5確定圓的條件

1、5確定圓的條件基礎(chǔ)自我診斷關(guān)鍵問答 確定圓的三個點必須滿足什么條件？ 如何過不在同一直線上的三個點作一個圓？1. 下列命題中，正確的是（）A. 同一平面內(nèi)的三點確定一個圓B. 三角形的外心是三角形三邊中垂線的交點C. 三角形的外心到三角形三邊的距離相等D. 菱形的四個頂點在同一個圓上2. 分別作出直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形的外接圓，并歸納這三類三角形的外心的位置規(guī)律.考向提升訓(xùn)練能力備考課時化命題點1確定圓心及圓的條件熱度：86%3. 已知A,B,C為平面上的三點，AB=2,BC=3,AC=5,貝U（）A. 可以畫一個圓，使點A,B,C都在圓上B. 可以畫一個圓，使點A,B在圓上，點C

2、在圓內(nèi)C. 可以畫一個圓，使點A,C在圓上，點B在圓外D. 可以畫一個圓，使點A,C在圓上，點B在圓內(nèi)方法點撥判斷經(jīng)過已知三點能否作圓，首先判斷這三個已知點是否在同一直線上，若這三點不在同一直線上，則可以作出過這三個已知點的圓，否則不能4. 平面上不共線的四點，可以確定圓的個數(shù)為（）A. 1個或3個B.3個或4個C.1個或3個或4個D.1個或2個或3個或4個如圖3-5-1,在平面直角坐標系中，點A,B,C的坐標分別為(1,4),(5,4),(1,-2)，則ABC的外心的坐標是()圖3-5-1A.(2,3)B.(3,2)C.(1,3)D.(3,1)5. 如圖3-52,點A,B,C均在6X6的正方

3、形網(wǎng)格格點上，過A,B,C三點的外接圓除經(jīng)過A,B,C三點外還能經(jīng)過的格點數(shù)為.1-1-111A=1Sr"t*iiiirriiiiii:cii111ii1i11111111iL號三_i'1iiAL"111111111!III111_1_jJ11111|11_L_1_1II11-1-_J1圖3-5-2方法點撥 三角形的外接圓的圓心是三邊垂直平分線的交點，圓上任意一點到這點的距離相等已知平面直角坐標系中的三個點A(1,1),B(2,5),C(4,-6)，判斷過A,B,C這三個點能否確定一個圓，并說明理由.命題點2與三角形外接圓有關(guān)的計算和證明熱度：81%如圖3-53,點

4、O為乙ABD的外心，點C為直徑BD下方弧BD上一點，且不與點B,D重合，/ACB=ZABD=45°,則下列對AC,BC,CD之間的數(shù)量關(guān)系判斷正確的是()圖3-5-3A.AC=BC+CDB2AC=BC+CDC.AC=BC+CDD.2AC=BC+CD解題突破 延長CD到點E,使DE=BC,連接AE,你能說明CAE是等腰直角三角形嗎？如圖35-4,在ABC中，/BAC=50°,把ABC沿EF折疊，C對應(yīng)點恰好與ABC的外心O重合，則/CFE的度數(shù)是()Abe圖35-4A.40°B.45°C.50°D.55°知識鏈接 折疊前后對應(yīng)角相等，對

5、應(yīng)線段相等，連接對應(yīng)點的線段被折痕垂直平分6. 已知O的內(nèi)接三角形ABC中，AB=AC,圓心O到BC的距離為6,圓O的半徑為10,則腰AB的長為.易錯警示 對于圓內(nèi)接三角形，若題目未指明其形狀，則應(yīng)分情況討論7. 2018溫州如圖35-5,D是ABC的BC邊上一點，連接AD,作ABD的外接圓，將ADC沿直線AD折疊，點C的對應(yīng)點E落在BD上.求證：AE=AB;1(1) 若ZCAB=90,cosZADB=3,BE=2,求BC的長.如圖3-56,AD為ABC外接圓的直徑，AD±BC,垂足為F,ZABC的平分線BE交AD于點E,連接BD,CD.(1) 求證：BD=CD;(2) 請判斷B,E

6、,C三點是否在以點D為圓心，DB長為半徑的圓上，并說明理由.方法點撥在圓中證明線段相等的常用依據(jù)：（1）弧、弦、圓心角的關(guān)系定理；（2）垂徑定理；三角形中“等角對等邊”的性質(zhì)定理；（4）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.命題點3三角形外接圓的實際應(yīng)用熱度：91%小紅不小心把家里的一塊圓形玻璃打碎了，需要配制一塊同樣大小的玻璃鏡，工人師傅在一塊如圖3-57所示的玻璃鏡殘片的邊緣描出了點A,B,C,給出三角形ABC,則這塊玻璃鏡的圓心是（）A.AB,AC邊上的中線的交點B. AB,AC邊上的垂直平分線的交點C. AB,AC邊上的高所在直線的交點D. /BAC與ZABC的平分線的交點小明家的房前

7、有一塊矩形的空地，空地上有三棵樹A,B,C,如圖358,小明想建一個圓形花壇，使三棵樹都在花壇的邊上.（1）請你幫小明把花壇的位置畫出來（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）;若在ABC中，AB=8米，AC=6米，/BAC=90。，試求小明家圓形花壇的面積.思維拓展培優(yōu)照說糧瓷活翔化8. 如圖3-59,ABC是O的內(nèi)接三角形，直徑GH±AB,交AC于點D,GH,BC的延長線相交于點E.(1) 求證：ZOAD=ZE;(2) 若OD=1,DE=3,試求O。的半徑；當AGB是什么類型的弧時，CED的外心在CED的外部、內(nèi)部、一邊上(只寫結(jié)論，不用證明)?解題突破 (1)要證兩角相等，注意到其

8、所在兩個三角形中有一組對頂角，另借助垂徑定理及圓周角定理可得/AOG和/ACB相等，再利用外角的性質(zhì)實現(xiàn)等角關(guān)聯(lián).(2) 外心與三角形的位置關(guān)系存在幾種情形？詳解詳析1. B解析A項，在同一平面內(nèi)且不在同一條直線上的三點確定一個圓，故本選項錯誤.B項，三角形的外心是三角形三邊中垂線的交點，故本選項正確.C項，三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，故本選項錯誤.D項，菱形的四個頂點不一定在同一個圓上，對角互補的四邊形的四個頂點才能在同一個圓上，故本選項錯誤.故選B.2. 解：作圖略.結(jié)論：直角三角形的外心在斜邊中點處，銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部，鈍角三角形的外心在三角形外部.3. D解析由已

9、知可得AB+BC=AC,故可以畫一個圓，使點A,C在圓上，點B在圓內(nèi).4. C解析不在同一條直線上的三個點確定一個圓.由于點的位置不同，導(dǎo)致確定的圓的個數(shù)不同，所以本題分三種不同情況考慮.當四個點中有三個點在同一直線上，另外一個點不在這條直線上時，一共可以確定3個圓；(1) 當四個點中任意三個點都不在同一條直線上，并且四點不共圓時，則任意三點都能確定一個圓，一共可以確定4個圓；(2) 當四個點共圓時，只能確定1個圓.故選C.5. D解析根據(jù)垂徑定理的推論，作弦AB,AC的垂直平分線，交點O'即為圓心,它的坐標是(3,1).故選D.6. 5解析如圖，分別作AB,BC的中垂線，兩直線的交點

10、為O,以。為圓心，OA為半徑作圓，則OO即為過A,B,C三點的外接圓.由圖可知，。O還經(jīng)過點D,E,F,G,H這5個格點.解：能.理由如下：設(shè)直線AB的表達式為y=kx+b,把A(1,1),B(2,5)代、，k+b=1,-k=2,入礙j解礙j所以直線AB的表達式為y=2x+1.當x=4時，y=2k+b=5,|b=1.2X4+1=-8+1=-7,所以點C(4,一6)不在直線AB上，即點A,B,C不共線，所以過A,B,C這三個點能確定一個圓.7. B解析在CD的延長線上截取DE=BC,連接AE./ABD=ZACB=ZADB=45°,AB=AD.ZADE+ZADC=180°,ZA

11、BC+ZADC=180°,.ABC=/ADE.在ABC與ADE中，AB=AD,ZABC=ZADE,BC=DE,.ABCAADE,ZBAC=ZDAE,/BAC+/CAD=/DAE+/CAD,ZBAD=ZCAE=90°.又.ACD=ZABD=45°,CAE是等腰直角三角形，伽C=CE,求AC=CD+DE=CD+BC.故選B.8. C解析如圖，作出ABC的外接圓，連接OB,OC,由圓周角定理得/BOC=2ZBAC=100°.1.OB=OC,ZOCF=2(180100)=40.由折疊的性質(zhì)得OCLEF,CFE=90-40=50.故選C.9. 8寸5或4寸5解析分

12、圓心在內(nèi)接三角形內(nèi)和在內(nèi)接三角形外兩種情況討論.如圖，若ZBAC是銳角，則ABC是銳角三角形.連接OA,OB,過點O作OD±BC于點D,易得O,A,D共線.OD=6,OB=10,BD=寸10262=8,AD=10+6=16,.AB=寸162+82=8V5.圖圖如圖，若/BAC是鈍角，則ABC是鈍角三角形，和圖解法一樣，只是AD=10-6=4.AB=寸82+42=4訴故腰AB的長為8寸5或4寸5.10. 解：(1)證明：由折疊的性質(zhì)可知ADEADC,.ZAED=ZACD,AE=AC.ZABD=ZAED,ABD=ZACD,.AB=AC,AE=AB.(2)如圖，過點A作AH±BE

13、于點H,D.AB=AE,BE=2,.BH=EH=1.11-ZABE=ZAEB=ZADB,cosZADB=3,-cosZABE=cosZADB=,BH1一AC=AB=3.AB3.ZBAC=90°,AC=AB,.BC=3g11. 解析(1)利用等弧對等弦即可證明.(2)利用等弧所對的圓周角相等，得ZBAD=ZCBD，再等量代換得出/DBE=ZDEB,從而證明BD=DE=CD,所以B,E,C三點在以點D為圓心，DB長為半徑的圓上.解：(1)證明：AD%ABC外接圓的直徑，AD±BC,Bd=Cd,bd=cd.(2)B,E,C三點在以D為圓心，以DB長為半徑的圓上.理由：BE為/AB

14、C的平分線,ABE=ZCBE.由知Bd=Cd,ZBAD=ZCBD.ZDBE=ZCBD+ZCBE,/DEB=ZBAD+ZABE,ZDBE=ZDEB,BD=DE.由(1)知，BD=CD,BD=DE=CD,B,E,C三點在以點D為圓心，DB長為半徑的圓上.12. B解析由題意可得所求的圓形玻璃是ABC的外接圓，這塊玻璃鏡的圓心是ABC三邊垂直平分線的交點.故選B.解：(1)要把圓形花壇畫出來，必須先找到圓心O,AB,BC是圓的弦，可用尺規(guī)分別作出AB,BC的中垂線，中垂線的交點即為圓心O,如圖.BAC=90°,AB=8米，AC=6米,BC=10米，.ABC外接圓的半徑為5米，小明家圓形花壇

15、的面積為25兀平方米.解析（1）由于CDE和AOD中已經(jīng)有一組對頂角，那么我們可通過證明它們的外角ZAOG和ZACB相等來證/OAD=ZE.根據(jù)垂徑定理我們不難得出AG=BG,再根據(jù)圓周角定理即可得出/AOG=/ACB,由此得證.（2）我們可通過構(gòu)建與OE,OD和圓的半徑相關(guān)的相似三角形進行求解.連接OC,只要證明OCD和OEC相似，即可得出關(guān)于上述三條線段的比例關(guān)系，從而求出半徑，所以關(guān)鍵是證這兩個三角形相似，已知一個公共角，我們通過等邊對等角可得出ZOAD=/OCA,又由的結(jié)果，即可得出/OCD=/E,由此就能證出這兩個三角形相似，得出OD,OE,OC三條線段的比例關(guān)系式后，即可求出圓的半徑.（3）其實就是看/ACB的度數(shù)，如果/ACB是銳角（aGb是劣弧），那么CDE的外心在三角形外部；如果ZACB是鈍角（AGB是優(yōu)?。?，那么CDE的外心在三角形內(nèi)部；如果ZACB是直角（AGB是半圓），那么CDE的外心在CDE的一邊上.解：（1）證明：連接OB.GH為。的直徑，GH±AB,.AG=BG,AOG=ZGOB=1ZAOB.2,_1,_.ZACB=2/AOB,.ZAOG=ZACB.ZAOG=ZADO+ZOAD,ZACB=ZCDE+ZE,/ADO=ZCDE,ZOAD=ZE.(2) 連接OC,貝UZOAD=ZOCA.ZOAD=ZE,OCD