高數(shù)下冊積分重點

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上微積分下冊常見六種積分考試重點二重積分、三重積分第一型曲線積分、曲面積分第二型曲線積分、曲面積分專心-專注-專業(yè)二重積分/累次積分1） 在有界閉區(qū)域D上進行積分的積分符號；D Oxy平面上的有界閉區(qū)域，積分區(qū)域；f(x,y) 被積函數(shù)（其在D上連續(xù)才可積），比如可以是區(qū)域D的密度大小，也可以表示底面是D的曲頂柱體的高。2）d Oxy平面上微小區(qū)域面積，面積元素（d 微分； D中微小區(qū)域，微小曲頂柱體的底面積）。3）微小面質(zhì)量=微小面密度×微小面積；微小曲頂柱體面積=微小曲頂柱體高×微小曲頂柱體底面長度；f(x,y)d 微小面質(zhì)量或者微小面積，被積表

2、達式。4） 曲面D的質(zhì)量，曲頂柱體面積。此處應注意：f(x,y)>0時，二重積分積分的現(xiàn)實意義才成立。5）6）二重積分的計算：化二重積分為二次積分三重積分1）在有界閉區(qū)域上進行積分的積分符號； Oxyz空間中的有界閉區(qū)域，積分區(qū)域，代表一幾何體；f(x,y,z) 被積函數(shù)（其在上連續(xù)才可積），可以是區(qū)域的密度大小。2）dV Oxyz空間中微小區(qū)域體積，體積元素（d 微分，V 中的微小幾何體）。3）微小體質(zhì)量=微小體密度×微小體積；f(x,y,z)dV 微小體質(zhì)量，被積表達式。4） 幾何體的質(zhì)量。此處應注意：f(x,y,z)>0時，三重積分積分的現(xiàn)實 意義才成立。5）6）三

3、重積分的計算：化三重積分為三次積分第一型曲線積分第一型曲線積分又叫作對弧長的曲線積分，或數(shù)量值函數(shù)的曲線積分1）在線段L上進行積分的積分符號；L 當被積函數(shù)是二元函數(shù)時，其是Oxy平面上一條光滑曲線，當被積函數(shù)是三元函數(shù)時，其是Oxyz空間中一條光滑曲線；f(x,y,z) 被積函數(shù)，一函數(shù)值，比如可以是線L的密度大小，也可以表示底邊是L的曲邊梯形的高。2）ds 微小弧長（d 微分；s 微小線段，微小曲邊梯形的底邊長度）。3）微小線質(zhì)量=微小線密度×微小線長度；微小曲邊梯形面積=微小曲邊梯形高×微小曲邊梯 形底邊長度；f(x,y,z)ds 微小線質(zhì)量或者微小曲邊梯形面積，被積

4、表達式。4） 線質(zhì)量，曲邊梯形面積。此處應注意：f(x,y,z)>0時，第一型曲線積分的現(xiàn)實意義才成立。5）6）第一型曲線積分計算公式第一型曲面積分第一型曲面積分又叫作對面積的曲面積分，或數(shù)量值函數(shù)的曲面積分1)在有界光滑曲面上進行積分的積分符號；一空間有界光滑曲面；f(x,y,z) 被積函數(shù)，一函數(shù)值，比如可以是曲面的密度大小，也可以表示底面是的曲面體的高（有限制）。2）dS微小曲面面積（d 微分；S微小曲面）。3）微小曲面面質(zhì)量=微小面密度×微小面積；微小曲面體面積=微小曲面體高×微小曲面體底面長度；f(x,y,z)ds 微小體質(zhì)量或者微小曲面體體積（有限制），被

5、積表達式。4） 面質(zhì)量，曲面體體積（有限制）。此處應注意：f(x,y,z)>0時，第一型曲線積分的現(xiàn)實意義才成立，即使如此，其現(xiàn)實意義亦不明顯。5）6）第一型曲面積分計算公式 若計算中須帶入線方程，帶入的方程應按上線方程的前四種形式之一帶入，若計算中須帶入面方程，帶入的方程應按上面方程的后三種種形式之一帶入，至于帶哪一種形式，須看哪一種形式利于解題。比如，若線方程可以化為圓的形式，則常常采用圓的參數(shù)形式帶入。再如，平面A截柱面B得的面，其方程不是二者聯(lián)立解得的方程，因為其相交的部分是線而不是面，解得的方程是交線的方程；顯然B的方程不能作為截得的面的方程，因為二者公共部分是一條線，而A包含

6、截得的面，因而截得的面的方程可以用A的方程表示。注：二重積分與第一型曲面積分只是在積分區(qū)域上有差別。二重積分，積分區(qū)域在Oxy面上，而第一型曲面積分積分區(qū)域在Oxyz空間中。第二型曲線積分第二型曲線積分又叫作對坐標的曲線積分，或向量值函數(shù)的曲線積分1）在有向線段上進行積分的積分符號； 當被積函數(shù)是二元函數(shù)時，其是Oxy平面上一條有向光滑曲線，當被積函數(shù)是三元函數(shù)時，其是Oxyz空間中一條有向光滑曲線；P(x,y,z)、Q(x,y,z) 、R(x,y,z) 被積函數(shù)，力的三個分向值。2）微小功=力×微小線長度()；P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy +R(x,y,z)dz 微小

7、功。3） 力在有向線段上做的功。4）兩種曲線積分的關(guān)系5）第二型曲線積分計算公式第二型曲面積分第二型曲面積分又叫作對坐標的曲面積分，或向量值函數(shù)的曲面積分1)在取定了側(cè)的有界光滑曲面上進行積分的積分符號； 取定了側(cè)的空間有界光滑曲面；P(x,y,z)、Q(x,y,z) 、R(x,y,z) 被積函數(shù)，場強的三個分向值。2）微小通量=場強×微小面積()；P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx +R(x,y,z)dxdy 微小通量。3） 場在取定了側(cè)的上的通量。4)兩種曲面積分的關(guān)系5） 第二型曲線積分計算公式Green公式設(shè)平面閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，如果函數(shù)證明：公

8、式左端直接展開按二重積分計算可化為右端的計算式，過程略。應用：在Green公式中，令P=-y，Q=x得平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件設(shè)G是平面上的單連通域，如果，則下面四個條件等價：（1） 沿D內(nèi)的任意一條光滑的閉曲線L，有（2） 曲線積分在D內(nèi)與路徑無關(guān)(此處L在D內(nèi)任取，無須閉合)（3） 是D內(nèi)某個二元函數(shù)u(x,y)的全微分，即在D內(nèi)有（4） 在D內(nèi)每點處成立證明：采用循環(huán)證法，過程略。注意：設(shè)G是平面上的單連通域，這兩個條件是極為關(guān)鍵的。單連通域：平面區(qū)域內(nèi)任意一條閉曲線所圍成的部分都屬于該區(qū)域復連通域：平面區(qū)域內(nèi)存在至少一條閉曲線所圍成的部分不屬于該區(qū)域正向：沿閉曲線給定方向走，其所圍區(qū)域在左手側(cè)負向：沿閉曲線給定方向走，其所圍區(qū)域在右手側(cè)Gauss公式設(shè)平面閉區(qū)域由分段光滑的曲面圍成，如果函Stokes公式設(shè)為分段光滑的空間有向閉曲線，是以為邊界的分段光滑的有界曲面，的正向與的側(cè)向符合右手規(guī)則，函數(shù)