大二線性代數(shù)復習資料2

1、11.矩陣A=3109級線性代數(shù)（A）階段練習題（二）、填空題1-3-1144,WJR(A)=2.5-9-8j1解：A=3u'11-304-6工000-1、-7,R(A)=2.0122、2.設A=4t3,8為三階非零矩陣，且AB=O/h=3.3一11>1解：A定非可逆陣，因此A=432-2t3=7t+21=0,二-11t=-3.3.若四階矩陣A的秩R（A）=2,則R（A*）=0.（見證明題5）4.已知向量組%,口2,%,%線性無關，用=%+32+%邛2=口2+0（4?3=2汽2+k«3+%,久=k«2-2«3+«4,則當k=2時,月也也總線

2、性相關.解:1000、RRRR1k2k(白,久，戶4)=(%,%,%,%)10k2Hs1,%P3P4)K,10111若矩陣K非奇，則九P2,P3,P4線性無關.而10001K=10k2k=0k-2=2(k-2)=0,二1115.若向量組%,4,%線性無關，則向量組%+2%+3%,%+2%,外線性無關.解:1而K|=236.若向量組%,%,%,«4線性無關,向量組1-：2,：2：3>：3-：4)：4-：1100'(a1+2a2+3c(3,口2+2c(3,口3)=(口1,62,c(3)210口23,0010=1=0,K為非奇矩陣，故向量組由+2a2+3«3,a2+

3、2»3p321線性相關.解:2,：2.13,13.14,14.：1P1：-1,12,二3,：4其中K0(,+o(cetc+o(c0(c12，23，310=11=0，故向量組7.向量組必=(1,1,獷；2=(2,0T,1)3尸5當）,C時氣可由«1,«2線性表示.“2線性無關,只有當向量組M,：-2,：3線性相關時=3可由；1，12線性表示.此時OLOLOL1,2,33=2-5-2t=0,t=-一28.線性方程組償4x3+6x43x26x3-9x4二0的基礎解系為1=2-210-330<1解：對方程組的系數(shù)陣進行初等變換20461036-9,12-232-3原

4、方程組與,=2x3一”4同解,x?2x33x4x3<x40、,可得方程組的基礎解析。=(2-210T,G=(3309.四元方程組Ax=b中R（A）=3，-1,-2,：3是它的三個解.其中%=(2,0,3,2)T,2s2+3s3=(5,8,8,4)T,則方程組Ax=b的通解為c-58-7一62、032解：R（A）=3,Ax=0存在基礎解系（只有一個線性無關的解向量）.A(2：23：3-5：1)-2A：23A：3-5A：1-2b3b-5b-0223：3-5：15、881001510-58-7.電是Ax=0的基礎解系.Ax=b的通角單為c-5、87L6j2、03a10.向量空間V=x=(0,x

5、2,）,區(qū)：不亡刈的維數(shù)是n-1.、選擇題1.下列矩陣中（C）是初等矩陣.(A)10<0；(B)1-4；(C)0/10<00-41；(D)10<0,i=1,2,3,4,矩P$A=a1bla2bla366a1b2a2b2a3b2a4b2址a2b3a3b3a4b3ab,a2ba3b4a4b4)的秩R(A)=(A).(A)1;(B)2;(C)3;(D)4.事實上A=a2(bb2b3b4),R(A)=1.a3la43 .向量組3，的,%,口4線性無關，以下(D)組向量線性無關.（A）：1：2,：2二3,二3二44L；（8）1-122-二3，-二4，二4-。1；(C)：-1'：

6、-2,二2,二3；3-14,1；(D)：1二2,二2二3314J4一二110011100=。,01100011100-1-1100=0,0-11000-1110011001100-1-1001=0,=1+1=2.因此應選(D).100110011001-1001口2-。3,尾=九%-岡也線4 .向量組%，%,%線性無關，4=%-二2，久性無關，則九,t滿足（B）.(A)"(B)-二t;(C)*=t=1;(D)=2t.事實上（-）=（：,，231001-1t0=九1#0,即九#t.故應選（B）.123、5.矩陣Q24t,P為三階非零矩陣且PQ=O,則有（C）69岡=6時，町）=1;(B

7、)t=6時，R(P)=2;(C)t=6時，R(P)=1;(D)t:6時,R(P)=2門23、將矩陣P按列分塊為P=(r,訪，p3),Q24t,PO.當t=6時e6%R(Q)=1,R(P)可以是1,也可以是2.(A)、(B)斷言R(P)=1或R(P)=2并無依據(jù).當t#6時，R(Q)=2.Q的諸列均為Px=0的解，其一、三列線性無關，即Px=0有兩個線性無關的非零解，當有R(P)<1;又因P#O，又有R(P)之1,因此必有R(P)=1.選(C).6.齊次線性方程組Ax=0(A為m父n矩陣)僅有零解的充分必要條件是(B) .(A)A的列向量組線性相關；(B)A的列向量組線性無關；(C) A的

8、行向量組線性相關；(D)A的行向量組線性無關.事實上(A)、(C)、(D)可能無解.x1-2x2+x3+x4=07.齊次線性方程組2Xi-X2"X3=0的基礎解系中有()線性無-2x1+4x2-2x3-2x4=0關的解向量.(A)一個;(B)兩個;1-2112-1-10-24-2-2、3-3013x1-3x2x4(C)三個;1-20300001-300(D)四個.1-200,n=4,R(A)=2,因此基礎解系中有兩個線性無關的解向量，選(B).8.設有線性方程組Ax=b(1)和對應的齊次線性方程組Ax=0(2)則必有(B).(A)若(1X無窮多解則僅有零解；(B)若(1雙有唯一解則僅

9、有零解；（C）若（2）有非零解則有無窮多解；（D）若（2）僅有零解則有唯一解.9.已知n元線性方程組Ax=b，系數(shù)陣的秩R（A）=n2,%,外,5是方程組線性無關的解，則方程組的通解為（D）.（c1,c2為任意常數(shù)）(A)g(%口2)+C2(c(2+%)+%;(B)q(%3)+G2+口3)十口3；(C)G(：2-飛)G(：3二2)二工2;(D)G(：2-：3)C2(：2一：1)二，3.10.由R3的基"J,、到基巴=12.%,二2二>二23,過渡矩陣為（D）.(A)110-1I13-1；(B)0-11-13；(C)-21<02-1；(D)-101-1、計算題解:<0

10、1-3-207-5,求矩陣A的秩,寫出A的一個最高階非零-3-20-500I。11-3-226一4-1327-50-10071614J<0-100(*)由(*)知R(A)=3.A的1,2,4行1,2,50；列所在的三階子式-30-502.給定向量組:%=(1,2,3,1)T,«2=(3,-1,2,-4)T«3=(-1,2,1,3)T,：4=(-2,3,1,5):5=(2,1,5,4).(1)求向量組%，%,%,%,%的秩，并判斷該向量組的線性相關性;(2)求該向量組的一個最大無關組,并把其余向量用最大無關組線性表示.解:(：1,：2,13,：4,丁)1233-12-4

11、-1213-2315215400<03-7-7-7-1444-27772-3-1200<03-700-1400-27002、-3250<0由(*)-14-20<0574700-1(*)支3,口4,%)=3,向量組線性相關.-1,-2,-5是向量組的一個最大無關組，且有:54：3二711-7：2；：4二】1-123.已知%=(1,0,2,3)t,%=(1,1,3,5)T,%=(1,1,a+2,1)T,:4二(1,2,4,a8)t=(1,1,b3,5)t,(1)當a,b為何值時，P不能表示為%,4,%,口4的線性組合;當a,b為何值時，P有口1,：-2,二3,口4的唯一線性

12、表達式,寫出該表達式.解：設A=(%,%,%,%),(A)=,10211b+35<0(1)當a=-1,b¥02-1-1201b12(*)1-1a-2時，R(A)=2*3=R(A,P),方程組11b+12Ax=P無解.故。不的線性組合.(2)當a#1時,R(A)=4=R(A,P)，方程組Ax=P有唯一解.由Cramer法貝可得：x1=b,x2a1一線性表達式：a+b+1,x3=,x4=0.止匕時P有%,u2,a3,a4的唯a1a-1一七14.設A='2-213-528解：設%=(2,-1,1,3)t，求一個4m2矩陣B,使AB=O,且R(B)=2.,二2=(9,-5,2,

13、8)t,A=rt、%T產(chǎn)2JAx=0的解.2-2-52-2<133-2-4-8511與（*）對應的方程組為x1x2-258-411818581811(*)18x358x31一不11/4令佇0、,得到方程組的基礎解系p1=(,°,1,o)t,P2=(,0,1)T,顯然p1，P2線性無關，令888812B=(p1,P2),R(B)=R(p1,22)=2，且有AB=O.5.向量組%,4,«s線性無關,打=11.%一=123,試討論向量組用，燈,，兒的線性相關性.解:設有數(shù)匕入,，ks使得k+k2P+ksPs=0,即有:(k1ks)：1(k1*2)：2gkJ：s=0.由于%,

14、%,，1Ms線性無關，故必有k1+ks=0k1+ks=0.：一(*)k1+ks=0方程組(*)的系數(shù)行列式100s+2,當s為奇數(shù)0=1+(-1)=«:()0,當s為偶數(shù)110D=011aaa000當s為奇數(shù)時，D=2#0,方程組(*)只有零解，k,k2，ks必全為零，向量組固，燈,，久的線性無關；當s為偶數(shù)時，D=0,方程組(*)有非零解,即存在不全為零的數(shù)k,k2,，K使(也+k2P2+KPs=0,向量組?1,用，久線性相關.2x1-3x2-2x3x4=0的通解.6.用基礎解系表示方程組3x1+5x2+4x3-2x4=08x17x26x3-3x4=0解:對方程組的系數(shù)陣施行初等行

15、變換23<8-357-2461-2-321<0-3819-26141-3-78-1906-140-370614190-37190)X1219141901197190(*)(*)所對應的方程組為，X2:X22一x31914一x3191X19工羽x19與原方程組同解.令得到基礎解系：，=(-,-4,1,0)T,-2=(,0,1)T,原方19191919程組的通解為：x=g+C2。（G,C2為任意實數(shù)）.X12x2x32x4=17,用對應的齊次方程組的基礎解析表示方程組22x1+4x2+x3+X4=5的_x-2X2_2X31X4-4通解.解:對方程組的增廣矩陣施行初等行變換(A,b)=1

16、5-53411-1-6-528142-4-2-314711-56-28-52170-312011-29717012120-2(*)由(*)知R(A)=R(A,b)=2,方程組有解.IXX.X1-（*）所對應的方程組為91X3X4172，令X"1x3-1x4-272X3<X40、,得到方程組的特解91X=-X3X4*=(1,-2,0,0)t,原方程組所對應的齊次方程組與72同解.令11X2=-X3-X472、X3,得到對應齊次方程組的基礎解系,0,1)T91T11=(一7,7,j),2=(2,一2原方程組的通解為:X=*C11-C22（q,C2為任意實數(shù)）.8.給定線性方程組3X

17、i+X2X32X42Xi5x242X3+X4=12x+6x2-3x3-3x4=a+1x1一11x2+5X3+4X44當a為何值時方程組有解？在有解的情況下，求其全部解.解:對方程組的增廣矩陣施行初等行變換(A,b)=100i0312-11-56-11-51600當a=2時，R(A)Xi二X31人為程組與x2礎解系:-12-35-21-342-1a1-4100<0-51616-162-7-771-5-55-15a3-52-7001-500-15a-20R(A,b)X3X4161675x2-16x3+16,得到方程組的特解3=-x3167二一X316X4&X416同解，令2X,X41

18、6原方程組的通解為:0<03167160091651600916516a-20(*),方程組有解.（*）對應的方程組為旦165十16916<X4)力爭，0）,20)T與原方程組對應的齊次方1得到對應齊次方程組的基xuM+c+a與（G,Q為任意實數(shù)）.916,江1)Tx1+x2+2x3+3x4=19 .當a,b取何值時，線性方程組/l+3x2+6x3+x4=3無解，有唯一解,3x1x2ax§*15x4-3x5x210x3+12x4=b有無窮多解？在方程組有無窮多解時，用對應的齊次方程組的基礎解系表示方程組的通解.解：對方程組的增廣矩陣施行初等行變換(A,b)=11123V3

19、613-1-a153-5-1012b.1123024-20-4-a-669-6-129120b-171123012-10-a-669-6-129110b-1.1004012-100-a+2210003(*)當a#2時，R(A)=R(A,b),無論b取何值,方程組有唯一解.當a=2,b#1時(*)=00<0010002004-110012b!此時R(A)=3=4=R(A,b),方程組無解.當a=2,b=1時,(*)=100<0010002004T100120100<0010002000010與320為-8R(A)=R(A,b)=3<4,方程組有無窮多解.此時原方程組與也=

20、3-2x3同解，令凡=2x3=0,得到方程組的特解：”*=(-8,3,0,2)T.與原方程組對應的齊次方程組與Xx1=0&=-2x3同解，令x3=1,可得基礎解系：巳=（0,2,1,0）T.x4=0方程組的通解為：x=4*十金（c為任意實數(shù)）.10 .已知R3的兩個基為二32、3,4,J3、B3=4求由基必,電，分到基h%P3的過渡矩陣P.解：設A=（%,%,4）,B=（A,均，A）,A,B的列向量組是兩個基，因此矩陣A,B均為可逆矩陣.設（也，艮，久）=（%烏尸3尸，過渡矩陣P=A,B.11231-1-1-10020111123、(A,B)=100234口11143,10023011

21、-1-1100220x00234、0100-101001101,234"因此從基%,%,%到基1,%豆的過渡矩陣P=0-10101/四、證明題1 .設A為列滿秩矩陣，AB=C,證明線性方程Bx=0與Cx=0同解.證：若巴是Bx=0的解，當有B：=0,于是Ct=A（B）=A0=0.這說明Bx=0的解必為Cx=0的解；若n是Cx=0的解，A（B"）=C"=0,矩陣A列滿秩，由（P77定理4的逆否命題）方程組Ay=0只有零解，即B"=y=0,說明Cx=0的解也是Bx=0的解，因此線性方程組Bx=0與Cx=0同解.2 .設A為mn矩陣，證明方程AX=Em有解的充分必要條件是R（A）=m.證：由于R(A,mE=)m根據(jù)P77定理6方程AX