2020年高中數(shù)學初高中銜接讀本專題4.2一元二次不等式的解法精講深剖學案

1、第2講一元二次不等式的解法本專題在初中學習方程、不等和函數(shù)的基礎上，根據(jù)高中學習的需要，共同學習簡單的二次方程組及一元二次不等式的解法。問題1：二次函數(shù)y=x2x6的對應值表與圖象如下：當x=2,或x=3時，y=0,即x2x=6=0;當xv2,或x>3時，y>0,即x2-x-6>0;當2vxv3時,y<0,即x2-x-6<0.思考：這就是說，如果拋物線y=x2x6與x軸的交點是(2,0)與(3,0),那么一元二次方程x2x6=0的解就是xi=2,x2=3;同樣，結合拋物線與x軸的相關位置，可以得到一元二次不等式x2x6>0的解是xv2,或x>3;元二次

2、不等式x2-x-6v0的解是一2vxv3.上例表明：由拋物線與x軸的交點可以確定對應的一元二次方程的解和對應的一元二次不等式的解集.問題2：對于一般的一元二次不等式ax2+bx+c>0(aw0)怎樣解呢？【歸納總結】元二次不等式的解:函數(shù)、方程與不等式A>0A=0A<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象*yJo匹匹Xf二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根后兩相異實根xi,x2(xi<x2)有兩相等實根xi=x2=b2a無實根ax2+bx+c>0(a>0)的解集x<xi或x>x2bx*2a一切實數(shù)ax2+bx+c<

3、0(a>0)的解集xi<x<x2無解無解今后，我們在解一元二次不等式時，如果二次項系數(shù)大于零，可以利用上面的結論直接求解；如果二次項系數(shù)小于零，則可以先在不等式兩邊同乘以-1,將不等式變成二次項系數(shù)大于零的形式，再利用上面的結論去解不等式.【典例解析】解下列一元二次不等式：(1) x2+2x3W0；(2) xX2+6V0;(3) 4x2+4x+1>0;(4) x26x+9W0；，、2一(5) 4+x-x<0.【解析】(1)VA>0,方程W+2x3=0的解是力=-3,，不等式的解為-3比1.(2)整理，得方程爐一的眸為xi2,*2=3.所以，原不等式的解為內-

4、3或x<3.(3)整理,得(2x+l)，0.由于上式對任意實數(shù)，都成立，.原不等式的解為一切實數(shù).(4)整理，得(x3)2W0.由于當x=3時，(x3)2=0成立；而對任意的實數(shù)x,(x3)2<0都不成立,，原不等式的解為 x= 3.（5）整理，得x2-x+4>0. AV0,所以，原不等式的解為一切實數(shù).【解題反思】注意一元二次不等式的解題步驟為一看（二次項系數(shù)的正負）；二判（A的情況）；三算（有根求根）；四寫出解集?！咀兪接柧殹?.解下列不等式:(1)-x2+2x+2<0；【解析】（1）原不等式可化為 x2 -2x -2 >0 ,1 =12 >0 ,方程

5、x2 2x 2 =0 的兩根是% =1-6, x2 =1 + 6,原不等式的解集為（2）原不等式等價于x -1(x -1)(x 3) <0W0u «；x 3-0原不等式的解集為-3<x<1.2.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aw0）的頂點坐標（-1,-3.2）及部分圖象（如圖所示），其中圖象與橫軸的正半軸交點為（2,0）,由圖象可知:時，函數(shù)值隨著x的增大而減小;當【分析】根據(jù)二次函數(shù)的開口方向以及對稱軸得出答案即可;利用關于x的一元二次不等式 ax2+bx+c>0的解，即為:y>時，求出x的取值范圍求出即可.【解析】,二次函數(shù) y=ax2+bx+c

6、 （aw。）的頂點坐標（-1, -3.2）,圖象與橫軸的正半軸交點為（2，0),(4, 0);圖象的對稱軸為：x=-1,圖象與橫軸的負半軸交點為:故答案為：-1;x>2或xv-4.圖象開口向上，a>0,二圖象的對稱軸為：x=-1,當xv-1時，函數(shù)值隨著x的增大而減??；4.關于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解即為：y>時，求出x的取值范圍：x>2或xv-【點評】主要考查了利用函數(shù)圖象求自變量的取值范圍以及二次函數(shù)的增減性等知識，根據(jù)圖象得出是解題關鍵3.已知不等式ax2+bx+c<0（a手0）的解是x<2,或x>3求不等式bx2+ax+

7、c>0的解.【解析】由不等式a，+ix+c<0（口=0）的解為x<Z或n>3,可知。<0>且方程一+反+c=0的兩根分別為2和3,即一=5,=6.aak由于a<0p所以不等式fee2+皿+匕>0可變?yōu)橐唬?x+<0,aa即一5j?+x+6<。，整理j得5/“一6>0,所以,不等式取+收一匕>0的解是x<1或.【點評】本例利用了方程與不等式之間的相互關系來解決問題.4.關于x的一元二次不等式2kx2+kx-0的解集為R,求實數(shù)k的取值范圍.k<0）【分析】（1）由題意得，,3、，、，由此能求出實數(shù)k的取值范圍.=

8、/-4><2kx（4）【解析】由題意得：%<0（1）'=k2-4X2kxU）<0L不等式（2）化彳k2+3k<0,解得：-3Vk<0.則實數(shù)k的取值范圍是-3<k<0.【點評】已知不等式解集的情況，求參數(shù)。可通過根的判別式來建立不等式求參數(shù)值。25.斛關于x的一兀一次不等式x+ax+1>0（a為實數(shù)）.【分析】對于一元二次不等式，按其一般解題步驟，首先應該將二次項系數(shù)變成正數(shù)，本題已滿足這一要求，欲求一元二次不等式的解，要討論根的判別式的符號，而這里的是關于未知系數(shù)的代數(shù)式，的符號取決于未知系數(shù)的取值范圍，因此，再根據(jù)解題的需要，對的符號進行分類討論.【解析】由=a2-4,當A>0,即a<-2或a>2時，方程x2+ax+1=0的解為；a-a2-4-aa2-4xi=？2二.22一a-''a