圓的最值問題歸納

1、圓的問題探究安陽市龍安高級中學(xué)段可賀高中數(shù)學(xué)中，研究最多的一種曲線是圓。在研究圓的相關(guān)問題時，最值問題又是研究的重點和熱點，現(xiàn)把常見的與圓相關(guān)的最值問題，總結(jié)如下。希望對讀者有些啟發(fā)。類型一、“圓上一點到直線距離的最值”問題分析：求圓上一點到直線距離的最值問題，總是轉(zhuǎn)化成求圓心到定直線的距離問題來解決。1、求圓C:(x-2)2+(y+3)2=4上的點到直線l：x-y+2=0的最大、最小距離解析：作CH_Ll交于H,與圓C交于A,反向延長與圓交于點B0727.27,2dcH-,dmax-dBH='2；dmin-dAH二-2.2、求圓C:(x-1)2+(y+1)2=2上的點與直線l:x-y

2、+4=0距離的最大值和最小值.解析：方法同第一題,dmax=dBH=372+%/i=4V2;dmin=342-42=142.3、圓x2+y2=2上的點到直線l：3x+4y+25=0的距離的最小值為.解析：方法同第一題，dmin=5-亞.類型二、“圓上一點到定點距離的最值”問題分析：本質(zhì)是兩點間距離。涉及與圓相關(guān)的兩點的距離，總是轉(zhuǎn)化為圓心與定點距離問題來解決。1 .已知點P(x,y)是圓C:x2+y2-2x-4y+4=0上一點，求P到原點的最大最小距離.解析：連接OC與圓交于A,延長OC交于B.dmax=doCr"，51;dmin=doC-r"J5-1.2 .已知圓C:x2

3、+y2-4x-14y+45=0及點Q(-2,3),若M是圓C上任一點，求MQ最大值和最小值.解析：方法同第一題，dmax=dcQr=4、.222=6,2;dmin=dcQ-r=4.22.2=2.2.3 .已知x,y滿足條件x2+y2-2x-4y+4=0,求.Jx2+y2范圍.解析：方程看作是圓C,表達式幾何意義是圓C上點(x,y)與(0,0)距離的范圍，求dmax,dmin即可，與第一題答案相同.4 .已知x,y滿足圓C:x2+y2-2x-4y+4=0,求(x+2)2+(y+2)2范圍.解析：表達式幾何意義是圓C上點(x,y)與P(-2,-2)距離的最值的平方.CP=5,dmax=6,dmin

4、=4.22dmax二36,dmin=16.所以范圍是16,36.5 .已知x,y滿足圓C:x2+y2-2x-4y+4=0,求z=x2+y2+2x+2y范圍.解析：z=(x+1)2+(y+1)2-2表達式幾何意義是圓C上點(x,y)與P(-1,-1)距離的最值的平方減去2.CP13,dmax=.13+1,dmin='Zmax=(53+1)2-2=122.后,Zmin=(布-"-2=12-2.布.所以范圍是12-2、13,12-2.13.6 .已知圓C:(x-3f+(y-42=1,點A(-1,0),B(1,0),點P為圓上一動點，入22一一.求d=PA+|PB的最大值和最小值及對

5、應(yīng)的P點坐標(biāo).解析：d=PA2+|PB2=2(x2+y2)+2,幾何意義是點P與原點O距離的平方2倍力口2.|OC|=5,所以dmax=2(51)22=74;dmin=2(5-1)22=34答案34,74.類型三、“過定點的弦長”問題1:已知直線l:2mx-y-8m-3=0和圓C:x2+y2-6x+12y+20=0;(1) mWR時，證明l與C總相交。(2)m取何值時，l被C截得弦長最短，求此弦長。解析：直線整理得到(2x-8)m-y3=0,所以2x-8=0,進而x=4,y=-3.易判斷P在圓內(nèi)，所以直線總是與圓相交.是直徑時弦長最長，垂直直徑時弦長最短.kw3,k所釬一3.此時直線為：x+3

6、y+5=0.圓心到直線的距離是歷.弦長|AB|=2r2-d2'=2、2510=2.15.2、已知C:(x-1)2+(y2)2=25,直線l：(2m+1)x+(m+1)y7m-4=0(mR).(1)求證：不論m取什么實數(shù)時，直線l與圓包交于兩點；(2)求直線l被圓C截得的線段的最短長度以及這時直線l的方程.解析：方法同第一題.(1)恒過點P(3,1)(2)垂直直徑的直線是2x-y-5=0,弦長|AB|=4瓜類型四、“切線長”問題分析：切線長問題總是轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離問題1、在直線2x+y+3=0上求一點P,使由P向圓C:x2+y24x=0引得的切線長長度為最小.解析：直線與圓相離，假設(shè)

7、切點為Q,組成直角三角形PQC切線長|PQ|二J|CP|2I,那么當(dāng)|CP|最小時|PQ|最小。進而計算圓心C到直線的距離dJ,|PQ|minY.4Y.55522十(y-3)=12 .一束光線從點A(1,1)出發(fā)經(jīng)x軸反射到圓C:(x2)的最短路程是.解析：根據(jù)光學(xué)的對稱原理，A點關(guān)于x軸的對稱點是A'(-1,-1),求|CA|=5，所以dmin=|CA|r=51=4.3 .已知P是直線3x+4y+8=0上的動點，PAPB是圓C:x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線，A,B是切點，求四邊形PACB勺面積的最小值.解析：四邊形APBC中連接CP,兩個三角形PAC,PBC全等，Sapb

8、c=2(；r|PA|)=|PA|j|CP|2-1|CP|最小值為O0直線距離|CP|min=3所以Sapbc=|PA舄=、|CP舄2二1=32-1=22.4.如圖,已知圓O:x2+y2=1和定點A(2外一點P(a,b)向圓O引切線PQ切點為Q且?f足PQ=|PA,(1)求實數(shù)a,b間滿足的等量關(guān)系。(2)求線段PQ長的最小值。(3)若以P為圓心所做的圓P與圓O有公共點，試求半徑取最小值時圓P的方程。解析：(1)做出切線，|PQ2=|PA|2進而得至U|OP|2-r2=|PA|2,得至“a2+b2_1=(a_2)2+(b1)2,化簡得至U2a+b-3=0.(2)因為|PQ|=|PA|,所以|PQ

9、|2=|PA|2=(a-2)2+(b-1)2,由(1)知道b=3-2a代入以上表達式，|PQj=(a2)2+(3-2a1)2=5(a6)2+4,55當(dāng)a=6時,|PQ島=：=2-5.5.55(3)相切時半徑最小，假設(shè)半徑為r所以r+1=Ja2+b2,所以r=，a2+b2-1=Ja2+(3-2a)2-1=J5(a-6)2+-/1,55當(dāng)a=6時，訕=,9-1=”-1此時圓叨程為(x-6)2Yy-3)2=(2-1)2.5:55555類型五、利用“數(shù)形結(jié)合方法”解決直線與圓的問題(1)利用表達式的幾何意義“斜率”解決問題1 .若實數(shù)x,y滿足(x-22+y2=3,則2的最大值是x解析二表達式的幾何意

10、義是：k=9即圓上的點(x,y)和原點(0,0)的斜率，在第一象限相切時，斜率最大x。0設(shè)直線斜率為k,直線方程是y=kx,所以圓心到直線距離d=，2kL=石，所以kmax=n.k212 .已知實數(shù)x、y滿足(x-2)2+(y-1)2=1,求z=工口的最大值與最小值。x解析：表達式的幾何意義是：k="3即圓上的點(x,y)和原點(0,-1)的斜率，設(shè)直線斜率為k,x-0直線方程是y+1=kx,所以圓心到直線距離d=42a=1,解之得到卜=皿7.k213C:x2+y2-4x-14y+45=0若點N(a,b應(yīng)圓上，求N=b二蟲的最大值.a3解析：表達式的幾何意義是：k=_b二3即圓上的點(a,b)和原點(-3,3)的斜率，設(shè)直線斜率為k,a-(-3)直線方程是kx-y+3k+3=0,所以圓心到直線距離=卓3=2點，解之得至Ukmax=20+2便.k2117(2)利用直線的“斜率，截距”幾何意義解決問題.若直線y=«十b與曲線x=r*7恰有一個公共點，則b的取值范圍是.解析：答案：-1<bM1或b=-72.方程表示單位圓左半部分.數(shù)形結(jié)合即可。相切時b=-&,相交時-1:二b<1.設(shè)集合M=(x,y)y=06x2,y00,N=(x,y)y=x+a,若MCN=e,求實數(shù)a的取值范圍.解析