人教版高數(shù)必修五第8講：數(shù)列的前n項和求解方法（教師版）.docx

1、數(shù)列的前n項和求解方法墾大腦體操）W作業(yè)完成情況JA&教學(xué)目標(biāo)）教學(xué)重點：掌握數(shù)列前項和的求和方法，公式法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法、分組轉(zhuǎn)化求和法、并項求和等方法的應(yīng)用。教學(xué)難點：了解數(shù)列求和的方法的應(yīng)用。疝趣味引入）二。知識梳理）一、數(shù)列求和基本方法拆項求和法：將一個數(shù)列拆成若干個簡單數(shù)列（如等差數(shù)列、等比數(shù)列、常數(shù)數(shù)列等等），然后分別求和.1. 并項求和法：將數(shù)列的相鄰的兩項（或若干項）并成一項（或一組）得到一個新的且更容易求和的數(shù)列.2. 裂項求和法：將數(shù)列的每一項拆（裂開）成兩項之差，使得正負(fù)項能互相抵消，剩下首尾若干項.3. 錯位求和法：將一個數(shù)列的每一項都作相同

2、的變換，然后將得到的新數(shù)列錯動一個位置與原數(shù)列的各項相減，這是仿照推導(dǎo)等比數(shù)列前項和公式的方法.4. 反序求和法：將一個數(shù)列的倒數(shù)第A項（妙1,2,3,，）變?yōu)轫様?shù)第#項，然后將得到的新數(shù)列與原數(shù)列進(jìn)行變換（相加、相減等），這是仿照推導(dǎo)等差數(shù)列前項和公式的方法.二. 常用結(jié)論(1) 支k=l+2+3+.+n=卜i2(2)£(2k-l)=l+3+5+.+(2n-l)=A=1逆1=1I如+D1(1)(+1)22"n1_412仲21(1)(+1)22"n1_412仲2業(yè)冬上+j22"一2”7.已知數(shù)列知的前項和為S”如+2-2如+如=0（£片）,打=

3、11（1）求數(shù)列%,如的通項公式;,點（nA）在直線yH上,數(shù)列如滿足n22且其前9項和為153.設(shè)'數(shù)列席的前”項的和為，求使不等式柜含對一切5*都成立的最大正整數(shù)的值答案：斗=；+'&=?2+!，=+5,2如+i=b+如+2,.也為等差數(shù)列，b、=11,9(4)為)=53,即但=17d=3,bn=3+2八3LI1、(2)C=()“(6+3)(2-1)22/?-12h+1.T=li-l+l-l+.+=-()r23352n-l2+122一12+1Ik當(dāng)=1時，仁）胴=->-<19故k的最大正整數(shù)值為18。8. 數(shù)列%的前項和為Sn，旦滿足=1,2S=（+1）

4、。,（l）求“與的關(guān)系式，并求“,J的通項公式;求和呢=招+招土答案：（I）答案：（I）-1”a2_nn-1n-177-2(II) 吧=+”1-32-43-5+2）=*-!）+（掃）*=(+1",兩式相減彳凱2S”=nan_.+（）+.+（：）=/_土一點.9. 將等差數(shù)列%的所有項依次排列,并如下分組：（/）,（%）,（印，%，%），其中第1組有1項，第2組有2項，第3組有4項，第組有項，記L,為第組中各項的和，己知丁3=-48,T4=0,（I）求數(shù)列%的通項公式：（II）求數(shù)列Tn的通項公式；（III）設(shè)數(shù)列T”的前"項和為Sn，求S8的值.答案：（I）設(shè)*,的公差為d

5、,則4=4缶一6"=48，7；=8代+36=0，解、得d=2,a7=-9,/.an=2n一23;（II）當(dāng)n>2時，在前一1組中共有項數(shù)為1+2+2"-2=2”-'一1,2"-'（2”-'11.第組中的2"T項的和7；=（2"-23）X2'1+Lx22=3x2*2-24x2-'（III）S8為%的前255項,.*8=59415.能力提升10. 己知拋物線xX+1Xn11»/.、/=>知I+也，=布二如=*2*一*2,1=（工2甘+易”）-U2+易心）4也+1一玉Z2.=4y,過原點作

6、斜率1的直線交拋物線于第一象限內(nèi)一點匕，又過點匕作斜率為!的直線交拋物線于點於，再過r作斜率為!的直線交拋物線于點八，如此繼續(xù)，一般地，過點乙作斜率為二的直線交拋物線于點pn+l，設(shè)點4（.,月）.2（）令如=仁仲一2,1，求證：數(shù)列如是等比數(shù)列.并求數(shù)列也J的前項和為無答案：（1）因為4（"月）、饑（知，爪）在拋物線上，故必=4乂，”2=4扁，又因為直線4E+的斜率為-，即也月=：,代入可得2"耳土一五2=故也二是以上22n222n322n2b444131為公比的等比數(shù)列；S)-S+l=,數(shù)列前中，ai=l,且an+i=Sn(N1,住N*),數(shù)列如是等差數(shù)列,其公差d&g

7、t;0,bi=l,且公、勿+2、3施成等比數(shù)列.(I) 求數(shù)列饑、如的通項公式；設(shè)數(shù)列&滿足cn=anbn,求&的前r?項和答案：I)由己知有SzS“=S”,即Sz=2S,QeN"),.S是以5=苗=1為首項，2為公比的等比數(shù)列.Sn=2"T.,S(=1),1(=1),由Tsf22),礙俱2(*).,:成，+2,3場成等比數(shù)列，07+2)2=b33如即(l+6d+2)2=(l+2d)3(l+8d),解得d=l或d=-；(舍)，:.如=l+(-l)xl=.(II)Tn=aibi+a2b2+anbn=lX1+2X2°+3X21+-+nX2n2,設(shè)T=2

8、X2°+3X21+-+nX2n-2,/.27=2X21+3X22+-+nX2n_,相減得-T=2+2i+22+2"-2f2心=|+»(1_2”/-“I=(i_n).2n-,1-2即T=(n-1)-2,_1,.乙=1+(一1)2tSN*).11. 己知數(shù)列%的前項和為S，且缶=52+&對一切正整數(shù)都成立。(I)求,角的值；(II)設(shè)6>0,數(shù)列ig給的前項和為L，當(dāng)為何值時，L最大?并求出K的最%大值。答案：I)取=1,得=S?+§=2%+角取二2,得=2.+2a2由一，得a2(a2-al)=a2(1)若a2=0,由知at=0(2)若外工0，

9、由知a2-at=1由、解得，ax=5/2+1,tz2=2+2:或巧=1V5,6/2=2血綜上可得，6=0,%=0；或q=+=2+次；或tz,=1>/2,a2=2>/2(II)當(dāng)>0時，由(I)知a=72+1,02=2+72當(dāng)n>2時，有(2+V2X=S2+&,(2+41)an_=S24-S,_，所以(1+皿)=(2+扼)】，即為=國z(/?>2),所以弓=%E'=(V2+1)-(令如=lg給，則勿=1_g(S)T=1一!(一1)lg2=；lg%所以數(shù)列也是單調(diào)遞減的等差數(shù)列(公差為-?lg2)，從而>打>.>=lg£&g

10、t;lgl=。當(dāng)28時，侖奴=；lg黑<：lgl=。，021ZoZ故n=l時，7；取得最大值，且7；的最大值為弓=也丑，=7(l+l_31g2)=7_21g222212. 設(shè)數(shù)列"中，%=1+2+3+(£AT),將%中5的倍數(shù)的項依次記為么,如，(I) 求白，如力3,如的值.(II) 用k表示。22與如t，并說明理由.(III)求和：Z?+Z?2+“3"、2”T+b.n.答案：(I)4=。4=1°,”2=%=15,如=“9=45,如=%o=55；(II)atl=但；D=5fn(mgN*),:.h=5上或+1=5k(kgN+),即=5k-1或=5k,

11、b2k_x<h2k,b2k_x=aSk_=,.5k(5k+1)b2k=a5k=；,25(III) b2ll_+b頊=25«2,.+/?2+b2n=(+1)(2+1).6已知數(shù)列%滿足:ax+3白2+(2/7-1)6/=(2n-3)-2n+,數(shù)列"的前.項和Sn=2/12+-2.求數(shù)列%hn的前項和吧.答案：當(dāng)=(2一3)2*-(2一5)2”=2”(2一1),_,zna.=2”(>2)ci=2;而。=-4,得(%=-4當(dāng)22時,如=5一5,_=4一1;而。I=1,得而。I=1,得4=1b/-4/?-1(/2>2).吧=-4+22x7+23x114-.+2m(

12、4h-1),記s=22x7+23、11+2,xl5+2”(4l)2s=23x7+2,xll+.+2"(4一5)+2"+*4一1)(2),一得一s=28+4(23+2+2”)一2n+,(4一1)=28+32(2*2一)_2'中(4-1)=-4+2n+,(5-4)，s=4+2”“(4/2-5),得吧=2時(4-5).13. 已知數(shù)列”“的各項分別為槌+后,"+/+。4,口3+(廣+5+“6,，求“的前n項和，.答案：=廣+?！?.+/-2,（1）當(dāng)。=1時=,S”="了）Stl=!(】+"+"2+.+"T)-(o+/+.

13、+/T),-a當(dāng)。乏±1時,s=-L上£1絲二史2；1-671-67-a當(dāng)。=一1時，1）當(dāng)。為奇數(shù)時=;22）當(dāng)77為偶數(shù)時Sn=.2標(biāo)程顧問簽李:教學(xué)主管簽李:(4) 2=12+22+32+n2=項+1)(2+1)4=16,1111Ill、(5) =()(/?+1)nn+1n(n+2)2n+2(6) =()(Pv4)pqq_ppq2典例講練)類型一：用公式法、倒序相加法求數(shù)列的和例1.求和：Sn=Inx+lnx3+lnx54-4-lnx2,_l.解析：法一：=InInx3+Inx5+.+Inx2n_,S=lnx+31nx+51nx4-+(2n-3)lnx+(2/7-l)

14、lnxPMS=(2一l)lnx+(2一3)lnx+5lnx+31nx+lnx.,.+有：2Sn=2nInx+2nnx+2nnx+2nInxSn=n2Inx法二：=Inx+Inx3+Inx5+Inx2nlSn=Inx+Inx3+Inx54-Inx2,''=lnx-x3-x5x2nlIn工1+3»5.必(2/!-1)=l+3+5+(2一l)lnx=n2nx.答案：見解析練習(xí)1.求和S=sin21°+sin22°+.+sin289°.答案:S=sin21°+sin22°+sin289°.S=sin289°

15、+sin288°+sin21°=cos2l°+cos22°+-+cos289°.2S=(sin21°+cos21°)+(sin22。+cos?2。)+.+(sit?89°+cos289°)=89S=2例2.數(shù)列%的前項和為S“,已知q=n2an-n(n-1),/?=1,2,鬃(I) 寫出S與的遞推關(guān)系式(32),并求S.關(guān)于的表達(dá)式；(II) 設(shè)bn=Sn(x?R),求數(shù)列勿的前項和兀。n解析：由S=tvan-n(n-1)(«32)得：S=n2(5ZJ-5;,)-n(n-1),即(氣i)s,廣2

16、算產(chǎn)(),所以sn-St_.=1,對32成立。nn-1由sSn.|=1>s_is,卜2=1，s2-=相加得:nn-1n-1n-221S-2S,=n-1,又5.=«!=,所以S=,當(dāng)n=1時，也成立。nM1112"n+I(II)bfl=nxno而兀=x+2x2+3x3+.+(n-l)xz,'1+nx",xTn=+2x3+3x4+.+(n-l)x"+nxH'1,(1-x)C=x+J+V+.+寸】+"Jx(l-妒)-心f1-X答案：見解析練習(xí)2.設(shè)/,Q)=M，定義=廠:,其中nN*.1+x九(0)+2(1)求數(shù)列an的通項公式

17、；(2)若弓=%+2。2+3。3+-+2%,?-|I2答案：(1)/.(0)=2,ai=-=-,zJ+I(o)=/1iA(o)j=T-;-y,-11+人（0）。二/U0)T二1+九(0)二1-九(0)二1一(0)-1二七w+1£.(0)4-2"2|24+2九(0)一2九(0)+22T，.數(shù)列s上首項為-公比為彳的等比數(shù)列,%=陣(2)烏=。+2a2+3角+2na2n,-乂=（-：）+（-?）2角+（-?）3%+（-：）2四2”，In_（l）2rti兩式相減得：:烏二4:+x：（_S",烏*1-翌）+2類型二：錯位相減、裂項相消、分組轉(zhuǎn)化求和、并項求和等方法例3.已

18、知數(shù)列""的通項公式=,求它的前項和.（2一1）（2+1）解析：+,"2/7-12/7+1e/1、/22、nn，“、s=(i+二)+(=+(_+_)+(_+_)，3352一32一12/?-12n+11223/T、n33552/?-12一12+12+12(+1)2+1答案：見解析練習(xí)3.已知數(shù)列的通項公式=2+】，,求它的前項和.答案："n(«+!)n(+1).，=（1號）+（£_寺）+（志_£）+（+冷）例4.己知數(shù)列%的各項為正數(shù)，其前項和，滿足S=（±）2,（I）求4與之間的關(guān)系式，并求%的通項公式:(id求證

19、v2.§&s解析：I).4S,=(4+1)2，而4S_,=(«_,+1)2,一得片一c己一2(%+an_x)=0=>(6/+I)($-an_x-2)=0,%>0".。一=2（>2）,.,是公差d=2的等差數(shù)列,而4%=(%+1)2=>Q=1而4%=(%+1)2=>Q=1Cl=2/2-1;(.1)S禹sI13=n+S禹sI13=n+1+2222v<!=-(h>2),nn(n-)n-n1111、，11、，S|S2S223-1n=2-<2.n答案：見解析練習(xí)4.設(shè)數(shù)列%的前n項和為S,點（,S,）（N.）均在函數(shù)y

20、=3x-2的圖像上。（I）求數(shù)列%的通項公式；（II）設(shè)hfl=,7；是數(shù)列也的前n項和，求使得Tlt<20對所有neTV*都成立的最小正整數(shù)mo答案：（1）Q=6-5（eN）（2）滿足要求的最小整數(shù)m為10。逢當(dāng)堂檢測）個91. 0.9+0.99+0.999+0.999-9若的前n項的和若的前n項的和答案：s=一6（1-10一“）求數(shù)列二,二口22-132-142-1答案：s=（i+；4）+（i+!t）+（i+；!）+（i+吉-）+（1+>出）=十1+1+2111(1A求和1二+2二+3二+n+.<2/答案：s答案：s=(l+2+3+-+n)+f-+-+-«+&g

21、t;12")【242n)=1-+2-+3-+248T2I+:+2-x5.等比數(shù)列%中，分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且中的任何兩(求和X+答案：當(dāng)乂=±1時，Sn=4n；當(dāng)x"±l時，"2弓=(x+%4+xn)+2r+Htx如-廣)-；+2+1I1-±1-xX"-1個數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（I）求數(shù)列%的通項公式;（II）若數(shù)列如滿足：如二%+（l）"lnq,求數(shù)列如的前2項和S2”.答案：(I)由題意知%=2,。2=6,%=18,因為%是等比數(shù)列，

22、所以公比為3,所以數(shù)列%的通項公式=23"-'.(II),=%+(-l)"lnq=23”T+(l)"ln2+(一l)ln3=23t+(-1)In2+(_l)”(_l)ln3,所以S*=(23O+23i+232+232'i)+(_l)'+(_l)2+.+(_l)2”ln2+(_l)L0+(_l)2.1+(_l)3.2+.+(_l)2”.(2_l)ln3=2,；)+(_i+i_i+1+I)ln2+O+1-2+3-4+.-(2«-2)+2/?-lln3=9”l+0ln2+ln3=9l+ln3已知數(shù)列的通項公式是=，則前項和為+5+6答案

23、：3(+3)己知?！暗那皀項和S”=2一物+1,則|%|+|缶I+I%。I的值為答案：67逢當(dāng)堂總結(jié))變陟家庭作業(yè))基礎(chǔ)鞏固1. 求和：=1+2(一1)+3(一2)+1;ak=k-=kn-k1+k(k=1,2,3,)，答案：Stl=(1+2+3+(14-2+3"+)+(l+2+3+)n2(n4-1)(+l)(2+l)n(n+1)(/?+l)(+2)=4.2626a2. 己知數(shù)列%=(+l)x(壽)”，求%的前項和S“.o答案：.=+1為等差數(shù)列如=(七)為等比數(shù)列，.應(yīng)運用錯位求和方法：99,9S=2x3x()+(+1)x()"”1()1()1()Q99QS=2x()2+3

24、x()3+.+(+1)x()w+l,10M101()10|QQQGQ兩式相減=-+()2+()3+(r-(n+i)x(r+,10"510101010G«1QQGGQ=-+X1-()H-(n+1)X()H+,=)M+I(/?+10),510101010109/.S=99-9(+10)x()"."10求和W=C?+4C：+7C；+10C；+(3+1)C；答案：an=3n+1為等差數(shù)列,+an=t/j+an_x而C：=運用反序求和方法是比較好的想法，W=C?+4C；+7C：+.+(3-2)C：-'+(3+1)C；，=(3+1)C：+(3+(3一5)C尸+4C：+C?W=(3+1)C：+(3-2)C：+(3-5)C：；-2+.+4C：+C?,+得2W=(3/2+2)(C；+C+<+C：)=(3+2)x2”，.W=(3+2)x2'i.3. 若練=，口=1,2,3,求數(shù)列%