度量空間的定義與極限

1、第一章度量空間假設在實數集R中點列xn的極限是x時,我們使用|xn_x|來表示xn和x的接近程度,事實上,|%_x|可表示為數軸上xn和x這兩點間的距離,那么實數集R中點列xn收斂于x也就是指xn和x之間的距離隨著nj9而趨于.,即limd(xn,x)=0.于是人們就想,n艾在一般的點集X中如果也有距離,那么在點集X中也可借這一距離來定義極限,而究竟什么是距離呢？或者說距離的本質是什么？詩人顧城的一首詩?遠和近?對距離的感受又如何呢？遠和近你一會看我一會看云我覺得你看我時很遠你看云時很近這首詩詩似乎是純理性的,十分冷靜,但細細品味,其中暗暗催動著一股熱流：呼喚一種相互理解、相互信任、和諧融洽的

2、人際關系.現實距離和心理距離并不總是一致的.現實距離很遠,但心理距離卻可能很近,海內存知己,天涯假設比鄰,即是此意.也可能現實距離很近,而心理距離卻很遠,所謂咫尺天涯大概就是指此而言了.那么如何給出距離這一概念？1.1 度量空間的定義與極限1.1.1 度量空間的定義與舉例定義1.1.1設X為一非空集合.假設存在二元映射d:XMXtR,使得儀,y,zWX,土勻滿足以下三個條件：(1) d(x,y)0,且d(x,y)=0當且僅當x=y(非負性Positivity);(2) d(x,y)=d(y,x)(對稱性Symmetry);(3)d(x,z),d(x,y)d(y,z)(三角不等式Triangle

3、inequality),那么稱d為X上的一個距離函數,稱(X,d)為距離空間或度量空間(MetricSpaces),d(x,y)稱為x和y兩點間的距離*口注1：在不產生誤解時,(X,d)可簡記為X.下面我們來看一些具體的例子n例1.1.1歐氏空間R.設RnW(Xi,X2,|,xn)|xiER,i=1,2,|,n,定義d(x,y)=樞(x-y)2i土其中x=(為,x2,l|l,Xn),y=(y1,y2,lll,yn)WRn,可以驗證(Rn,d)是一個度量空間.在證實之前,引入兩個重要的不等式.引理1.1.1(許瓦茲(Schwarz)不等式)任名2n個實數a1a,W,an,bhb2MI,bn,有n

4、nn二aib_(.1a2)2(.二bi2)2(1.1)i3i+izi證實任取實數九,那么由nnnn0：b2+27bzaib+a2ii工i工i工知右端二次三項式的判別式不大于零,Wn2nn-：=2abi一4,bi2L?a20,i4i1i1于是可得(1.1)式成立.口進一步有H?lder不等式nnn、ab(-a丁biq“i二i工i工p,q為一對共軻數.11,其中p,q21且+=1,稱這樣的兩個實數pq引理1.1.2閔可夫斯基(Minkowski)不等式的和形式任名2n個實數a1,a2,|11問及n,b2j|l,b,有證實n由(1.1)式得n(aib)2(za2j+份b2ITki(1.2)+b)2=

5、%a22%abi、bi2i1.i1.i2116a：2、a2i112+b2i1bnbi2i土這就證實了(1.2)式.進一步可有Minkowski不等式的一般形式,其中k_1n-.k(.|aib)i19aik)kbj)例1.1.1歐氏空間Rn設Rn=(x1,x2,III,xn)阿WR,i=1,2,|,n,定義k之1d(x,y)=JE(x-y)2(1.3)其中x=(x1,x2,l|l,xn),y=(yi,y2,l|l,yn)wRn,可以驗證(Rn,d)是一個距離函數.證實非負性(1)和對稱性(2)顯然成立,下面僅驗證(3)也成立.對于任意的z=(z1,z2,|,zn)WRn,由閔可夫斯基不等式(1.

6、2)有11色(x-z八=(x-y+y-z21王-y廣+11即d(x,z)1).設fWLpa,b,令A=E(|f|之1),B=E(|f|0,5NNN,當nN時,恒有d(xn,x)名成立.假設點列xn不收斂,那么稱其發(fā)散.口例1.1.7設X是實數集,數列xn=1(n=1,2,用),假設在X上定義歐氏距離nd(x,y)=|x_y|(x,y.X),顯然,數列xn在度量空間(X,d)中收斂于0.假設在X上定義離散距離0,x=y,do(x,y)(x,y-X),1,x=y那么數列xn在度量空間(X,d0)中是發(fā)散的.由于對任意給定的x0三X1一1n,所以無論n多么大,有1nim0,3NWN,當n時,有d(4

7、,x)d(xn,y),22故當n時,我們有d(x,y)0,3NN,Xnk%,X,%,|,|當naN時,有d(%,x)N,故d(xk,x)N時,d(xn,x0)a0=1.取M=maxdMoXd,2X(0X,)洶x0ex,呵,dnN,d(Xn,)M,于是Vn,mNd(Xn,Xm)Wd(Xn,X0)十dX.)0,3NN,當nN時,有d(fn(x),f(x)(名.其中d(fn(x),f(x)w,等價于d(fn,f)=max|fn(x)f(x)|名進一步等價于xa,bVxa,b,有|fn(x)_f(x)|0,3N三N,當nN時,VxWa,b,有|fn(x)-f(x)：憐,即fn(x)=f(x).口例1.1.9設d(x,y)是X上的一個距離,那么di(xy)=d(x,y)也是X上的距離.1d(x,y)證實顯然非負性和對稱性成立,下面僅證三角不等式.由于d(x,y)是X上的距離,所以Vx,y,zWX,有t._,、1一d(x,y)0)為單調遞增函數,于是1t(1t)2d1(x,y)=衛(wèi)皿d(X,Z)d(z,y)(f(t)單調遞增