小學(xué)奧數(shù)公因數(shù)和公倍數(shù)

1、第三講：公因數(shù)和公倍數(shù)知識(shí)點(diǎn)撥一、公約數(shù)的概念與最大公約數(shù)幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。0 被排除在約數(shù)與倍數(shù)之外。例如： 12 的約數(shù)有： 1,2,3,4,6,1218 的約數(shù)有： 1,2,3,6,9,1812和18的公約數(shù)有： 1,2,3,6，其中6是12和18的最大公約數(shù)，記作（12 ， 18） =61 求最大公約數(shù)的方法分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來(lái)例如：，所以；短除法：先找出所有共有的約數(shù)，然后相乘例如：，所以；輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)數(shù)的

2、最大公約數(shù)的步驟如下：先用小的一個(gè)數(shù)除大的一個(gè)數(shù)，得第一個(gè)余數(shù)；再用第一個(gè)余數(shù)除小的一個(gè)數(shù)，得第二個(gè)余數(shù)；又用第二個(gè)余數(shù)除第一個(gè)余數(shù)，得第三個(gè)余數(shù)；這樣逐次用后一個(gè)余數(shù)去除前一個(gè)余數(shù)，直到余數(shù)是0 為止那么，最后一個(gè)除數(shù)就是所求的最大公約數(shù)(如果最后的除數(shù)是1 ，那么原來(lái)的兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)的)例如，求600 和 1515 的最大公約數(shù)：；所以 1515 和 600 的最大公約數(shù)是152 最大公約數(shù)的性質(zhì)幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)；幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)；幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以二、公倍數(shù)的概念與最小公倍

3、數(shù)幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。例如： 12 的倍數(shù)有： 12,24,36,48,60,72,84.18 的倍數(shù)有： 18,36,54,72,90.12 和 18 的公倍數(shù)有：36,72. ，其中 36 是 12 和 18 的最小公倍數(shù)，記作12 ， 18=361. 求最小公倍數(shù)的方法分解質(zhì)因數(shù)的方法；例如：，所以；短除法求最小公倍數(shù)；例如：，所以；2. 最小公倍數(shù)的性質(zhì)兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)兩個(gè)互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的乘積兩個(gè)數(shù)具有倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大公約數(shù)是其中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)三、最大公約數(shù)與最

4、小公倍數(shù)的常用性質(zhì)1 兩個(gè)自然數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商互質(zhì)。如果為、的最大公約數(shù)， 且，那么互質(zhì)，所以、的最小公倍數(shù)為，所以最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)有如下一些基本關(guān)系：，即兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之積等于這兩個(gè)數(shù)的積；最大公約數(shù)是、及最小公倍數(shù)的約數(shù)2 兩個(gè)數(shù)的最大公約和最小公倍的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。即，此性質(zhì)比較簡(jiǎn)單，學(xué)生比較容易掌握。3 對(duì)于任意3 個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，如果三個(gè)連續(xù)數(shù)的奇偶性為a) 奇偶奇，那么這三個(gè)數(shù)的乘積等于這三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)例如：， 210 就是 567 的最小公倍數(shù)b) 偶奇偶，那么這三個(gè)數(shù)的乘積等于這三個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)的2 倍例如：，而 6,7,8

5、 的最小公倍數(shù)為性質(zhì)（ 3 ）不是一個(gè)常見考點(diǎn)，但是也比較有助于學(xué)生理解最小公倍數(shù)與數(shù)字乘積之間的大小關(guān)系，即“幾個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)一定不會(huì)比他們的乘積大”。例題精講【例 1 】?jī)筛娋€分別長(zhǎng)24m 和 16m ，現(xiàn)將兩根電線剪成相等的小段并且沒(méi)有剩余，剪成的小段最長(zhǎng)可以是多少米？【鞏固】求12 和 18 的最大公因數(shù)?！纠?2 】找出下面每組數(shù)的最大公因數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？4和 206和367 和 86和19【鞏固】說(shuō)出下面各組數(shù)的最大公因數(shù)。4和1615和22【例 3 】用一個(gè)數(shù)去除30 、 60 、75 ，都能整除，這個(gè)數(shù)最大是多少？【鞏固】一個(gè)數(shù)用3、 4 、5 除都能整除，這個(gè)數(shù)最小是多

6、少？【例 4 】有三根鐵絲，長(zhǎng)度分別是120 厘米、 180 厘米和300 厘米 .現(xiàn)在要把它們截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最長(zhǎng)多少厘米？一共可以截成多少段？【鞏固】加工某種機(jī)器零件，要經(jīng)過(guò)三道工序。第一道工序每個(gè)工人每小時(shí)可完成3 個(gè)零件，第二道工序每個(gè)工人每小時(shí)可完成10 個(gè)，第三道工序每個(gè)工人每小時(shí)可完成5 個(gè)，要使加工生產(chǎn)均衡，三道工序至少各分配幾個(gè)工人？【鞏固】有三根鋼管，它們的長(zhǎng)度分別為240cm ，200cm ，480cm ，如果把它們截成同樣長(zhǎng)的小段，且不許有剩余，每小段最長(zhǎng)可以是多少厘米？【例 5 】一張長(zhǎng)方形的紙，長(zhǎng)7 分米 5 厘米、寬 6 分米?，F(xiàn)在要把它裁

7、成一塊正方形，而且正方形邊長(zhǎng)為整厘米數(shù)，有幾種裁法？如果要使裁得的正方形面積最大，可以裁多少塊？【鞏固】把1 米 3 分米 5 厘米長(zhǎng)、 1 米 5 厘米寬的長(zhǎng)方形紙，裁成同樣大小的正方形而無(wú)剩余，至少能裁幾塊？【例 6 】用一張長(zhǎng) 1072 毫米、寬469 毫米的長(zhǎng)方形紙，剪成面積相等的正方形，并且最后沒(méi)有剩余，這些正方形的邊長(zhǎng)最長(zhǎng)是多少？（輾轉(zhuǎn)相除法）【鞏固】用輾轉(zhuǎn)相除法判斷1547 和 3135 是否互質(zhì)?！纠?7 】用輾轉(zhuǎn)相除法求4811 和 1981 的最大公約數(shù)?！眷柟獭壳?008 、 1260 、 882 和 1134 四個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是多少？【例 8 】求 21672 和 1

8、1352 的最小公倍數(shù)。【例 9 】已知兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)為 4，最小公倍數(shù)為 120 ，求這兩個(gè)數(shù)【鞏固】?jī)蓚€(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是 15 ，最小公倍數(shù)是 90，求這兩個(gè)數(shù)分別是多少？【鞏固】已知兩數(shù)的最大公約數(shù)是21，最小公倍數(shù)是126 ，求這兩個(gè)數(shù)的和是多少？【例 10 】?jī)蓚€(gè)自然數(shù)的積是360 ，最小公倍數(shù)是120 ，這兩個(gè)數(shù)各是多少？【鞏固】已知兩數(shù)的最小公倍數(shù)是210 ，它們的積是1260 ，它們的和是72，求這兩個(gè)數(shù)的差？【例 11 】?jī)蓚€(gè)自然數(shù)的和是125 ，它們的最大公約數(shù)是25，試求這兩個(gè)數(shù)【例 12 】甲乙丙三人是朋友，他們每隔不同的天數(shù)到圖書館去一次，甲3 天去一次，乙4

9、 天去一次，丙 5 天去一次， 有一天，他們?nèi)苏迷趫D書館相會(huì)。問(wèn)至少再過(guò)多少天他們?nèi)擞謺?huì)在圖書館相會(huì)？【鞏固】 1 路、 2 路和 5 路都從東站發(fā)車，1 路車每隔10 分鐘發(fā)一輛， 2 路車每隔15 分鐘發(fā)一輛，而5路車每隔20 分鐘發(fā)一輛。當(dāng)這三種路線的車同時(shí)發(fā)車后，至少要過(guò)多少分鐘又有這三種路線的車同時(shí)發(fā)車？【鞏固】甲、乙、丙從同一起點(diǎn)出發(fā)沿同一方向在圓形跑道上跑步，甲跑一圈用120 秒，乙跑一圈用80秒，丙跑一圈用100 秒，問(wèn)：再過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間三人第二次從同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)？【例 13 】一所學(xué)校的同學(xué)排隊(duì)做操，排成14 行、 16 行、 18 行都正好能成長(zhǎng)方形。這所學(xué)校至少有多少人

10、？【鞏固】有一批乒乓球，總數(shù)在1000 個(gè)以內(nèi)， 4 個(gè)裝一袋， 5 個(gè)裝一袋或6 個(gè)、 7 個(gè)、 8 個(gè)裝一袋最后都剩下一個(gè)。這批乒乓球到底有多少個(gè)？【例 14 】學(xué)校六年級(jí)有若干同學(xué)排隊(duì)做操，如果3 人一行余2 人， 7 人一行余2 人， 11 人一行也余2人。六年級(jí)最少有多少人？【鞏固】一袋糖，平均分給15 個(gè)小朋友或20 各小朋友后，最后都余下5 塊。這袋糖至少有多少塊？【鞏固】一個(gè)數(shù)能被3 、 5、 7 整除，但是被11 除余 1 ，這個(gè)數(shù)最少是多少？【例 15 】一盒圍棋子， 4 顆 4 顆數(shù)多 3 顆， 6 顆 6 顆數(shù)多 5 顆， 15 顆 15 顆數(shù)多 14 顆，這盒棋子在150-200 顆之間，問(wèn)共有多少顆？【鞏固】五一班的五十多位同學(xué)去大掃除，平均分成4 組多 2 人，平均分成5 組多 3 人，請(qǐng)你算一算，五一班有多少位同學(xué)？【鞏固】有一批水果，每箱放30 個(gè)則多 20 個(gè)，每箱放35 個(gè)則少 10 個(gè)。這批水果至少有多少個(gè)？【例 16 】從學(xué)校到少年宮的這段公路上，一共有37 根電線桿，原來(lái)每?jī)筛娋€桿之間相距50, 米，現(xiàn)在要改成每?jī)筛g相距60 米，除兩端兩根不需移動(dòng)外，中途還有多少根不必移動(dòng)？【鞏固】插一排紅旗共26 面。原來(lái)每?jī)擅嬷g的距離是4