí)刻k的時(shí)角。條件四給出了理論方位角的計(jì)算公式。條件五、六、七

40、給出了d 、tk 以及一個(gè)相關(guān)量 B 的求解方式。其中d 代表天數(shù)，當(dāng)日期為 1 月 1 日時(shí)，d =1，本問中d = 108 ；l 為直桿所在經(jīng)度，tk 0 為時(shí)刻k 的格林威治標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間。條件八給出了i, j 對(duì)應(yīng)所指的時(shí)刻。最后兩個(gè)條件給出了的定義域。綜上所述，本文建立的多目標(biāo)模型為：ö2æ LL'f1 (j, l ) = åç- yi yi' ÷mini, j è LyjLyj ømin f2 (j, l ) = å éë(qi -q j ) - (i, j 18ï

41、;ïB = 360 (d - 81)ï365ïi Î1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,ïï-90°, 9 °ïîl Î(-180°,180°)6.2.3模型的求解由于在所給的數(shù)據(jù)中，長(zhǎng)度的變化較為明顯，而角度的變化則相比之下更為微小，因此即使是在所用公式精度相同的情況下，以角度為首要標(biāo)準(zhǔn)來解答也會(huì)產(chǎn)生更大的誤差。因此，為較為精確的標(biāo)問題。，本文采用分層求解法解該多目f1 (j, l )（即以min長(zhǎng)度比之差）為首要優(yōu)化目標(biāo)，在完成此步優(yōu)化之后，f1 (j,

42、 l ) = l ，進(jìn)而以第一步的優(yōu)化結(jié)果作為約束條件， 即得到多組j, l 使得f1 (j, l ) £ l ，以min f2 (j, l ) 作為優(yōu)化目標(biāo)再次優(yōu)化，得出。通過編程遍歷求解，得出最為符合條件的地點(diǎn)為北緯 19 度，東經(jīng)109 度，位于我國(guó)海南省境內(nèi)：19圖 6.2.3.1 北緯 19 度，東經(jīng) 109 度（谷歌地圖）由于本文采用的計(jì)算方法自身存在一定的系統(tǒng)誤差，因而此多目標(biāo)得到的并非精確的。于結(jié)果分析中，本文會(huì)進(jìn)一步給出各下的誤差分析，指出其他可能點(diǎn)所在的范圍。6.2.4結(jié)果分析f1 (j, l ) 值為因變量，以緯度、經(jīng)度為自變量得到最優(yōu)結(jié)果之后，可以分別以作圖分

43、析。如本文之前所解釋，角度的計(jì)算引起的偏差可能較大，因此結(jié)果分析部分將著重于長(zhǎng)度的理論值和測(cè)量值吻合情況，這一做法亦與本文求解多目標(biāo)模型的思路一致。所得圖像如下：圖 6.2.4.1 不同圖 6.2.4.1 反映的是不同的理論影長(zhǎng)與實(shí)際測(cè)得影長(zhǎng)的吻合情況的理論影長(zhǎng)與實(shí)際測(cè)得的影長(zhǎng)的吻合情況，圖中，橫軸為經(jīng)度，經(jīng)度為負(fù)即代表西經(jīng)，為正即東經(jīng)；縱軸為緯度，緯度為正時(shí)即北緯，為負(fù)時(shí)即南緯。顏色越藍(lán)，越深則代表此的直桿吻合情況越好；顏色越黃，越淺即代表此的直桿吻合情況越差。f1 (j, l ) 的相對(duì)大小，可對(duì) f1 (j, l ) 的數(shù)據(jù)值做離差標(biāo)準(zhǔn)化，將20為了更好的描述離差標(biāo)準(zhǔn)化后的值命名為誤差程

44、度，該值越低代表誤差越小。根據(jù)該圖可以看出，除了北緯 19 度，東經(jīng) 109 度以外，還有其他的地點(diǎn)的誤差程度也相對(duì)較好。因此，可以再遍歷所有的地點(diǎn)，搜尋各個(gè)局部的最優(yōu)中心： 即以此點(diǎn)為中心，其鄰近點(diǎn)的誤差程度皆劣于該點(diǎn)。找到這些局部最優(yōu)中心后， 再篩選出誤差程度低于 0.002 的點(diǎn)，可以得到七個(gè)中心，這些中心也是直桿可能的所在地：表 6.2.4.2 直桿可能所在地表 6.2.4.2 中，緯度為正代表北緯，反之代表南緯；經(jīng)度為正代表東經(jīng)，反之為西經(jīng)。可以看出，北緯 19 度，東經(jīng) 109 度也包含在這 7 個(gè)點(diǎn)中，其誤差程度亦是最小的。誤差程度越小代表：依照本題模型，直桿處在該地的可能性越大

45、?？梢钥闯觯褐睏U處在海南（北緯 19 度，東經(jīng) 109 度）的可能性是最大的，其次是在海南東南的北緯 18，東經(jīng) 109 度以及越南河內(nèi)（北緯 21 度，東經(jīng) 106度）。但因模型自身或存在系統(tǒng)誤差，測(cè)量仍然不能排除直桿位于其他各地點(diǎn)的可能性。以上各點(diǎn)在地圖上的相對(duì)位置如下：坐標(biāo)時(shí)亦可能出現(xiàn)錯(cuò)誤，因此，圖 6.2.4.3 直桿可能所在地在地圖上的位置（谷歌地圖截圖）如圖 6.2.4.3 所示，上述 7 個(gè)可能的位置都已經(jīng)用星星標(biāo)出，其中，加上紅色21緯度經(jīng)度誤差程度大致地點(diǎn)241000.0012云南-31040.0017尼西亞，巨港211060.0008越南，河內(nèi)201080.0019海南西北

46、191090海南181100.0006海南東南171110.0018西沙群島圖釘?shù)狞c(diǎn)為北緯 19 度，東經(jīng) 109 度。問題（三）的求解6.3.1 模型的分析第三問的其他條件與第二問一致，只不過相比于第二問，日期是一個(gè)未知值。因此，可以沿用第二問的多目標(biāo)模型，不過須將原來的二元目標(biāo)函數(shù)更改為含有日期（幾月幾日）、緯度和經(jīng)度三個(gè)未知數(shù)的三元函數(shù)，再建立與第二問類似的多目標(biāo)模型，采用分層求解法遍歷求解。6.3.2模型的建立根據(jù)模型分析，參照第二問的模型，建立已實(shí)際和理論的影長(zhǎng)之比以及方位角差值之差盡可能為 0 二者為目標(biāo)的多目標(biāo)模型。目標(biāo)函數(shù)為：ö2æ LL'f1 (j

47、, l, d ) = åç- yi yi' ÷mini, j è LyjLyj ømin f (j, l, d ) = å é(q -q- q -q) ()2ù''ëû2ijiji, j j 和l 分別為直桿所在的緯度和經(jīng)度，d 為日期，當(dāng)日期為 1 月 1 日時(shí)，d 的與日期的二元函數(shù)。其中， f1 為每一對(duì)理論值為 1。目標(biāo)函數(shù)是兩個(gè)關(guān)于''的影長(zhǎng)之比的差的平方和， Lyi , Lyj 分別為時(shí)刻i, j 測(cè)得的影長(zhǎng)， Lyi , Lyj 為時(shí)刻i,

48、j的理論影長(zhǎng)。f2 為方位角差值之差的平方和，qi ,q j 分別為時(shí)刻i, j 測(cè)得的方位角，q ,q 分別為時(shí)刻i, j 的理論方位角值。''ij目標(biāo)函數(shù)的約束條件如下：22èïïB = 360 (d - 81)ï365ïïi Î1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,-° , l Î(° , 9ïîd Î1, 365條件一給出了理論影長(zhǎng)之比的計(jì)算方式，ak 為k 時(shí)刻的太陽高度角， k 可取i, j 。條件二給出了ak 的約束條件，即ak

49、須為銳角。條件三給出了ak 的計(jì)算方式：d 為太陽赤緯, j 為豎直桿所在地的緯度，豎直桿在北半球時(shí)，j 為正，否則為負(fù)。tk 為時(shí)刻k 的時(shí)角。條件四給出了理論方位角的計(jì)算公式。條件五、六、七給出了d 、tk 以及一個(gè)相關(guān)量 B 的求解方式。其中d 代表天數(shù), l 為直桿所在經(jīng)度， tk 0 為時(shí)刻k 的格林威治標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間。條件八給出了i, j 對(duì)應(yīng)所指的時(shí)刻。最后三個(gè)條件分別給出了的定義域。和日期綜上所述，本文建立的多目標(biāo)模型為：æ LL'f1 (j, l, d ) = åç- yi yi'mini, j è LyjLyjmin f2

50、(j, l, d ) = å éë(qi -q j )i, j 23èïïB = 360 (d - 81)ï365ïïi Î1, 2, 3, 4, 5, 6, 7ïj Î -9090°, lïîd Î1, 3656.3.3模型的求解與第二問類似，采用分層求解法，利用據(jù)附件二、三計(jì)算出相應(yīng)位置相應(yīng)的日期為：編程遍歷求解，可得到根表、圖 6.3.3.1第三問最可能及在地圖上的大概位置（谷歌地圖）緯度為正即為北緯，經(jīng)度為正代表為東經(jīng)。圖中兩星

51、標(biāo)點(diǎn)即為上述兩點(diǎn)。其24緯度經(jīng)度日期大致地點(diǎn)附件二40795/25圖木舒克市附件三3310610/31陜西，漢中廣元之間中，帶圖釘?shù)狞c(diǎn)為附件二的位置。由于年份不可確定，只能確定日期，因而對(duì)應(yīng)的日期具體年份不可知。同時(shí)，因題的計(jì)算方式存在一定的誤差，因而滿足目標(biāo)函數(shù)最好的解并不一定是真實(shí)的解，進(jìn)一步分析會(huì)在結(jié)果分析中給出。6.3.4結(jié)果分析得到最優(yōu)結(jié)果之后，與第二問類似，可以分別對(duì)特定的緯度與經(jīng)度j , l 以其f1 (j, l, d ) 值為因變量，以緯度、經(jīng)度為自變量作圖分析。因附件二對(duì)應(yīng)的最小的數(shù)據(jù)和附件三的數(shù)據(jù)在分析過程中沒有區(qū)別，故本部分僅僅以附件二為樣本，進(jìn)行結(jié)果分析。所得圖像如下：

52、圖 6.3.4.1 不同圖 6.3.4.1 反映的是不同的理論影長(zhǎng)與實(shí)際測(cè)得影長(zhǎng)的誤差值的理論影長(zhǎng)與實(shí)際測(cè)得的影長(zhǎng)的吻合情況，圖中，橫軸為經(jīng)度，經(jīng)度為負(fù)即代表西經(jīng)，為正即東經(jīng)；縱軸為緯度，緯度為正時(shí)即北緯，為負(fù)時(shí)即南緯。豎軸為誤差值，該值越小，代表理論影長(zhǎng)與實(shí)際影長(zhǎng)的誤差越小，即目標(biāo)吻合情況越好。f1 (j, l, d ) 的相對(duì)大小，可對(duì) f1 (j, l, d ) 的數(shù)據(jù)值做離差標(biāo)準(zhǔn)為了更好的描述化,更易于繪圖。 此外，為了便于觀察，本文將誤差值大于 0.001 的點(diǎn)的誤差值統(tǒng)一設(shè)為 0.001，由此在保留觀察誤差值趨勢(shì)變化的同時(shí)，便于讀者觀察。根據(jù)該圖可以看出，當(dāng)遍歷地點(diǎn)逐漸靠近到東經(jīng)

53、50 度，南北回歸線范圍前后時(shí)，誤差明顯減小，由此從該圖可以看出，較為準(zhǔn)確的應(yīng)該在此范圍內(nèi)。為了更進(jìn)一步的從圖像上看出結(jié)果，可以將誤差值大于 0.000001 的點(diǎn)的誤差值全部規(guī)定為 0.000001，修正后得到的圖如下：25圖 6.3.4.2 修正后不同的理論影長(zhǎng)與實(shí)際測(cè)得影長(zhǎng)的誤差值從圖 6.3.4.2 中可以明顯的看出，存在兩簇地理位置的點(diǎn)的誤差很小，因本題所采用的模型自身存在一定的誤差，所以盡管各點(diǎn)對(duì)第一個(gè)目標(biāo)的滿足情況仍然有差異，但是不能排除這些點(diǎn)為正確地點(diǎn)的可能。因而，圖中的結(jié)果進(jìn)一步體現(xiàn)了選擇若干的可能點(diǎn)作為可能所在的位置的理由，并展示了這些結(jié)果的地理位置之間直觀的相對(duì)關(guān)系。對(duì)附

54、件二中的點(diǎn)取誤差值低于 10-7，附件三中的點(diǎn)取誤差值小于 10-9，得出的可能解如下：表 6.3.4.3第三問可能26附件二附件三經(jīng)度緯度日期誤差值經(jīng)度緯度日期誤差值78-4112/33.22E-08110-364/147.23E-0982-411/76.56E-08111-348/171.96E-1077-4011/243.94E-08112-338/27.32E-0982-401/178.91E-08112-327/291.19E-0976-3911/173.59E-08110-315/319.22E-0982-381/308.85E-08112-317/212.81E-0983-381/298.93E-08110-306/38.39E-0975-3711/66.08E-081073011/228.75E-0982-372/48.77E-081083012/18.